Obliczymy pole trójkąta o wierzchołkach $A=(-3, 1)$, $B=(3, 5)$, $C=(5, -3)$.

Zaczniemy od wyznaczenia równania prostej $AB$.

Skorzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty:

z którego wynika równanie:

czyli:

Wysokość trójkąta $ABC$ poprowadzona z wierzchołka $C$ ma długość równą odległości punktu $C$ od prostej $AB$:

Długość odcinka $AB$ jest równa:

Zatem pole trójkąta $ABC$ to:

Wyznaczymy równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych odległej od punktu $P=\left(3, 4\right)$ o odcinek długości $\sqrt{5}$.

R1Zu7EP88wSTc

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Oś pozioma X ma na sobie liczby od -3 do siedem. Oś pionowa Y ma na sobie liczby od -2 do pięć. Poprowadzono dwie proste, obie przechodzą przez pierwszą i trzecią ćwiartkę układu współrzędnych. Proste przecinają się w środku układu współrzędnych. Zaznaczono punkt P o współrzędnych $\left(3;5\right)$. Zaznaczono odległość punktu do obu prostych. Punkt ten znajduje się w odległości $\sqrt{5}$ od obu prostych.

Zauważmy najpierw, że prosta, której równania szukamy, nie jest prostą równoległą do osi $Y$. Zatem jej równanie ma postać:

Po podstawieniu danych do wzoru na odległość punktu od prostej otrzymujemy równanie $\sqrt{5}=\frac{\left|3a-4\right|}{\sqrt{a^2+1}}$.

Możemy pomnożyć obie jego strony przez $\sqrt{a^2+1}$ otrzymując:

Ponieważ obie strony równania są nieujemne możemy je podnieść do kwadratu otrzymując równanie równoważne $5a^2+5=9a^2-24a+16$, które przekształca się do postaci:

Pierwiastkami równania są liczby:

oraz

Zatem szukane równania to:

oraz

Wyznaczymy równania dwusiecznych kątówdwusieczna kątadwusiecznych kątów zawartych między prostymi $k$ i $m$ o równaniach odpowiednio $2x-y=0$ oraz $x-2y=0$.

RWoJXr1FSFJ9N

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych. Oś poziomą oznaczono jako X, znajdują się na niej liczby od -3 do siedem. Oś pionową oznaczono jako Y, znajdują się na niej liczby od -2 do pięć. Na układ naniesiono dwie proste $2x-y=0$ oraz $x-2y=0$, przechodzą one przez pierwszą i trzecią ćwiartkę układu współrzędnych. Proste przecinają się w początku układu współrzędnych. Zaznaczono punkt X o współrzędnych $\left(x_0;y_0\right)$. Jest on odległy od obu prostych o d. Zaznaczono kąt pomiędzy prostymi. Wynosi on dwa gamma. Poprowadzono przerywaną linią prostą, która przechodzi przez początek układu współrzędnych oraz przez punkt X. Dzieli ona kąt pomiędzy prostymi na pół.

Skorzystamy z faktu, że każdy punkt dwusiecznej kąta jest równoodległy od jego ramion.

Wybierzmy dowolny punkt $X$ leżący na dwusiecznej jednego z dwóch kątów pomiędzy rozważanymi prostymi.

Oznaczmy jego współrzędne przez $\left(x_0, y_0\right)$.

Wówczas odległość punktu $X$ od prostej $k$ jest równa

zaś odległość $X$ od prostej $m$ to:

Ponieważ punkt $X$ należy do dwusiecznej kąta między prostymi $k$ i $m$, to wyznaczone odległości są równe, skąd wynika równanie:

zatem:

Wartości bezwzględne są równe dokładnie wtedy, gdy ich wnętrza są równe lub przeciwne, zatem:

lub

Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy równania

oraz

Zatem rozwiązaniem zadania są wszystkie punkty, których współrzędne spełniają równania

lub

Są to jednocześnie równania dwusiecznych kątówdwusieczna kątadwusiecznych kątów, pod którymi przecinają się proste o równaniach

i 

Wyznaczymy równanie krzywej zawierającej wszystkie punkty, których odległość od punktu $A=(3, -1)$ jest równa odległości od prostej $k$ o równaniu $y=3$.

Niech punkt $X=\left(x_0, y_0\right)$ będzie równoodległy od prostej $k$ o równaniu $y=3$ i od punktu $A=\left(3, -1\right)$.

Wówczas odległość punktu $X$ od prostej $k$ jest równa $\left|y_0-3\right|$, zaś odległość punktu $A$ od punktu $X$ wynosi:

Ponieważ odległość punktu $X$ od punktu $A$ ma być równa odległości punktu $X$ od prostej $k$, otrzymujemy równanie

Ponieważ obie strony równania są nieujemne, można je podnieść do kwadratu otrzymując równanie równoważne:

${\left(y_0-3\right)}^2={\left(x_0-3\right)}^2+{\left(y_0+1\right)}^2$, które przekształca się kolejno do

Zatem krzywa będąca zbiorem wszystkich punktów spełniających warunki zadania to parabolaparabolaparabola o równaniu:

Uwaga:

Prostą $k$ w powyższym przykładzie nazywamy kierownicą otrzymanej paraboli, zaś punkt $A$ jej ogniskiem.

zbiór punktów równoodległych od danej prostej zwanej kierownicą i danego punktu zwanego ogniskiem, przy czym ognisko nie może leżeć na kierownicy

zbiór wszystkich punktów zawartych wewnątrz tego kąta, które leżą w równej odległości od jego ramion