Przeczytaj

Przypomnijmy definicje funkcji trygonometrycznych:

Rc6dOMKWL63bl

Grafika przedstawia trójkąt prostokątny. Pionowy odcinek znajdujący się przy kącie prostym jest podpisany literą a. Poziomy odcinek znajdujący się przy kącie prostym podpisany jest literą b. Odcinek leżący naprzeciw kąta prostego to odcinek c. Między odcinkiem b i c został zaznaczony kąt, jest on podpisany literą alfa.

gdzie:
$c$ – przeciwprostokątna,
$a$ – przyprostokątna przeciwległa do kąta $α$ ,
$b$ – przyprostokątna przyległa do kąta $α$ .

Sinus kąta

α

Definicja: Sinus kąta

α

Sinusem kąta $α$ w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej $a$ przeciwległej do kąta $α$ do przeciwprostokątnej $c$ :

\sin α = \frac{a}{c}

Cosinus kąta

α

Definicja: Cosinus kąta

α

Cosinusem kąta $α$ w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej $b$ przyległej do kąta $α$ do przeciwprostokątnej $c$ :

\cos α = \frac{b}{c}

Tangens kąta

α

Definicja: Tangens kąta

α

Tangensem kąta $α$ w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej $a$ przeciwległej do kąta $α$ do przyprostokątnej $b$ przyległej do kąta $α$ :

tg α = \frac{a}{b}

Aby wyznaczyć wartości funkcji trygonometrycznych kąta $30 °$ , posłużymy się trójkątem równobocznym $A B C$ o boku $a$ .

R1bFIaoKQyodW

Grafika przedstawia trójkąt. Podstawa trójkąta ma wierzchołki A i B. Trzeci wierzchołek jest podpisany literą C. W trójkącie narysowana jest wysokość. Wysokość jest podpisana literą h. Miejsce w którym odcinek, będący wysokością trójkąta, łączy się z podstawą trójkąta zaznaczono literą D. Ramiona trójkąta mają długość a. Odcinek AD ma długość jedna druga a. Wysokość jest pod kątem prostym do podstawy trójkąta. Pomiędzy podstawą trójkąta a jego ramieniem jest kąt 60 stopni. Pomiędzy ramieniem trójkąta a jego wysokością jest kąt 30 stopni. Obok trójkąta jest karteczka z napisem: Zauważmy, że w trójkącie prostokątnym długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta 30 stopni jest połową długości przeciwprostokątnej.

Zauważmy, że wysokość $C D$ dzieli trójkąt na dwa przystające trójkąty prostokątne stąd $|A D| = |D B| = \frac{a}{2}$ oraz kąt $A C D$ ma miarę $30 °$ .

Stosując twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta $A D C$ , wyznaczymy wysokość trójkąta $A B C$ :

${(\frac{a}{2})}^{2} + h^{2} = a^{2}$ , stąd

$h^{2} = a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2} = a^{2} - \frac{a^{2}}{4} = \frac{3}{4} a^{2}$ i ostatecznie

$h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Wobec powyższego:

$\sin 30 ° = \frac{|A D|}{|A C|} = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{1}{2}$

$\cos 30 ° = \frac{|C D|}{|A C|} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$tg 30 ° = \frac{|A D|}{|C D|} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a \sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$tg 30 °$ możemy również wyliczyć, wykorzystując następujący związek: $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$

$tg 30 ° = \frac{\sin 30 °}{\cos 30 °} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Zbierzmy wyliczone wartości funkcji trygonometrycznych w tabeli:

$α$	$30 °$	$60 °$
$\sin α$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos α$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tg α$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$

Przykład 1

Przekątna prostokąta ma długość $2$ i tworzy z dłuższym bokiem kąt $30 °$ . Obliczymy pole tego prostokąta.

Wprowadzamy oznaczenia jak na rysunku:

R10QY9DFjHrJl

Rysunek przedstawia prostokąt. W prostokącie narysowana jest jego przekątna. Poziomy bok prostokąta podpisany jest literą b. Pionowy bok prostokąta podpisany jest literą a. Przekątna prostokąta ma długość dwa. Kąt pomiędzy przekątną a poziomą ścianą prostokąta to 30 stopni.

Pole prostokąta wyliczymy ze wzoru:

P = a \cdot b

Przekątna dzieli prostokąt na dwa przystające trójkąty prostokątne – możemy do wyznaczenia długości boków zastosować funkcje trygonometryczne. Długość boku $a$ wyznaczymy z funkcji sinus:

$\sin 30 ° = \frac{a}{2}$ i $\sin 30 ° = \frac{1}{2}$ , więc $\frac{1}{2} = \frac{a}{2}$ ,

$2 \cdot a = 1 \cdot 2$ , stąd $a = 1$ .

Możemy $a$ wyznaczyć również wykorzystując fakt, że długość przyprostokątnej trójkąta prostokątnego leżącej naprzeciw kąta $30 °$ jest połową długości przeciwprostokątnej czyli $a = 2 : 2 = 1$ .

Bok $b$ wyznaczymy z funkcji cosinus:

$\cos 30 ° = \frac{b}{2}$ i $\cos 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , czyli $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{b}{2}$ ,

$b \cdot 2 = \sqrt{3} \cdot 2$ , więc $b = \sqrt{3}$

Odpowiedź:

Przyprostokątne mają długość: $a = 1$ i $b = \sqrt{3}$ .

Przykład 2

Obliczymy pole i obwód trapezu prostokątnego przedstawionego na rysunku:

R1ay1MkA0c2DT

Grafika przedstawia wielokąt. Wielokąt ten składa się z trójkąta prostokątnego i przylegającego do niego prostokąta. Z lewej strony znajduje się trójkąt, z prawej jest prostokąt. Wierzchołki wielokąta są oznaczone literami: A, B, C, D, E. Odcinek AE jest podstawą trójkąta. Odcinek ten jest przyprostokątną i ma orientację poziomą. Odcinek AD jest przeciwprostokątną trójkąta. Odcinek DE jest przyprostokątną i ma orientację pionową. Odcinek DE jest wspólnym bokiem trójkąta i prostokąta. Jest on narysowany linią przerywaną. Odcinek ten jest dłuższym bokiem prostokąta. Odcinek BE jest krótszym bokiem prostokąta, ma orientację poziomą i znajduje się w jednej linii z podstawą trójkąta. Odcinek BC jest równoległy do odcinka DE. Odcinek CD jest równoległy do odcinka BE. Odcinek CE jest przekątną prostokąta i jest narysowany linią przerywaną. Przeciwprostokątna ma długość 12 centymetrów. Kąt między przeciwprostokątną na podstawą trójkąta to 30 stopni. Kąt między odcinkiem wspólnym trójkąta i prostokąta a przekątną prostokąta ma 30 stopni.

Zauważmy, że bok $B C$ jest wysokością trapezuwysokość trapezuwysokością trapezu $A B C D$ .

Aby rozwiązać zadanie, musimy policzyć długości wszystkich boków powyższego trapezutrapeztrapezu.

Z trójkąta prostokątnego $A E D$ wyliczamy długość boku $|E D|$ :

$\frac{|E D|}{|A D|} = \sin 30 °$ , $\sin 30 ° = \frac{1}{2}$ i $|A D| = 12 cm$ , więc po podstawieniu mamy

$\frac{|E D|}{12} = \frac{1}{2}$

czyli $|E D| = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 cm$

Z rysunku wynika, że $|B C| = |E D|$

więc $| B C | = 6 cm$ .

Długość odcinka $|A E|$ (będącego przyprostokątną trójkąta prostokątnego $A E D$ ) wyliczymy korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

${|A E|}^{2} + {|E D|}^{2} = {|A D|}^{2}$

Podstawiając $|A D| = 12 cm$ i $|E D| = 6 cm$ otrzymujemy.

${|A E|}^{2} + 6^{2} = 12^{2}$ , stąd

${|A E|}^{2} = 144 - 36 = 108$ czyli

$|A E| = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6 \sqrt{3} cm$ .

Z trójkąta prostokątnego $E D C$ wyliczamy długość boku $|D C|$ :

$\frac{|D C|}{|E D|} = tg 30 °$ , $tg 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{3}$ i $|E D| = 6 cm$ , więc

$\frac{|D C|}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , stąd

$|D C| = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2 \sqrt{3} cm$ .

Z rysunku wynika, że:

$|A B| = |A E| + |E B|$ i $|E B| = |D C| = 2 \sqrt{3} cm$ , więc

$|A B| = |A E| + |E B| = 6 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} = 8 \sqrt{3} cm$ .

Ponieważ $|A B| = 8 \sqrt{3} cm$ , $|B C| = 6 cm$ , $| D C | = 2 \sqrt{3} c m$ i $|A D| = 12 cm$ , to obwód trapezu będący sumą jego boków wynosi:

$L = 8 \sqrt{3} + 6 + 2 \sqrt{3} + 12 = (10 \sqrt{3} + 18) c m$ .

Ze wzoru na pole trapezu:

$P = \frac{a + b}{2} \cdot h$ ,

gdy $a = |A B| = 8 \sqrt{3} cm$ , $b = | C D | = 2 \sqrt{3} c m$ i $h = |B C| = 6 cm$

otrzymujemy $P = \frac{8 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{2} \cdot 6 = \frac{10 \sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 30 \sqrt{3} {c m}^{2}$ .

Odpowiedź:

Pole trapezu wynosi $30 \sqrt{3} {c m}^{2}$ , a jego obwód $(10 \sqrt{3} + 18) c m$ .

Przykład 3

Proste $k$ i $l$ przecinają się w punkcie $O$ i tworzą kąt o mierze $30 °$ . Na prostej $k$ obieramy punkt $A$ . Obliczmy odległość tego punktu od prostejodległość punktu $P$ od prostej $k$ odległość tego punktu od prostej $l$ wiedząc, że $|O A| = 8 cm$ .

Odległość punktu $P$ od prostej $k$ – długość odcinka prostej prostopadłej do $k$ , którego końcami są punkt $P$ i punkt przecięcia z prostą $k$ .

RI6NzG06kF4py

Rysunek przedstawia dwie proste l i k. Proste przecinają się w punkcie O. Mniejszy kąt między prostymi to 30 stopni. Po lewej stronie od przecięcia się prostych na prostej k jest punkt A, a na prostej l jest punkt B. Punkty A i B połączone są linią podpisaną literą x. Linia ta jest poprowadzona pod kątem prostym do prostej l.

Przyjmijmy następujące oznaczenie:

$x$ – odległość punktu $A$ od prostej $l$
$|O A| = 8 cm$

Trójkąt $O A B$ jest prostokątny – możemy, wykorzystując funkcję trygonometryczną sinus, obliczyć $x$ :

$\frac{x}{|O A|} = \sin 30 °$ , $\sin 30 ° = \frac{1}{2}$ i $|O A| = 8 cm$ , więc

$\frac{x}{8} = \frac{1}{2}$

$x = 8 \cdot \frac{1}{2}$ , stąd $x = 4 cm$ .

Odpowiedź:

Odległość punktu $A$ od prostej $l$ wynosi $4 cm$ .

Przykład 4

Obliczymy odległość środka ciężkości trójkąta równobocznego o boku długości $6 cm$ od jego boków.

Środek ciężkości powstaje w miejscu przecięcia się środkowych trójkąta, czyli odcinków łączących wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.

W trójkącie równobocznym każda środkowa jest wysokością i dwusieczną kąta.

Ri2E8ILOs4Ibs

Rysunek przedstawia trójkąt. Podstawa trójkąta to odcinek AB. Ramiona trójkąta to odcinki: AC i BC. W trójkącie narysowane są trzy wysokości. Pierwsza wysokość biegnąca z wierzchołka C do podstawy wyznacza na podstawie punkt D, w miejscu styku wysokości z podstawą. Druga wysokość biegnąca z punktu A to ramienia BC wyznacza kąt między podstawą AB i tą wysokością równy 30 stopni. Trzecia wysokość biegnie z wierzchołka B do ramienia AC. Wszystkie wysokości przecinają się w punkcie O. Odcinek pomiędzy punktem D i O został podpisany literą x.

Wprowadźmy oznaczenia:
$O$ – środek ciężkości trójkątaśrodek ciężkości trójkątaśrodek ciężkości trójkąta $A B C$
$|A B| = |B C| = |C A| = a$
$|O D| = x$

Możemy zapisać wnioski:

1) $|A D| = |D B| = \frac{a}{2}$ , bo $D C$ jest środkową,

2) kąt $O A D$ ma miarę: $\frac{60 °}{2} = 30 °$ , bo $A O$ jest dwusieczną kąta,

3) trójkąt $A D O$ jest prostokątny, bo $D C$ jest wysokością trójkąta.

Z trójkąta $A D O$ obliczamy długość odcinka $x$ :

$\frac{x}{\frac{a}{2}} = tg 30 °$ , $tg 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{3}$ i $a = 6 cm$ , czyli , $\frac{x}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$x = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ , więc $x = \sqrt{3} cm$ .

Ponieważ $O$ jest środkiem ciężkości trójkąta równobocznego, to odległość tego punktu od każdego boku jest taka sama.

Odpowiedź:

Odległość środka ciężkości od każdego boku trójkąta równobocznego o boku długości $6 cm$ wynosi $\sqrt{3} cm$ .

Zauważmy, że:

$\frac{|O D|}{\frac{a}{2}} = tg 30 °$ i $tg 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , stąd

$|O D| = \frac{a}{2} \cdot tg 30 °$

$|O D| = \frac{a}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{a}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{1}{3} \cdot h$

$|O C| = h - |O D| = \frac{2}{3} \cdot h$ , czyli $\frac{|O C|}{|O D|} = \frac{\frac{2}{3} \cdot h}{\frac{1}{3} \cdot h} = 2$ .

Środek ciężkości dzieli środkową na dwa odcinki: odcinek, którego jeden koniec jest wierzchołkiem trójkąta, jest dwa razy dłuższy od drugiej części środkowej.

Przykład 5

Uprośćmy wyrażenie: $\frac{\sin^{2} α}{1 - \cos α}$ , a następnie obliczmy jego wartość dla $α = 30 °$ .

Przekształcając wyrażenie wykorzystamy wzory:

1) $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$

przekształcamy do postaci: $\sin^{2} α = 1 - \cos^{2} α$ ,

2) $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ , gdzie po podstawieniu za $a = 1$ i $b = \cos α$ otrzymamy:

$1^{2} - \cos^{2} α = (1 - \cos α) (1 + \cos α)$

$\frac{\sin^{2} α}{1 - \cos α} = \frac{1 - \cos^{2} α}{1 - \cos α} = \frac{(1 - \cos α) (1 + \cos α)}{1 - \cos α} = 1 + \cos α$ przy założeniu: $1 - \cos α \neq 0$ .

Ponieważ $\cos 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ więc $1 + \cos 30 ° = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Odpowiedź:

Wartość wyrażenia wynosi $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Słownik

trapez

czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych; boki równoległe nazywamy podstawami trapezu

wysokość trapezu

odległość między podstawami trapezu

środek ciężkości trójkąta

punkt przecięcia się środkowych trójkąta, czyli odcinków łączących wierzchołki trójkąta ze środkami przeciwległych boków

odległość punktu

P

od prostej

k

odległość punktu

P

od prostej

k

długość odcinka prostej prostopadłej do $k$ , którego końcami są punkt $P$ i punkt przecięcia z prostą $k$

Wprowadzenie

Animacja

Słownik