Przeczytaj
Przypomnijmy, że pierwiastkiem drugiego stopnia (kwadratowym) z nieujemnej liczby nazywamy taką nieujemną liczbę , której kwadrat jest równy , czyli:
, gdzie ,
Analogicznie pierwiastkiem stopnia , gdzie jest liczbą naturalną większą od , z nieujemnej liczby nazywamy taką nieujemną liczbę , której potęga o wykładniku jest równa , czyli:
, gdzie , ,
, bo i
, bo i
, bo i
, bo i
, bo i
Zauważmy, że wyrażenia , , , (i ogólnie pierwiastki parzystych stopni) mają sens liczbowy tylko i wyłącznie dla liczb nieujemnych , zatem dziedzinądziedziną pierwiastka parzystego stopnia jest zbiór liczb nieujemnych, czyli .
Wyrażenie ma sens dla każdej nieujemnej liczby rzeczywistej , czyli dla .
Wyrażenie ma sens dla każdej liczby rzeczywistej spełniającej warunek , czyli dla .
Wyrażenie ma sens dla każdej liczby rzeczywistej spełniającej warunek , czyli dla .
Wyrażenie ma sens dla każdej liczby rzeczywistej spełniającej warunek , czyli dla .
Wyrażenie ma sens dla każdej liczby rzeczywistej spełniającej warunek , czyli dla .
Ponieważ niewykonalne jest dzielenie przez , wyrażenie ma sens dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej , czyli dla .
Wyrażenie ma sens dla każdej liczby rzeczywistej spełniającej warunek (uwzględniamy przy tym fakt, że mianownik nie może być równy zeru), czyli dla .
Ponieważ mianownik ułamka nie może być równy , wyrażenie ma sens dla każdej liczby rzeczywistej spełniającej warunek , czyli dla .
Wyrażenie ma sens dla każdej liczby rzeczywistej spełniającej warunek , czyli dla .
Wyrażenie ma sens dla każdej liczby rzeczywistej spełniającej warunek , czyli dla .
Zwróć uwagę, że liczby i są liczbami przeciwnymi:
. Zatem
, bo
Zauważmy, że liczba jest ujemna, więc, aby obliczyć , wykonamy przekształcenia:
Uważaj na wyrażenia postaci , gdzie jest liczbą naturalną dodatnią. Często popełnianym błędem jest uznawanie, że pierwiastekpierwiastek i potęga wzajemnie się znoszą (redukują) i rozważane wyrażenie jest równe . Powyższe przykłady pokazują, że to nieprawda. W rzeczywistości rozważane wyrażenie jest równe wartości bezwzględnej z , czyli dla dowolnej liczby rzeczywistej . Natomiast , ale ta równość zachodzi tylko i wyłącznie dla .
Dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych , oraz liczby naturalnej większej od zachodzą równości:
, o ile
Korzystając z własności pierwiastkowania, usuniemy niewymierności z mianowników następujących ułamków:
a)
b)
Zwróć uwagę na kolejność wykonywania działań w wyrażeniach typu .
Pierwiastkowanie nie jest rozdzielne względem dodawania, więc powyższe wyrażenie nie jest równe wyrażeniu .
Rozważmy .
Poprawne obliczenie wygląda następująco .
Ponadto , co oczywiście nie jest równe poprawnie obliczonej wartości, czyli liczbie .
Aby dodać pierwiastki , możemy postąpić następująco:
.
Przypomnijmy jeszcze, że dla i liczb naturalnych większych od zachodzi równość:
Słownik
pierwiastkiem stopnia z nieujemnej liczby nazywamy taką nieujemną liczbę , której potęga o wykładniku jest równa , czyli:
, dla , ,
zbiór tych i tylko tych liczb, dla których dane wyrażenie ma sens