Przeczytaj
Do wyprowadzenia wzorów na sumę i różnicę sinusów wykorzystamy poznane wzory na sinus sumy oraz sinus różnicy. Przypomnijmy je zatem.
Dla dowolnych zachodzą następujące wzory
Teraz udowodnimy twierdzenie o sumie sinusów i różnicy sinusów.
Dla dowolnych zachodzą następujące wzory
Zauważmy, że prawdziwe są następujące zależności
, .
1. Korzystając z powyższych zależności, możemy sumę sinusów zapisać następująco
.
Korzystając ze wzorów na sinus sumy i różnicy argumentówwzorów na sinus sumy i różnicy argumentów otrzymujemy
,
co kończy dowód wzoru .
2. Korzystając z powyższych zależności, dla argumentów i możemy różnicę sinusów zapisać następująco
.
Korzystając ze wzorów na sinus sumy i różnicy argumentówwzorów na sinus sumy i różnicy argumentów otrzymujemy
,
co kończy dowód wzoru .
Zmienimy wyrażenie na iloczyn trzech funkcji trygonometrycznych.
Rozwiązanie
Korzystając ze wzoru na sumę sinusówwzoru na sumę sinusów sumujemy i
.
Zamienimy teraz i na sinusy odpowiednich argumentów
i zastosujemy ponownie wzór na sumę sinusówwzór na sumę sinusów
.
Obliczymy wartość wyrażenia .
Rozwiązanie
Najpierw wykorzystamy wzory redukcyjne, a następnie wzór na różnicę sinusówwzór na różnicę sinusów
.
Obliczymy , jeżeli .
Rozwiązanie
Wykorzystajmy wzór na różnicę sinusówwzór na różnicę sinusów
.
Ponieważ , zatem .
Obliczymy , jeżeli wiadomo, że .
Rozwiązanie
Wykorzystując wzór na różnicę sinusówwzór na różnicę sinusów przekształćmy równanie dane w zadaniu
do postaci
.
Zapiszmy dalej .
Stąd otrzymujemy zależność między sinusem i cosinusem tego samego argumentu .
Korzystając z definicji funkcji tangens otrzymujemy odpowiedź .
Słownik
dla dowolnych zachodzą następujące wzory
dla dowolnych zachodzą następujące wzory