Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Do wyprowadzenia wzorów na sumę i różnicę sinusów wykorzystamy poznane wzory na sinus sumy oraz sinus różnicy. Przypomnijmy je zatem.

wzór na sinus sumy argumentów, wzór na sinus różnicy argumentów
Twierdzenie: wzór na sinus sumy argumentów, wzór na sinus różnicy argumentów

Dla dowolnych α,β zachodzą następujące wzory

sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα
sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα

Teraz udowodnimy twierdzenie o sumie sinusów i różnicy sinusów.

wzór na sumę sinusów, wzór na różnicę sinusów
Twierdzenie: wzór na sumę sinusów, wzór na różnicę sinusów

Dla dowolnych α,β zachodzą następujące wzory

sinα+sinβ=2sinα+β2·cosα-β2
sinα-sinβ=2sinα-β2·cosα+β2
Dowód

Zauważmy, że prawdziwe są następujące zależności

β=α+β2-α-β2, α=α+β2+α-β2.

1. Korzystając z powyższych zależności, możemy sumę sinusów zapisać następująco

sinα+sinβ=sinα+β2+α-β2+sinα+β2-α-β2.

Korzystając ze wzorów na sinus sumy i różnicy argumentówwzór na sinus sumy argumentów, wzór na sinus różnicy argumentówwzorów na sinus sumy i różnicy argumentów otrzymujemy

sinα+β2+α-β2+sinα+β2-α-β2=

=sinα+β2·cosα-β2+sinα-β2·cosα+β2+

+sinα+β2·cosα-β2-sinα-β2·cosα+β2=

=2sinα+β2·cosα-β2,

co kończy dowód wzoru sinα+sinβ=2sinα+β2·cosα-β2.

2. Korzystając z powyższych zależności, dla argumentów αβ możemy różnicę sinusów zapisać następująco

sinα-sinβ=sinα+β2+α-β2-sinα+β2-α-β2.

Korzystając ze wzorów na sinus sumy i różnicy argumentówwzór na sinus sumy argumentów, wzór na sinus różnicy argumentówwzorów na sinus sumy i różnicy argumentów otrzymujemy

sinα+β2+α-β2-sinα+β2-α-β2=

=sinα+β2·cosα-β2+sinα-β2·cosα+β2-

+sinα+β2·cosα-β2-sinα-β2·cosα+β2=

2sinα-β2·cosα+β2,

co kończy dowód wzoru sinα-sinβ=2sinα-β2·cosα+β2.

Przykład 1

Zmienimy wyrażenie sinα+sin2α+sin3α na iloczyn trzech funkcji trygonometrycznych.

Rozwiązanie

Korzystając ze wzoru na sumę sinusówwzór na sumę sinusów, wzór na różnicę sinusówwzoru na sumę sinusów sumujemy sinαsin3α

sinα+sin2α+sin3α=2sin2α·cosα+sin2α=

=sin2α(2cosα+1)=sin2α·2cosα+12.

Zamienimy teraz cosα12 na sinusy odpowiednich argumentów

2sin2α·sin(π2-α)+sinπ6

i zastosujemy ponownie wzór na sumę sinusówwzór na sumę sinusów, wzór na różnicę sinusówwzór na sumę sinusów

4sin2α·sinπ2-α+π62·cosπ2-α-π62=

=4sin2α·sinπ3-α2·cosπ6-α2.

Przykład 2

Obliczymy wartość wyrażenia 5cosπ2-3π14-sinπ14cosπ7·sinπ14.

Rozwiązanie

Najpierw wykorzystamy wzory redukcyjne, a następnie wzór na różnicę sinusówwzór na sumę sinusów, wzór na różnicę sinusówwzór na różnicę sinusów

5cosπ2-3π14-sinπ14cosπ7·sinπ14=5sin3π14-sinπ14cosπ7·sinπ14=

=5·2sinπ14·cosπ7cosπ7·sinπ14=10.

Przykład 3

Obliczymy sinx+π3-sinx-π3, jeżeli cosx=34.

Rozwiązanie

Wykorzystajmy wzór na różnicę sinusówwzór na sumę sinusów, wzór na różnicę sinusówwzór na różnicę sinusów

sinx+π3-sinx-π3=

2sinx+π3-x-π32·cosx+π3+x-π32=

=2sinπ3·cosx.

Ponieważ cosx=34, zatem 2sinπ3·cosx=2·32·34=34.

Przykład 4

Obliczymy tgx, jeżeli wiadomo, że sinx+30°+sinx-30°=23cosx.

Rozwiązanie

Wykorzystując wzór na różnicę sinusówwzór na sumę sinusów, wzór na różnicę sinusówwzór na różnicę sinusów przekształćmy równanie dane w zadaniu

sinx+30°+sinx-30°=23cosx

do postaci

2sinx+30°+x-30°2·cosx+30°-x+30°2=23cosx.

Zapiszmy dalej 2sinxcos30°=23cosx.

Stąd otrzymujemy zależność między sinusem i cosinusem tego samego argumentu 3sinx=23cosx.

Korzystając z definicji funkcji tangens otrzymujemy odpowiedź sinxcosx=tgx=2.

Słownik

wzór na sinus sumy argumentów, wzór na sinus różnicy argumentów
wzór na sinus sumy argumentów, wzór na sinus różnicy argumentów

dla dowolnych α,β zachodzą następujące wzory

sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα

sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα

wzór na sumę sinusów, wzór na różnicę sinusów
wzór na sumę sinusów, wzór na różnicę sinusów

dla dowolnych α,β zachodzą następujące wzory

sinα+sinβ=2sinα+β2·cosα-β2

sinα-sinβ=2sinα-β2·cosα+β2