Przypomnijmy definicje funkcji trygonometrycznych:
Rc6dOMKWL63bl
gdzie: – przeciwprostokątna, – przyprostokątna przeciwległa do kąta , – przyprostokątna przyległa do kąta .
Sinus kąta
Definicja: Sinus kąta
Sinusem kąta w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta do przeciwprostokątnej :
Cosinus kąta
Definicja: Cosinus kąta
Cosinusem kąta w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta do przeciwprostokątnej :
Tangens kąta
Definicja: Tangens kąta
Tangensem kąta w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta do przyprostokątnej przyległej do kąta :
Aby wyznaczyć wartości funkcji trygonometrycznych kąta , posłużymy się trójkątem równobocznym o boku .
R1bFIaoKQyodW
Zauważmy, że wysokość dzieli trójkąt na dwa przystające trójkąty prostokątne stąd oraz kąt ma miarę .
Stosując twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta , wyznaczymy wysokość trójkąta :
, stąd
i ostatecznie
.
Wobec powyższego:
możemy również wyliczyć, wykorzystując następujący związek:
.
Zbierzmy wyliczone wartości funkcji trygonometrycznych w tabeli:
Przykład 1
Przekątna prostokąta ma długość i tworzy z dłuższym bokiem kąt . Obliczymy pole tego prostokąta.
Wprowadzamy oznaczenia jak na rysunku:
R10QY9DFjHrJl
Pole prostokąta wyliczymy ze wzoru:
Przekątna dzieli prostokąt na dwa przystające trójkąty prostokątne – możemy do wyznaczenia długości boków zastosować funkcje trygonometryczne. Długość boku wyznaczymy z funkcji sinus:
i , więc ,
, stąd .
Możemy wyznaczyć również wykorzystując fakt, że długość przyprostokątnej trójkąta prostokątnego leżącej naprzeciw kąta jest połową długości przeciwprostokątnej czyli .
Bok wyznaczymy z funkcji cosinus:
i , czyli ,
, więc
Odpowiedź:
Przyprostokątne mają długość: i .
Przykład 2
Obliczymy pole i obwód trapezu prostokątnego przedstawionego na rysunku:
R1ay1MkA0c2DT
Zauważmy, że bok jest wysokością trapezuwysokość trapezuwysokością trapezu .
Aby rozwiązać zadanie, musimy policzyć długości wszystkich boków powyższego trapezutrapeztrapezu.
Z trójkąta prostokątnego wyliczamy długość boku :
, i , więc po podstawieniu mamy
czyli
Z rysunku wynika, że
więc .
Długość odcinka (będącego przyprostokątną trójkąta prostokątnego ) wyliczymy korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
Podstawiając i otrzymujemy.
, stąd
czyli
.
Z trójkąta prostokątnego wyliczamy długość boku :
, i , więc
, stąd
.
Z rysunku wynika, że:
i , więc
.
Ponieważ , , i , to obwód trapezu będący sumą jego boków wynosi:
.
Ze wzoru na pole trapezu:
,
gdy , i
otrzymujemy .
Odpowiedź:
Pole trapezu wynosi , a jego obwód .
Przykład 3
Proste i przecinają się w punkcie i tworzą kąt o mierze . Na prostej obieramy punkt . Obliczmy odległość tego punktu od prostejodległość punktu od prostej odległość tego punktu od prostej wiedząc, że .
Odległość punktu od prostej – długość odcinka prostej prostopadłej do , którego końcami są punkt i punkt przecięcia z prostą .
RI6NzG06kF4py
Przyjmijmy następujące oznaczenie:
– odległość punktu od prostej
Trójkąt jest prostokątny – możemy, wykorzystując funkcję trygonometryczną sinus, obliczyć :
, i , więc
, stąd .
Odpowiedź:
Odległość punktu od prostej wynosi .
Przykład 4
Obliczymy odległość środka ciężkości trójkąta równobocznego o boku długości od jego boków.
Środek ciężkości powstaje w miejscu przecięcia się środkowych trójkąta, czyli odcinków łączących wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.
W trójkącie równobocznym każda środkowa jest wysokością i dwusieczną kąta.
3) trójkąt jest prostokątny, bo jest wysokością trójkąta.
Z trójkąta obliczamy długość odcinka :
, i , czyli ,
, więc .
Ponieważ jest środkiem ciężkości trójkąta równobocznego, to odległość tego punktu od każdego boku jest taka sama.
Odpowiedź:
Odległość środka ciężkości od każdego boku trójkąta równobocznego o boku długości wynosi .
Zauważmy, że:
i , stąd
, czyli .
Środek ciężkości dzieli środkową na dwa odcinki: odcinek, którego jeden koniec jest wierzchołkiem trójkąta, jest dwa razy dłuższy od drugiej części środkowej.
Przykład 5
Uprośćmy wyrażenie: , a następnie obliczmy jego wartość dla .
Przekształcając wyrażenie wykorzystamy wzory:
1)
przekształcamy do postaci: ,
2) , gdzie po podstawieniu za i otrzymamy:
przy założeniu: .
Ponieważ więc .
Odpowiedź:
Wartość wyrażenia wynosi .
Słownik
trapez
trapez
czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych; boki równoległe nazywamy podstawami trapezu
wysokość trapezu
wysokość trapezu
odległość między podstawami trapezu
środek ciężkości trójkąta
środek ciężkości trójkąta
punkt przecięcia się środkowych trójkąta, czyli odcinków łączących wierzchołki trójkąta ze środkami przeciwległych boków
odległość punktu od prostej
odległość punktu od prostej
długość odcinka prostej prostopadłej do , którego końcami są punkt i punkt przecięcia z prostą