StożekstożekStożek jest bryłą obrotową powstałą przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych lub trójkąta równoramiennego wokół wysokości opuszczonej na podstawę trójkąta.

Siatka stożka składa się z wycinka koła, który stanowi powierzchnię boczną stożka i koła będącego jego podstawą.

R1VL3hskZ3suv

Objętość stożka o promieniu podstawy rwysokościwysokość stożkawysokości h obliczymy ze wzoru:

V=13πr2h

A pole powierzchni stożka o promieniu podstawy rtworzącejtworzącatworzącej l wyraża się wzorem:

Pc=πr2+πrl=πrr+l
Uwaga!

Pole powierzchni bocznej stożka jest równe polu wycinka koła o promieniu l i kącie zaznaczonym na rysunku powyżej jako α.

Przypomnijmy, że pole takiego wycinka będzie wynosić P=α360°·πl2.

Uwaga!

Z powyższego wzoru wynika, że r=α360°·l.

Przykład 1

Stopiono wosk ze świecy w kształcie walca o średnicy podstawy 8 cm i wysokości 12 cm i wykonano z niego komplet świec w kształcie stożka o średnicy podstawy 4 cm i wysokości 6 cm. Ile świec zawierał komplet?

R14CNkJToItnp

Rozwiązanie

Obliczamy objętość wosku powstałego ze świecy w kształcie walca:

Vw=π·42·12=192π cm3.

Obliczamy objętość wosku potrzebnego do wykonania świecy w kształcie stożka:

Vs=13·22·6=8π cm3.

Teraz możemy już obliczyć ile świec zawiera komplet 192π:8π=24. A zatem w komplecie znajdują się 24 świece w kształcie stożka.

Przykład 2

Stosowanie form walcowych i stożkowych dachów jest charakterystyczną cechą stylu romańskiego. Najsłynniejszym tego typu budynkiem w Polsce jest rotunda pw. św. Mikołaja w Cieszynie, której wizerunek znalazł się na banknocie o nominale 20 .

RJzQirEe7jL3j
Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Paweł wykonał makietę rotundy z kartonu. Wymiary makiety składającej się z walca, połowy walca, stożka i połowy stożka bez podstaw (okna są narysowane), podane są na rysunku.

R1HsyoKAlV6BR

Jaka jest powierzchnia kartonu zużytego do wykonania makiety? Na zakładki przyjmujemy dodatkowo 10% uzyskanej powierzchni. Przyjmujemy π=3,14.

Rozwiązanie:

Obliczamy długość tworzących stożka:

4,72+3,72=l12, a stąd l16 dm oraz 1,52+2,22=l22, a stąd l22,7 m

P=Pbw1+12Pbw2+Pbs1+12Pbs2

Czyli

P=2π4,711,3+π1,56,8+π4,76+0,5π1,52,7

460,5 dm2.

Ostatecznie powierzchnia papieru będzie wynosić 460,5+46,05=506,55 dm2.

Przykład 3

Do pucharka w kształcie stożka o wysokości 75 mm i średnicy 90 mm wlano sok napełniając go w 23 objętości, a następnie wrzucono dwie kostki lodu w kształcie walca o średnicy podstawy 3 cm i wysokości 3 cm. Czy sok przeleje się?

RRvNInnoa0Qx0

Rozwiązanie

Obliczamy objętość naczynia, soku i kostek lodu. Mamy więc:

Vpucharka=13π·4,52·7,5=50,625π cm3

Vsoku=23·50,625π=33,75π cm3, Vlodu=2·π·1,52·3=13,5π cm3

A zatem Vsoku+Vlodu=47,25π cm3<Vpucharka. Co oznacza, że sok nie przeleje się.

Przykład 4

Kasia wycina z kartki wycinek koła, z którego wykona czapeczkę na przedstawienie, w którym będzie grała skrzata. Chce, aby obwód czapeczki wynosił 50 cm, a wysokość czapeczki 6 cm. Jaki powinien być kąt środkowy tego wycinka w przybliżeniu do 1°? Przyjmij π=3,14. Czy na wykonanie tej czapeczki wystarczy kartka A4?

Rozwiązanie

Mamy, że 2πr=50, co daje nam r8 cm. Obliczymy długość tworzącej tego stożka z twierdzenia Pitagorasa: 82+62=l2, a stąd l=10 cm.

Mamy więc α360°·10=8, a stąd α=288°.

Promień wycinka będzie miał długość 10 cm, więc kartka A4 jest wystarczająca.

Przykład 5

Stojak do podawania frytek wykonany z drutu ma kształt stożka o wysokości 18 cm i średnicy 9 cm. Podstawa stojaka jest okręgiem o promieniu długości 4 cm. Jaką długość ma drut potrzebny do wykonania stojaka, jeżeli na powierzchni stożka są cztery tworzące oraz dwa okręgi w 1323 wysokości, a w podstawie stojaka jest poprowadzona średnica. Przyjmij π=3,14.

RG94vATFv68wR

Rozwiązanie

Zauważmy, że skoro okręgi znajdują się w 1323 wysokości, to korzystając z podobieństwa trójkątów (cecha kąt‑kąt‑kąt) mamy:

RD7wo4MISSHN9

Mamy zatem obwody czterech okręgów: lokręgów=9π+6π+3π+8π=26π81,6 cm.

Obliczymy długość tworzącej z twierdzenia Pitagorasa: 182+4,52=l2, czyli l18,6 cm.

A zatem na średnicę podstawki w kształcie okręgu i cztery tworzące potrzebujemy lodcinków=8+4·18,6=82,4 cm.

A zatem razem mamy l=81,6+82,4=164 cm.

Słownik

stożek
stożek

bryła obrotowa powstała przez obrót trójkąta prostokątnego wzdłuż przyprostokątnej lub trójkąta równoramiennego wokół wysokości poprowadzonej na podstawę

tworząca
tworząca

odcinek łączący wierzchołek stożka z punktem na okręgu podstawy

wysokość stożka
wysokość stożka

odcinek łączący wierzchołek stożka ze środkiem jego podstawy