Stopiono wosk ze świecy w kształcie walca o średnicy podstawy $8 \mathrm{cm}$ i wysokości $12 \mathrm{cm}$ i wykonano z niego komplet świec w kształcie stożka o średnicy podstawy $4 \mathrm{cm}$ i wysokości $6 \mathrm{cm}$. Ile świec zawierał komplet?

R14CNkJToItnp

Ilustracja przedstawia dwie zapalone świece obok siebie na białym tle. Lewa świeca ma kształt stożka oraz jest koloru ciemnoniebieskiego. Prawa świeca jest nieco wyższa niż lewa, ma kształt walca oraz jest koloru fioletowego.

Rozwiązanie

Obliczamy objętość wosku powstałego ze świecy w kształcie walca:

$V_w=\pi ·4^2·12=192\pi {\mathrm{cm}}^3$.

Obliczamy objętość wosku potrzebnego do wykonania świecy w kształcie stożka:

$V_s=\frac{1}{3}·2^2·6=8\pi {\mathrm{cm}}^3$.

Teraz możemy już obliczyć ile świec zawiera komplet $192\pi :8\pi =24$. A zatem w komplecie znajdują się $24$ świece w kształcie stożka.

Stosowanie form walcowych i stożkowych dachów jest charakterystyczną cechą stylu romańskiego. Najsłynniejszym tego typu budynkiem w Polsce jest rotunda pw. $\text{św.}$ Mikołaja w Cieszynie, której wizerunek znalazł się na banknocie o nominale $20 \mathrm{zł}$.

RJzQirEe7jL3j

Ilustracja składa się z dwóch oddzielnych ilustracji. Lewa ilustracja przedstawia ceglany budynek w kształcie dwóch złączonych walców, jeden z nich jest mniejszy od drugiego. Dachy obu walcy są w kształcie stożków. Oba walce posiadają w górnej części dokładnie jedno mniejsze okno. Prawy rysunek przedstawia tył współczesnego, polskiego banknotu dwudziestozłotowego.

Paweł wykonał makietę rotundy z kartonu. Wymiary makiety składającej się z walca, połowy walca, stożka i połowy stożka bez podstaw (okna są narysowane), podane są na rysunku.

R1HsyoKAlV6BR

Ilustracja przedstawia makietę budynku składającego się z dwóch walców złączonych ze sobą, których dachy wykonane są ze stożków. Jeden walec jest większy od drugiego, to samo dotyczy stożków. Na ilustracji zaznaczone są następujące informacje: wysokość większego stożka wynosi $11,3$ decymetra, wysokość mniejszego walca wynosi $6,8$ decymetra, promień większego stożka wynosi $4,7$ decymetra, promień mniejszego stożka wynosi $1,5$ decymetra, wysokość większego walca razem ze stożkiem wynosi $15$ decymetrów, wysokość mniejszego walca razem ze stożkiem wynosi $9$ decymetrów.

Jaka jest powierzchnia kartonu zużytego do wykonania makiety? Na zakładki przyjmujemy dodatkowo $10\%$ uzyskanej powierzchni. Przyjmujemy $\pi =3,14$.

Rozwiązanie:

Obliczamy długość tworzących stożka:

$4,7^2+3,7^2={l_1}^2$, a stąd $l_1\approx 6 \mathrm{dm}$ oraz $1,5^2+2,2^2={l_2}^2$, a stąd $l_2\approx 2,7 \mathrm{m}$

$P=P_{bw1}+\frac{1}{2}{P}_{bw2}+P_{bs1}+\frac{1}{2}{P}_{bs2}$

Czyli

$P=2\cdot \pi \cdot 4,7\cdot 11,3+\pi \cdot 1,5\cdot 6,8+\pi \cdot 4,7\cdot 6+0,5\cdot \pi \cdot 1,5\cdot 2,7\approx$

$\approx 460,5 {\mathrm{dm}}^2$.

Ostatecznie powierzchnia papieru będzie wynosić $460,5+46,05=506,55 {\mathrm{dm}}^2$.

Do pucharka w kształcie stożka o wysokości $75 \mathrm{mm}$ i średnicy $90 \mathrm{mm}$ wlano sok napełniając go w $\frac{2}{3}$ objętości, a następnie wrzucono dwie kostki lodu w kształcie walca o średnicy podstawy $3 \mathrm{cm}$ i wysokości $3 \mathrm{cm}$. Czy sok przeleje się?

RRvNInnoa0Qx0

Ilustracja przedstawia na białym tle dwie kostki lodu w kształcie walca oraz szklany kielich w kształcie odwróconego stożka, który został wypełniony ponad połowę pomarańczowym płynem.

Rozwiązanie

Obliczamy objętość naczynia, soku i kostek lodu. Mamy więc:

$V_{\text{pucharka}}=\frac{1}{3}\pi ·4,5^2·7,5=50,625\pi {\mathrm{cm}}^3$

$V_{\text{soku}}=\frac{2}{3}·50,625\pi =33,75\pi {\mathrm{cm}}^3$, $V_{\text{lodu}}=2·\pi ·1,5^2·3=13,5\pi {\mathrm{cm}}^3$

A zatem $V_{\text{soku}}+V_{\text{lodu}}=47,25\pi {\mathrm{cm}}^3<V_{\text{pucharka}}$. Co oznacza, że sok nie przeleje się.

Kasia wycina z kartki wycinek koła, z którego wykona czapeczkę na przedstawienie, w którym będzie grała skrzata. Chce, aby obwód czapeczki wynosił $50 \mathrm{cm}$, a wysokość czapeczki $6 \mathrm{cm}$. Jaki powinien być kąt środkowy tego wycinka w przybliżeniu do $1°$? Przyjmij $\pi =3,14$. Czy na wykonanie tej czapeczki wystarczy kartka A4?

Rozwiązanie

Mamy, że $2\pi r=50$, co daje nam $r\approx 8 \mathrm{cm}$. Obliczymy długość tworzącej tego stożka z twierdzenia Pitagorasa: $8^2+6^2=l^2$, a stąd $l=10 \mathrm{cm}$.

Mamy więc $\frac{\alpha }{360°}·10=8$, a stąd $\alpha =288°$.

Promień wycinka będzie miał długość $10 \mathrm{cm}$, więc kartka A4 jest wystarczająca.

Stojak do podawania frytek wykonany z drutu ma kształt stożka o wysokości $18 \mathrm{cm}$ i średnicy $9 \mathrm{cm}$. Podstawa stojaka jest okręgiem o promieniu długości $4 \mathrm{cm}$. Jaką długość ma drut potrzebny do wykonania stojaka, jeżeli na powierzchni stożka są cztery tworzące oraz dwa okręgi w $\frac{1}{3}$ i $\frac{2}{3}$ wysokości, a w podstawie stojaka jest poprowadzona średnica. Przyjmij $\pi =3,14$.

RG94vATFv68wR

Ilustracja przedstawia odwrócony stożek zbudowany z drutu, który stoi na okrągłej obręczy. Sam stożek zbudowany jest z trzech obręczy o coraz mniejszych rozmiarach, przy czym największa jest na górze, a najmniejsza na dole. Cztery druty wychodzą od wierzchołka, przylegają one do każdej z trzech obręczy, trzymając je od siebie w równych odległościach.

Rozwiązanie

Zauważmy, że skoro okręgi znajdują się w $\frac{1}{3}$ i $\frac{2}{3}$ wysokości, to korzystając z podobieństwa trójkątów (cecha kąt‑kąt‑kąt) mamy:

RD7wo4MISSHN9

Ilustracja przedstawia stożek, którego wysokość została podzielona na trzy równe części. Zaznaczono promienie koła wychodzące od wysokości oraz obrysowano na ścianie bocznej podstawę dla każdej części. Pierwsza część, która jest najbliżej wierzchołka ma promień równy $1,5$, środkowa część ma promień równy $3$, natomiast ostatnia, największa część ma promień równy $4,5$.

Mamy zatem obwody czterech okręgów: $l_{\mathit{\text{okręgów}}}=9\pi +6\pi +3\pi +8\pi =26\pi \approx 81,6 \mathrm{cm}$.

Obliczymy długość tworzącej z twierdzenia Pitagorasa: ${18}^2+4,5^2=l^2$, czyli $l\approx 18,6 \mathrm{cm}$.

A zatem na średnicę podstawki w kształcie okręgu i cztery tworzące potrzebujemy $l_{\mathit{\text{odcinków}}}=8+4·18,6=82,4 \mathrm{cm}$.

A zatem razem mamy $l=81,6+82,4=164 \mathrm{cm}$.

bryła obrotowa powstała przez obrót trójkąta prostokątnego wzdłuż przyprostokątnej lub trójkąta równoramiennego wokół wysokości poprowadzonej na podstawę

odcinek łączący wierzchołek stożka z punktem na okręgu podstawy

odcinek łączący wierzchołek stożka ze środkiem jego podstawy