Animacja

Polecenie 1

Zapoznając się z animacją utrwalisz wyprowadzenie wartości funkcji trygonometrycznych kąta $30 °$ . Następnie rozwiąż zadania i porównaj z odpowiedziami.

R1LnoHV2SR8No

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1DzRGwPf

Film nawiązujący do treści materiału

Polecenie 2

Dany jest trójkąt prostokątny:

R1IGHBSZhnfua

Rysunek przedstawia 3 trójkąty prostokątne. Pierwszy trójkąt podpisany jest literą a. Pierwsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość 2 pierwiastek z 3. Przeciwprostokątna ma długość 4. Kąt pomiędzy drugą przyprostokątną a przeciwprostokątną jest podpisany literą alfa. Drugi trójkąt podpisany jest literą b. Pierwsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość 5. Przeciwprostokątna ma długość 10. Kąt między przyprostokątną o długości 5 i przeciwprostokątną jest podpisany literą alfa. Trzeci trójkąt jest podpisany literą c. Jego jedna przyprostokątna ma długość pierwiastek z 12, a druga przyprostokątna ma długość 6. Kąt pomiędzy przyprostokątną o długości 6 a przeciwprostokątną jest podpisany literą alfa.

Czy kąt $α$ ma miarę $30 °$ ?

a) $\sin α = \frac{2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \neq \sin 30 ° = \frac{1}{2}$ , czyli $α \neq 30 °$

b) $\cos α = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \neq \cos 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , czyli $α \neq 30 °$

c) $tg α = \frac{\sqrt{12}}{6} = \frac{\sqrt{4 \cdot 3}}{6} = \frac{\sqrt{4} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{2 \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} = tg 30 °$ , czyli $α = 30 °$

Polecenie 3

Oblicz pole równoległoboku przedstawionego na rysunku:

RLuYWBeYT7fWe

Rysunek przedstawia równoległobok. Wierzchołki równoległoboku są podpisane literami: A, B, C, D. Dolna podstawa równoległoboku to AB. Górna podstawa to DC. Odcinek DB dzieli równoległobok na 2 trójkąty. Kąt ostry pomiędzy podstawą AB równoległoboku a jego bokiem AD to 30 stopni.

Gdy $|A D| = 6 cm$ , $|B D| = 5 cm$ .

RmcUp5e1ePIGY

Z trójkąta prostokątnego $A E D$ wyliczamy $h$ i $x$ :

Ponieważ $\frac{h}{6} = \sin 30 °$ i $\sin 30 ° = \frac{1}{2}$ , więc

$\frac{h}{6} = \frac{1}{2}$ , stąd $h = 3 cm$ .

Obliczamy $x$ :

$\frac{x}{6} = \cos 60 °$ i $\cos 60 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , więc

$\frac{x}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , stąd otrzymujemy $x = 3 \sqrt{3} cm$ .

Z trójkąta prostokątnego $D E B$ , stosując twierdzenie Pitagorasa wyznaczamy $y$ :

$h^{2} + y^{2} = 5^{2}$ i $h = 3 cm$ , więc

$3^{2} + y^{2} = 25$ stąd $y = 4 cm$ .

Możemy teraz podać długość boku $A B$ :

$|A B| = x + y = (3 \sqrt{3} + 4) cm$ .

Do wzoru na pole równoległoboku:

$P = |A B| \cdot h$

podstawiamy $|A B| = (3 \sqrt{3} + 4) cm$ , $h = 3 cm$ i otrzymujemy

$P = 3 \cdot (3 \sqrt{3} + 4) {cm}^{2}$ .

Odpowiedź:

Pole równoległoboku wynosi $3 \cdot (3 \sqrt{3} + 4) {cm}^{2}$ .

Przeczytaj

Sprawdź się