Przeczytaj
Przypomnijmy, że odległość punktu od prostej o równaniu , gdzie wyraża się wzorem:
Obliczymy pole trójkąta o wierzchołkach , , .
Zaczniemy od wyznaczenia równania prostej .
Skorzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty:
z którego wynika równanie:
czyli:
Wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka ma długość równą odległości punktu od prostej :
Długość odcinka jest równa:
Zatem pole trójkąta to:
Wyznaczymy równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych odległej od punktu o odcinek długości .
Zauważmy najpierw, że prosta, której równania szukamy, nie jest prostą równoległą do osi . Zatem jej równanie ma postać:
Po podstawieniu danych do wzoru na odległość punktu od prostej otrzymujemy równanie .
Możemy pomnożyć obie jego strony przez otrzymując:
Ponieważ obie strony równania są nieujemne możemy je podnieść do kwadratu otrzymując równanie równoważne , które przekształca się do postaci:
Pierwiastkami równania są liczby:
oraz
Zatem szukane równania to:
oraz
Wyznaczymy równania dwusiecznych kątówdwusiecznych kątów zawartych między prostymi i o równaniach odpowiednio oraz .
Skorzystamy z faktu, że każdy punkt dwusiecznej kąta jest równoodległy od jego ramion.
Wybierzmy dowolny punkt leżący na dwusiecznej jednego z dwóch kątów pomiędzy rozważanymi prostymi.
Oznaczmy jego współrzędne przez .
Wówczas odległość punktu od prostej jest równa
zaś odległość od prostej to:
Ponieważ punkt należy do dwusiecznej kąta między prostymi i , to wyznaczone odległości są równe, skąd wynika równanie:
zatem:
Wartości bezwzględne są równe dokładnie wtedy, gdy ich wnętrza są równe lub przeciwne, zatem:
lub
Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy równania
oraz
Zatem rozwiązaniem zadania są wszystkie punkty, których współrzędne spełniają równania
lub
Są to jednocześnie równania dwusiecznych kątówdwusiecznych kątów, pod którymi przecinają się proste o równaniach
i
Wyznaczymy równanie krzywej zawierającej wszystkie punkty, których odległość od punktu jest równa odległości od prostej o równaniu .
Niech punkt będzie równoodległy od prostej o równaniu i od punktu .
Wówczas odległość punktu od prostej jest równa , zaś odległość punktu od punktu wynosi:
Ponieważ odległość punktu od punktu ma być równa odległości punktu od prostej , otrzymujemy równanie
Ponieważ obie strony równania są nieujemne, można je podnieść do kwadratu otrzymując równanie równoważne:
, które przekształca się kolejno do
Zatem krzywa będąca zbiorem wszystkich punktów spełniających warunki zadania to parabolaparabola o równaniu:
Uwaga:
Prostą w powyższym przykładzie nazywamy kierownicą otrzymanej paraboli, zaś punkt jej ogniskiem.
Słownik
zbiór punktów równoodległych od danej prostej zwanej kierownicą i danego punktu zwanego ogniskiem, przy czym ognisko nie może leżeć na kierownicy
zbiór wszystkich punktów zawartych wewnątrz tego kąta, które leżą w równej odległości od jego ramion