Przeczytaj
Zastanowimy się teraz nad wzorem ogólnym ciągu geometrycznego , gdy dany jest pierwszy wyraz i iloraz ciągu.
Z określenia ciągu geometrycznego wynika, że każdy wyraz tego ciągu począwszy od drugiego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez liczbę .
Wyraz –ty ciągu geometrycznego jest równy iloczynowi wyrazu pierwszego przez iloraz ciągu podniesiony do potęgi , czyli .
Jeżeli ciąg jest ciągiem geometrycznym o ilorazie to dla każdej liczby naturalnej
Podamy teraz kilka prostych przykładów na zastosowanie zapisanego wzoru.
Obliczymy trzeci wyraz ciągu geometrycznego , w którym i .
Korzystamy ze wzoru .
.
Obliczymy pierwszy wyraz ciągu geometrycznego , w którym i .
Korzystamy ze wzoru .
.
Znajdziemy iloraz ciągu geometrycznego , w którym i . Podamy wzór ogólny ciągu.
Korzystamy ze wzoru .
Zapisujemy wzór ogólny ciągu geometrycznegowzór ogólny ciągu geometrycznego.
Wzór można przekształcić i zapisać w postaci
.
Wyznaczymy liczbę wyrazów ciągu geometrycznego , w którym , , .
Korzystamy ze wzoru .
.
Przechodzimy do trudniejszych przykładów. Rozwiązanie zapisanych tam problemów będzie wymagało między innymi wykorzystania znajomości rozwiązywania układów równań oraz równań kwadratowych.
W sześciowyrazowym ciągu geometrycznym iloczyn wyrazów parzystych jest równy , a iloczyn wyrazów nieparzystych . Znajdziemy wzór ogólny tego ciągu.
Oznaczmy:
– iloraz ciągu.
Iloczyn wyrazów parzystych jest równy , czyli
Korzystamy ze wzoru na –ty wyraz ciągu geometrycznego (czyli ze wzoru na wyraz ogólny ciągu).
Iloczyn wyrazów nieparzystych jest równy , czyli
Otrzymaliśmy układ równań.
Dzielimy stronami oba równania układu i uzyskujemy:
Podstawiamy wyznaczoną liczbę do drugiego równania układu i obliczamy pierwszy wyraz ciągu.
Dla ułatwienia obliczeń, każdą z liczb stojących po prawej stronie znaku równości zapiszemy w postaci potęgi liczby .
Zapisujemy wzór ogólny ciągu.
, gdy .
Ciąg jest pięciowyrazowym ciągiem geometrycznym. Suma pierwszych trzech wyrazów tego ciągu jest równa , a suma trzech ostatnich wyrazów jest równa . Znajdziemy wyrazy tego ciągu.
Oznaczmy:
– pierwszy wyraz ciągu,
– iloraz ciągu.
Zapisujemy układ równań, wynikający z treści zadania.
W obu równaniach wyłączamy wspólne czynniki przed nawias.
Dzielimy stronami oba równania (z treści zadania wynika, że i , a równanie nie ma pierwiastków).
lub
Jeśli to , , , , .
Jeśli to , , , , .
Odpowiedź:
Istnieją dwa ciągi spełniające warunki zadania:
i .
W ciągu geometrycznym iloraz i pierwszy wyraz . Wykażemy, że dla każdej liczby naturalnej prawdziwa jest równość
Korzystamy ze wzoru i zapisujemy wyrazy dowodzonej równości za pomocą pierwszego wyrazu i ilorazu ciągu.
Dzielimy obie strony równości przez (oba czynniki iloczynu są różne od ).
Podstawiamy .
Otrzymaliśmy tożsamość, co kończy dowód.
W ciągu geometrycznym wszystkie wyrazy są dodatnie i spełniony jest warunek . Wykażemy, że suma czterech początkowych wyrazów tego ciągu jest największa, gdy iloraz ciągu jest równy .
Oznaczmy:
– iloraz ciągu .
Na podstawie treści zadania zapisujemy równanie.
Dzielimy obie strony równania przez (z treści zadania wynika, że ).
Wyznaczamy .
Teraz zapisujemy sumę czterech początkowych wyrazów ciągu.
Rozważymy dwa przypadki.
i
W tym przypadku ciąg jest stały, suma czterech pierwszych wyrazów jest równa .
Przekształcamy otrzymaną sumę.
Do sumy, podstawiamy uzyskane wcześniej .
Rozważmy funkcję i zbadajmy, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość największą.
Zgodnie z treścią zadania, dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich. Z dziedziny wyłączyliśmy też liczbę .
Rozpatrywana funkcja jest funkcją kwadratową (, , ), zatem największą wartość przyjmuje dla , czyli w naszym przypadku dla . Liczba ta należy do dziedziny funkcji.
Obliczamy tę wartość największą.
Porównujemy uzyskane sumy.
Wynika z tego, że suma czterech początkowych wyrazów tego ciągu jest największa, gdy iloraz ciągu jest równy , co należało udowodnić.
Słownik
jeżeli ciąg jest ciągiem geometrycznym o ilorazie to dla każdej liczby naturalnej