Metoda stycznych

Metoda stycznych to algorytm numeryczny wyznaczający przybliżoną wartość miejsca zerowego funkcji z pewną dokładnością. Innym algorytmem, który można wykorzystać do wyznaczenia przybliżonej wartości miejsca zerowego funkcji jest algorytm bisekcji, omówiony w e‑materiale Algorytmy numeryczne i przybliżonePdzAH5eTwAlgorytmy numeryczne i przybliżone.

1. Działanie metody rozpoczyna się od wskazania punktu startowego $x_1$, będącego pierwszym przybliżeniem miejsca zerowego. Punkt ten wybieramy z przedziału $[a, b]$, w którym będzie znajdowało się dokładnie jedno miejsce zerowemiejsce zerowemiejsce zerowe funkcji.

2. Następnym krokiem jest wyznaczenie kolejnego przybliżenia $x_2$, które jest współrzędną $x$ punktu przecięcia stycznej do wykresu funkcji $f(x)$ w punkcie $x_1$ z osią $OX$. Przybliżenie to wyznaczamy według następującego wzoru:

gdzie:

• $x_1$ – punkt startowy; przybliżona wartość miejsca zerowego funkcji $f\left(x\right)$ w przedziale $[a, b]$;

• $x_2$ – przybliżona wartość miejsca zerowego funkcji $f\left(x\right)$ w przedziale $[a, b]$; punkt przecięcia stycznej do wykresu funkcji $f\left(x\right)$ w punkcie $x_1$ z osią $OX$;

• $f\left(x_1\right)$ – wartość funkcji $f\left(x\right)$ w punkcie $x_1$;

• $f\text{'}\left(x_1\right)$ – pochodna funkcji $f\left(x\right)$ w punkcie $x_1$.

Styczna jest geometryczną interpretacją pochodnej.

3. Jeżeli:

   • różnica pomiędzy kolejnymi przybliżeniami $x_1$ i $x_2$ jest mniejsza lub równa wybranej dokładności $\epsilon$ lub

   • wartość funkcji w punkcie $x_2$ jest bliska 0,

kończymy algorytm z wynikiem – przybliżoną współrzędną miejsca zerowego funkcji jest $x_2$ z dokładnością $\epsilon$. W przeciwnym wypadku wartość $x_2$ staje się nowym punktem startowym ($x_1$) i wracamy do kroku drugiego.

Implementacja algorytmu w języku Java

Specyfikacja problemu:

Dane:

• f – funkcja, której miejsce zerowe należy obliczyć

• ex – wartość błędu bezwzględnegobłąd bezwzględnybłędu bezwzględnego; liczba rzeczywista

• ey – dokładność rozwiązania; liczba rzeczywista

• x1 – początkowe przybliżenie miejsca zerowego; liczba rzeczywista

Wynik:

• x – przybliżona wartość miejsca zerowegomiejsce zerowemiejsca zerowego funkcji; liczba rzeczywista

W pierwszej kolejności musimy zapisać funkcję, której miejsce zerowe chcemy odnaleźć oraz wyznaczyć jej pochodną. Funkcja, której miejsca zerowego będziemy szukać, to $f\left(x\right)=x^2-2$. Wiemy, że funkcja ta nie ma ekstremów ani punktów przegięciabłąd bezwzględnypunktów przegięcia w pobliżu miejsc zerowych, zatem możemy zastosować algorytm stycznych, oczywiście pod warunkiem, że odpowiednio dobierzemy początkową wartość x1.

Zapiszmy definicję funkcji oraz jej pochodnej:

public static double f(double x) {
	return x * x - 2;
}

public static double fp(double x) {
	return 2 * x;
}

$f\left(x\right)$ jest funkcją kwadratową. Ma ona dwa rozwiązania – są nimi punkty rozmieszczone symetrycznie po obydwu stronach osi $Y$ w kartezjańskim układzie współrzędnych.

Zastosujmy warunek stopumiejsce zerowewarunek stopu, który zakłada, że różnica między przybliżonymi wartościami punktów zerowych w kolejnych iteracjach wynosi $\pm \epsilon$, gdzie $\epsilon$ jest określone na początku algorytmu.

Przekażemy funkcji parametr x1, który określa wstępne przybliżenie miejsca zerowego i zmienne ex oraz ey, czyli wartość błędu bezwzględnego oraz dokładność rozwiązania, których osiągnięcie zakończy działanie algorytmu i uzna ostatni uzyskany wynik za wystarczająco dobry.

Oto przykładowy kod, którym posłużymy się w celu wyznaczenia miejsca zerowego funkcji $f\left(x\right)$:

public static double metodaStycznych(double x1, double ex, double ey) {
    double x2 = x1;

    do {
        x1 = x2;
        x2 = x1 - f(x1) / fp(x1);
    } while ((Math.abs(x2 - x1) > ex) && (f(x2) > ey));

    return x2;
}

Musimy zastanowić się także, jaką wartość nadać parametrowi x1. Ponieważ badana funkcja ma dwa miejsca zerowe, x1 zadecyduje o tym, które z nich wyznaczymy. W przypadku naszej funkcji wystarczy, że przyjmiemy dowolną liczbę dodatnią, aby wyznaczyć dodatnie miejsce zerowe lub ujemną, aby wyznaczyć ujemny pierwiastek. Program może wyglądać następująco:

public class Main {
    public static double f(double x) {
        return x * x - 2;
    }

    public static double fp(double x) {
        return 2 * x;
    }

    public static double metodaStycznych(double x1, double ex, double ey) {
        double x2 = x1;

        do {
            x1 = x2;
            x2 = x1 - f(x1) / fp(x1);
        } while ((Math.abs(x2 - x1) > ex) && (f(x2) > ey));

        return x2;
    }

    public static void main(String[] args) {
        double x1 = metodaStycznych(2, 0.00001, 0.00001);
        double x2 = metodaStycznych(-2, 0.00001, 0.00001);
        System.out.println("f(" + x1 + ") = " + f(x1));
        System.out.println("f(" + x2 + ") = " + f(x2));
    }
}

Rezultatem działania programu będzie wypisanie dwóch wyników:

f(1.4142156862745099) = 6.007304882871267E-6
f(-1.4142156862745099) = 6.007304882871267E-6

Oznacza to, że z dużą dokładnością wyznaczone zostały dwa miejsca zerowe. Funkcja w tych miejscach przyjmuje wartości bliskie zeru.

Słownik