Przeczytaj

Przypomnijmy, że pierwiastkiem drugiego stopnia (kwadratowym) z nieujemnej liczby $a$ nazywamy taką nieujemną liczbę $b$ , której kwadrat jest równy $a$ , czyli:

$\sqrt{a} = b \Leftrightarrow b^{2} = a$ , gdzie $a \geq 0$ , $b \geq 0$

Analogicznie pierwiastkiem stopnia $n$ , gdzie $n$ jest liczbą naturalną większą od $2$ , z nieujemnej liczby $a$ nazywamy taką nieujemną liczbę $b$ , której potęga o wykładniku $n$ jest równa $a$ , czyli:

$\sqrt[n]{a} = b \Leftrightarrow b^{n} = a$ , gdzie $n \in ℕ ∖ \{0, 1\}$ , $a \geq 0$ , $b \geq 0$

Przykład 1

$\sqrt[4]{16} = 2$ , bo $2 \geq 0$ i $2^{4} = 16$

$\sqrt[4]{81} = 3$ , bo $3 \geq 0$ i $3^{4} = 81$

$\sqrt[4]{0, 0625} = 0, 5$ , bo $0, 5 \geq 0$ i $0, 5^{4} = 0, 0625$

$\sqrt[5]{32} = 2$ , bo $2 \geq 0$ i $2^{5} = 32$

$\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{2}{3}$ , bo $\frac{2}{3} \geq 0$ i ${(\frac{2}{3})}^{5} = \frac{32}{243}$

Zauważmy, że wyrażenia $\sqrt[4]{x}$ , $\sqrt[6]{x}$ , $\sqrt[8]{x}$ , $...$ (i ogólnie pierwiastki parzystych stopni) mają sens liczbowy tylko i wyłącznie dla liczb nieujemnych $x$ , zatem dziedzinądziedzina wyrażenia algebraicznegodziedziną pierwiastka parzystego stopnia jest zbiór liczb nieujemnych, czyli $x \geq 0$ .

Przykład 2

Wyrażenie $\sqrt[4]{x}$ ma sens dla każdej nieujemnej liczby rzeczywistej $x$ , czyli dla $x \geq 0$ .

Wyrażenie $\sqrt[6]{x - 7}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $x - 7 \geq 0$ , czyli dla $x \geq 7$ .

Wyrażenie $\sqrt[8]{x + 13}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $x + 13 \geq 0$ , czyli dla $x \geq - 13$ .

Wyrażenie $\sqrt[10]{15 - x}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $15 - x \geq 0$ , czyli dla $x \leq 15$ .

Wyrażenie $\sqrt[12]{- x - 17}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $- x - 17 \geq 0$ , czyli dla $x \leq - 17$ .

Przykład 3

Ponieważ niewykonalne jest dzielenie przez $0$ , wyrażenie $\frac{1}{\sqrt[4]{x}}$ ma sens dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ , czyli dla $x > 0$ .

Wyrażenie $\frac{1}{\sqrt[6]{x - 4}}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $x - 4 > 0$ (uwzględniamy przy tym fakt, że mianownik nie może być równy zeru), czyli dla $x > 4$ .

Ponieważ mianownik ułamka nie może być równy $0$ , wyrażenie $\frac{1}{\sqrt[8]{x + 6}}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $x + 6 > 0$ , czyli dla $x > - 6$ .

Wyrażenie $\frac{1}{\sqrt[10]{5 - x}}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $5 - x > 0$ , czyli dla $x < 5$ .

Wyrażenie $\frac{1}{\sqrt[12]{- 10 - x}}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $- 10 - x > 0$ , czyli dla $x < - 10$ .

Przykład 4

$\sqrt[4]{5^{4}} = \sqrt[4]{625} = 5$

$\sqrt[4]{{(- 5)}^{4}} = \sqrt[4]{625} = 5$

$\sqrt[6]{2^{6}} = \sqrt[6]{64} = 2$

$\sqrt[6]{{(- 2)}^{6}} = \sqrt[6]{64} = 2$

Przykład 5

Zwróć uwagę, że liczby $\sqrt{3} - 3$ i $3 - \sqrt{3}$ są liczbami przeciwnymi:

$\sqrt{3} - 3 = - (- \sqrt{3} + 3) = - (3 - \sqrt{3})$ . Zatem

$\sqrt[4]{{(3 - \sqrt{3})}^{4}} = 3 - \sqrt{3}$ , bo $3 - \sqrt{3} > 0$

Zauważmy, że liczba $\sqrt{3} - 3$ jest ujemna, więc, aby obliczyć $\sqrt[4]{{(\sqrt{3} - 3)}^{4}}$ , wykonamy przekształcenia:

$\sqrt[4]{{(\sqrt{3} - 3)}^{4}} = \sqrt[4]{{[- (- \sqrt{3} + 3)]}^{4}} = \sqrt[4]{{[- (3 - \sqrt{3})]}^{4}} = \sqrt[4]{{(3 - \sqrt{3})}^{4}} = 3 - \sqrt{3}$

Ważne!

Uważaj na wyrażenia postaci $\sqrt[2 n]{x^{2 n}}$ , gdzie $n$ jest liczbą naturalną dodatnią. Często popełnianym błędem jest uznawanie, że pierwiastekpierwiastek i potęga wzajemnie się znoszą (redukują) i rozważane wyrażenie jest równe $x$ . Powyższe przykłady pokazują, że to nieprawda. W rzeczywistości rozważane wyrażenie jest równe wartości bezwzględnej z $x$ , czyli $\sqrt[2 n]{x^{2 n}} = |x|$ dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ . Natomiast ${(\sqrt[2 n]{x})}^{2 n} = x$ , ale ta równość zachodzi tylko i wyłącznie dla $x \geq 0$ .

Własności pierwiastkowania

Własność: Własności pierwiastkowania

Dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ oraz liczby naturalnej $n$ większej od $1$ zachodzą równości:

$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$

$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ , o ile $b \neq 0$

Przykład 6

$\sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{125} = \sqrt[4]{5 \cdot 125} = \sqrt[4]{625} = 5$

$\frac{\sqrt[5]{729}}{\sqrt[5]{3}} = \sqrt[5]{\frac{729}{3}} = \sqrt[5]{243} = 3$

$\sqrt[6]{192} = \sqrt[6]{2^{6} \cdot 3} = \sqrt[6]{2^{6}} \cdot \sqrt[6]{3} = 2 \sqrt[6]{3}$

Przykład 7

Korzystając z własności pierwiastkowania, usuniemy niewymierności z mianowników następujących ułamków:

a) $\frac{1}{\sqrt[4]{2}} = \frac{1}{\sqrt[4]{2}} \cdot \frac{\sqrt[4]{8}}{\sqrt[4]{8}} = \frac{\sqrt[4]{8}}{\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8}} = \frac{\sqrt[4]{8}}{\sqrt[4]{2 \cdot 8}} = \frac{\sqrt[4]{8}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{\sqrt[4]{8}}{2}$

b) $\frac{1}{\sqrt[5]{9}} = \frac{1}{\sqrt[5]{9}} \cdot \frac{\sqrt[5]{27}}{\sqrt[5]{27}} = \frac{\sqrt[5]{27}}{\sqrt[5]{9} \cdot \sqrt[5]{27}} = \frac{\sqrt[5]{27}}{\sqrt[5]{9 \cdot 27}} = \frac{\sqrt[5]{27}}{\sqrt[5]{243}} = \frac{\sqrt[5]{27}}{\sqrt[5]{3^{5}}} = \frac{\sqrt[5]{27}}{3}$

Zwróć uwagę na kolejność wykonywania działań w wyrażeniach typu $\sqrt[n]{a^{n} + b^{n}}$ .

Pierwiastkowanie nie jest rozdzielne względem dodawania, więc powyższe wyrażenie nie jest równe wyrażeniu $\sqrt[n]{a^{n}} + \sqrt[n]{b^{n}}$ .

Rozważmy $\sqrt[4]{2^{4} + 3^{4}}$ .

Poprawne obliczenie wygląda następująco $\sqrt[4]{2^{4} + 3^{4}} = \sqrt[4]{16 + 81} = \sqrt[4]{97}$ .

Ponadto $\sqrt[4]{2^{4}} + \sqrt[4]{3^{4}} = 2 + 3 = 5$ , co oczywiście nie jest równe poprawnie obliczonej wartości, czyli liczbie $\sqrt[4]{97}$ .

Przykład 8

Aby dodać pierwiastki $\sqrt[4]{48} + \sqrt[4]{243}$ , możemy postąpić następująco:

$\sqrt[4]{48} + \sqrt[4]{243} = \sqrt[4]{16 \cdot 3} + \sqrt[4]{81 \cdot 3} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{3} = 2 \sqrt[4]{3} + 3 \sqrt[4]{3} = 5 \sqrt[4]{3}$ .

Przypomnijmy jeszcze, że dla $a \geq 0$ i liczb naturalnych $n$ większych od $1$ zachodzi równość:

a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}

Słownik

pierwiastek stopnia

n

z liczby nieujemnej

pierwiastek stopnia

n

z liczby nieujemnej

pierwiastkiem stopnia $n$ $(n \in ℕ ∖ \{0, 1\})$ z nieujemnej liczby $a$ nazywamy taką nieujemną liczbę $b$ , której potęga o wykładniku $n$ jest równa $a$ , czyli:

$\sqrt[n]{a} = b \Leftrightarrow a = b^{n}$ , dla $a \geq 0$ , $b \geq 0$ , $n \in ℕ ∖ \{0, 1\}$

dziedzina wyrażenia algebraicznego

zbiór tych i tylko tych liczb, dla których dane wyrażenie ma sens

Wprowadzenie

Gra edukacyjna

Słownik