Przeczytaj

Każdą prostą umieszczoną w prostokątnym układzie współrzędnych, która nie jest prostopadła do osi $X$ , można opisać tzw. równaniem kierunkowym. Otóż współrzędne każdego punktu $(x, y)$ takiej prostej spełniają równanie $y = a x + b$ , gdzie $a$ i $b$ to pewne liczby rzeczywiste. Liczby $a$ i $b$ nazywamy współczynnikami równania: liczbę $a$ - współczynnikiem kierunkowym prostej, zaś liczbę $b$ - wyrazem wolnym. W tej lekcji zajmiemy się głównie interpretacją współczynnika $b$ .

Możemy zauważyć, że podstawiając za zmienną $x$ liczbę zero w równaniu $y = a x + b$ , otrzymujemy kolejno:

$y = a \cdot 0 + b$

$y = b$

Stąd wniosek, że prosta o równaniu $y = a x + b$ przechodzi przez punkt o współrzędnych $(0, b)$ . Zatem wyraz wolny $b$ informuje nas, w którym punkcie prosta przecina oś $Y$ . Obserwacja ta znacznie ułatwia rysowanie prostych o danym równaniu oraz podawanie równań narysowanych prostych.

RQuuSCwUHnKGW

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Brak podziałki. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta przecinająca oś Y w punkcie 0, b, gdzie b jest liczbą dodatnią większą od 1. Prosta podpisana jest równaniem kierunkowym y=ax+b. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Przykład 1

Narysujemy proste będące wykresami podanych niżej równań liniowych. Skorzystamy z interpretacji graficznej wyrazu wolnegowyraz wolnywyrazu wolnego.

$y = 3 x - 2$

Wyrazem wolnym prostej o równaniu $y = 3 x - 2$ jest liczba $(- 2)$ , co oznacza, że prosta przechodzi przez punkt $(0, - 2)$ .

Aby narysować prostą, wystarczą nam współrzędne dwóch punktów, przez które ona przechodzi. Wyznaczają one bowiem jednoznacznie położenie prostej na płaszczyźnie.

Jeśli za zmienną $x$ podstawimy liczbę $1$ , otrzymamy $y = 3 \cdot 1 - 2 = 1$ , czyli punkt o współrzędnych $(1, 1)$ .

Czasami dla skontrolowania poprawności rachunkowej warto wyznaczyć współrzędne jeszcze jednego punktu spełniającego dane równanie. Jeśli po zaznaczeniu wszystkich trzech punktów w układzie współrzędnych okazuje się, że nie leżą one na jednej prostej, oznacza to, że popełniliśmy błąd. Jeśli natomiast punkty leżą na jednej prostej, to z dużym prawdopodobieństwem rozwiązaliśmy zadanie poprawnie. Niech pierwsza współrzędna punktu kontrolnego będzie równa $2$ , wówczas druga współrzędna tego punktu to $y = 3 \cdot 2 - 2 = 6 - 2 = 4$ . Otrzymujemy punkt o współrzędnych $(2, 4)$ .

Rwvp7tCwRy0Ek

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta przecinająca oś Y w punkcie 0, -2. Na prostej zaznaczono również punkty o współrzędnych: 1, 1 oraz 2, 4.

$y = - 2 x + 3$

Zauważmy, że wyraz wolny w tym równaniu wynosi $3$ , zatem prosta przechodzi przez punkt $(0, 3)$ .

Szukając drugiego punktu, podstawimy za zmienną $x$ liczbę $3$ . Otrzymamy $y = - 2 \cdot 3 + 3 = - 3$ , czyli punkt o współrzędnych $(3, - 3)$ .

Dla skontrolowania poprawności rachunkowej weźmy jeszcze jeden punkt. Niech jego pierwsza współrzędna będzie równa $2$ . Wówczas druga współrzędna to $y = - 2 \cdot 2 + 3 = - 1$ . Otrzymujemy punkt $(2, - 1)$ .

RykkChd8qDZgb

$y = - 2$

Wyrazem wolnym prostej o równaniu $y = - 2$ jest liczba $(- 2)$ , zatem prosta przechodzi przez punkt o współrzędnych $(0, - 2)$ . Zauważmy, że współczynnik kierunkowy $a$ jest równy $0$ . Dlatego niezależnie od tego jaką liczbę podstawimy za zmienną $x$ , druga współrzędna zawsze będzie równa $y = - 2$ . Czyli do tej prostej należą między innymi punkty o współrzędnych $(3, - 2)$ oraz $(- 2, - 2)$ .

R1Qj6KDIoUlae

Przykład 2

Podamy równania prostych na podstawie ich wykresów i korzystając z interpretacji współczynnika $b$ .

RUvM8lYqh4so4

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus trzech do pięciu. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta przecinająca oś Y w punkcie 0, 3. Prosta przechodzi również przez punkt o współrzędnych 1, 5, który nie jest na niej wyróżniony.

Zauważmy najpierw, że prosta na rysunku nie jest prostopadła do osi $X$ . Zatem można ją opisać równaniem postaci $y = a x + b$ .

Z wykresu możemy odczytać, że przechodzi ona przez punkty kratowepunkty kratowepunkty kratowe o współrzędnych $(- 2, - 1)$ , $(- 1, 1)$ , $(0, 3)$ , $(1, 5)$ . Ponieważ prosta przecina oś $Y$ w punkcie $(0, 3)$ , zatem wyraz wolny $b$ jest równy $3$ .

Stąd $y = a x + 3$ .

Aby wyznaczyć współczynnik kierunkowy $a$ , możemy wykorzystać współrzędne jednego z odczytanych punktów kratowych. Weźmy na przykład punkt $(1, 5)$ . Po podstawieniu do wzoru $x = 1$ i $y = 5$ , otrzymujemy $5 = a \cdot 1 + 3$ , czyli $a = 2$ .

Zatem prosta ma równanie $y = 2 x + 3$ .

RPKy4iWONkv2Z

Z wykresu odczytujemy, że prosta $y = a x + b$ przechodzi przez punkty kratowepunkty kratowepunkty kratowe o współrzędnych $(- 2, 4)$ , $(- 1, 1)$ , $(0, - 2)$ . Ponieważ prosta przecina oś $Y$ w punkcie $(0, - 2)$ , zatem wyraz wolny $b$ jest równy $(- 2)$ .

Stąd $y = a x - 2$ .

Aby wyznaczyć współczynnik kierunkowy $a$ , wykorzystamy współrzędne odczytanego punktu kratowego $(- 1, 1)$ . Po podstawieniu do wzoru $x = - 1$ i $y = 1$ otrzymujemy $1 = a \cdot (- 1) - 2$ , czyli $a = - 3$ .

Zatem prosta ma równanie $y = - 3 x - 2$ .

Słownik

punkty kratowe

punkty umieszczone w prostokątnym układzie współrzędnych, których współrzędne wyrażają się liczbami całkowitymi

wyraz wolny

współczynnik $b$ w równaniu kierunkowym prostej $y = a x + b$ , określa punkt przecięcia prostej $(0, b)$ z osią $Y$

Wprowadzenie

Aplet

Słownik