Przeczytaj

Przyjrzyj się przykładom przedstawiającym jak zapisuje się zbiór rozwiązań nierównościzbiór rozwiązań nierównościzbiór rozwiązań nierówności oraz jak przedstawia się taki zbiór na osi liczbowej.

Przykład 1

Rozwiążemy nierówność, a następnie zaznaczymy jej zbiór rozwiązań na osi liczbowej i zapiszemy w postaci przedziału.

$4 \cdot (x - 2) - 5 \cdot (4 - x) \geq 2 x$

Rozwiązujemy nierówność, przekształcając ją równoważnie.

$4 x - 8 - 20 + 5 x \geq 2 x$

$7 x \geq 28$

$x \geq 4$

A zatem rozwiązaniem tej nierówności są wszystkie liczby rzeczywiste, które są większe lub równe $4$ .

Zaznaczamy liczby spełniające taki warunek na osi liczbowej.

RqMwjqxe7ncE9

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus dwóch do dziewięciu. Na osi zaznaczony jest przedział lewostronnie domknięty od czterech do plus nieskończoności.

Zapisujemy zbiór rozwiązań w postaci przedziału.

x \in ⟨4, \infty)

Przykład 2

Rozwiążemy nierówność, a następnie zaznaczymy jej zbiór rozwiązań na osi liczbowej i zapiszemy w postaci przedziału.

$\frac{3 \cdot (4 - x)}{2} + \frac{x + 5}{3} > 4 x - 2 \frac{2}{3}$

Rozwiązujemy nierówność, przekształcając ją równoważnie.

$\frac{3 \cdot (4 - x)}{2} + \frac{x + 5}{3} > 4 x - 2 \frac{2}{3} |\cdot 6$

$9 \cdot (4 - x) + 2 \cdot (x + 5) > 6 \cdot (4 x - 2 \frac{2}{3})$

$36 - 9 x + 2 x + 10 > 24 x - 16$

$- 31 x > - 62 |: (- 31)$

$x < 2$

A zatem rozwiązaniem tej nierówności są wszystkie liczby rzeczywiste, które są mniejsze od $2$ .

Zaznaczamy liczby spełniające taki warunek na osi liczbowej.

R1BtkLiKMv37p

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do pięciu. Na osi zaznaczony jest przedział otwarty od minus nieskończoności do dwóch.

Zapisujemy zbiór rozwiązań w postaci przedziału.

x \in (- \infty, 2)

Przykład 3

Rozwiążemy nierówność podwójną, a następnie zaznaczymy jej zbiór rozwiązań na osi liczbowej i zapiszemy w postaci przedziału.

$- 8 \leq 4 \cdot (x - 2) \leq 12$

Ta nierówność ma niewiadomą tylko pomiędzy znakami nierówności. Możemy wtedy rozwiązywać nierówność, przekształcając jednocześnie całą nierówność.

$- 8 \leq 4 \cdot (x - 2) \leq 12 |: 4$

$- 2 \leq x - 2 \leq 3 |+ 2$

$0 \leq x \leq 5$

Rozwiązaniem tej nierówności są wszystkie liczby rzeczywiste, które są większe lub równe $0$ i jednocześnie mniejsze lub równe od $5$ .

Zaznaczamy liczby spełniające taki warunek na osi liczbowej.

RC8SiHjDtxl3D

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus czterech do pięciu. Na osi zaznaczony jest przedział obustronnie domknięty od zera do pięciu.

Zapisujemy zbiór rozwiązań w postaci przedziału.

x \in ⟨0, 5⟩

Przykład 4

Rozwiążemy nierówność podwójną, a następnie zaznaczymy jej zbiór rozwiązań na osi liczbowej i zapiszemy w postaci przedziału.

$4 x - 2 < 6 - x < 5 x - 2$

W tej nierówności niewiadoma występuje po różnych stronach nierówności. Musimy zatem rozwiązać układ dwóch powstałych w ten sposób nierówności.

$4 x - 2 < 6 - x$ i $6 - x < 5 x - 2$

Każdą z tych nierówności rozwiązujemy oddzielnie, ale zaznaczamy ich zbiory rozwiązań na jednej osi liczbowej.

$4 x - 2 < 6 - x$ i $6 - x < 5 x - 2$

$5 x < 8 |: 5$ i $- 6 x < - 8 |: (- 6)$

$x < \frac{8}{5}$ i $x > \frac{8}{6}$

Rtlytx4IZxCze

Ilustracja przedstawia poziomą oś X. Na osi zaznaczone są dwie liczby: osiem szóstych oraz osiem piątych, a także dwa przedziały otwarte. Pierwszy od minus nieskończoności do ośmiu piątych oraz drugi od ośmiu szóstych do plus nieskończoności. Przedział otwarty od ośmiu szóstych do ośmiu piątych jest częścią wspólną pierwszego i drugiego przedziału.

Pomiędzy nierównościami występuje spójnik „i”, a więc rozwiązaniem nierówności podwójnej jest zbiór, który jest iloczynem zaznaczonych przedziałów.

$x \in (- \infty, \frac{8}{5}) \cap (\frac{8}{6}, \infty) \Rightarrow x \in (\frac{8}{6}, \frac{8}{5})$

Rozwiązaniem nierówności jest więc przedział $(\frac{8}{6}, \frac{8}{5})$ .

Przykład 5

Rozwiążemy układ nierówności.

$\{\begin{cases} 2 x - 1 \leq 3 \cdot (x - 5) \\ 2 \cdot (x - 1) > 3 - (3 x - 5) \end{cases}$

Każdą z nierówności rozwiązujemy oddzielnie, a ich zbiory rozwiązań zaznaczamy na jednej osi liczbowej.

$2 x - 1 \leq 3 \cdot (x - 5)$ i $2 \cdot (x - 1) > 3 - (3 x - 5)$

$2 x - 1 \leq 3 x - 15$ i $2 x - 2 > 3 - 3 x + 5$

$- x \leq - 14 |: (- 1)$ i $5 x > 10 |: 5$

$x \geq 14$ i $x > 2$

R1LUj4Y7PoL9k

Ilustracja przedstawia poziomą oś X. Na osi zaznaczone są dwie liczby: 2 oraz 14, a także dwa przedziały. Pierwszy przedział jest otwarty od dwóch do plus nieskończoności. Drugi przedział jest lewostronnie domknięty od czternastu do plus nieskończoności. Przedział lewostronnie domknięty od czternastu do plus nieskończoności jest ich częścią wspólną.

Układ nierówności spełniają liczby, które spełniają jednocześnie obie nierówności.

A więc rozwiązaniem tego układu jest zbiór, który jest iloczynem otrzymanych przedziałów.

$x \in ⟨14, \infty) \cap (2, \infty) \Rightarrow x \in ⟨14, \infty)$

Rozwiązaniem układu nierówności jest więc przedział $⟨14, \infty)$ .

Przykład 6

Wiedząc, że liczby $x$ należą do przedziału przedstawionego na osi liczbowej uzupełnimy nierówność: $4 x + 5 > . . .$

R9kII1wg44PHW

Ilustracja przedstawia poziomą oś X. Na osi zaznaczona jest liczba 2 oraz przedział otwarty od dwóch do plus nieskończoności.

Z rysunku możemy odczytać, że:

$x > 2$

Przekształcamy nierówność równoważnienierówności równoważnenierówność równoważnie, tak aby po lewej stronie nierówności otrzymać wyrażenie podane w treści zadania.

$x > 2 |\cdot 4$

$4 x > 8 |+ 5$

$4 x + 5 > 13$

A zatem nierówność należy uzupełnić liczbą $13$ .

Słownik

zbiór rozwiązań nierówności

zbiór wszystkich liczb spełniających daną nierówność

nierówności równoważne

nierówności posiadające taki sam zbiór rozwiązań

Wprowadzenie

Film samouczek

Słownik