Przeczytaj
W pierwszym przykładzie omówimy pomiar wysokości wieży za pomocą ekierek używanych w praktyce szkolnej.
Załóżmy, że w rozpatrywanych we Wprowadzeniu pomiarach wysokości wieży używamy jednej ze standardowych ekierek (to znaczy takiej o obu kątach ostrych równych lub takiej o kątach ostrych i , jak widać na rysunku obok).
Wobec tego przy pomiarach możliwe są tylko trzy sytuacje przedstawione na rysunku poniżej.
W każdej z nich wystarczy zmierzyć odległość od wieży (na powyższym rysunku oznaczoną dla kolejnych obserwatorów przez , , ), a następnie skorzystać z wiedzy o stosunku boków ekierki.
Zauważymy, że wtedy wysokość wieży jest zależna od tych odległości zgodnie z poniższymi wzorami:
jeżeli kąt, pod którym widać wieżę jest równy , to otrzymujemy równość ,
jeżeli kąt, pod którym widać wieżę jest równy , to otrzymujemy równość
jeżeli kąt, pod którym widać wieżę jest równy , to otrzymujemy równość ,
co w każdym z tych trzech przypadków pozwoli na oszacowanie wysokości wieży.
Jednak nie ma powodu, aby przy tego rodzaju pomiarach ograniczać się do używania jedynie dwóch typów ekierek. W podobny sposób możemy przecież wykorzystywać każdy dostępny trójkąt prostokątny, o dowolnych kątach ostrych (a od tego, jaki jest kąt ostry, zależeć będzie stosunek przyprostokątnych i w konsekwencji: odległość od wieży, w jakiej musimy się ustawić).
Ponadto takie różnorodne „ekierki” przydają się przy rozwiązywaniu wielu problemów dotyczących m.in. pomiarów w terenie (mierzenie wysokości wieży jest jednym z przykładowych sposobów ich zastosowania).
Zupełnie naturalnie pojawia się wówczas potrzeba nazwania proporcji poszczególnych boków w takich „ekierkach”, czyli w trójkątach prostokątnych o zadanym kształcie.
Rozważmy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych i oraz przeciwprostokątnej , w którym kąt leży naprzeciw boku .
Wtedy tangensem kąta nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości drugiej przyprostokatnej:
Obliczymy tangensy kątów ostrych w trójkącie prostokątnym widocznym na rysunku:
,
.
Zaś na poniższym rysunku zilustrowano trójkąty prostokątne, w których tangensy zaznaczonego kąta są równe kolejno:
, , i .
Można zaobserwować, że:
im większy jest kąt ostry , tym większa jest wartość jego tangensa.
Rozważmy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych i oraz przeciwprostokątnej , w którym kąt leży naprzeciw boku .
Wtedy:
sinusem kąta nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przeciwprostokątnej:
;cosinusem kąta nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej:
Uwaga! Bezpośrednio z definicji wynika, że wartości sinusasinusa, cosinusacosinusa i tangensatangensa kąta ostrego są dodatnie. Ponadto, ponieważ w każdym trójkącie prostokątnym najdłuższym bokiem jest przeciwprostokątna, więc dla dowolnego kąta ostrego zarówno wartości , jak i są mniejsze niż .
Rozważmy trójkąt prostokątny zaprezentowany na rysunku w przykładzie .
Zgodnie z definicją otrzymujemy wówczas, że:
oraz
W kwadracie o boku przekątna ma długość .
Rozcinamy taki kwadrat wzdłuż przekątnej i bierzemy jeden z otrzymanych w ten sposób trójkątów prostokątnych, który ma kształt standardowej ekierki o dwóch równych bokach.
Mamy przy tym:
,
,
.
W trójkącie równobocznym o boku wysokość ma długość i dzieli na pół przeciwległy bok oraz kąt przy wierzchołku.
Po rozcięciu danego trójkąta wzdłuż wysokości otrzymamy dwa przystające trójkąty prostokątne. Obliczymy wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla obu kątów ostrych w jednym z tych trójkątów.
Rozwiązanie
Zauważmy, że w trójkącie prostokątnym widocznym na rysunku powyżej:
dla kąta otrzymujemy:
, oraz ,dla kąta mamy:
, oraz .
Wyniki uzyskane w dwóch poprzednich przykładach zbieramy w tabelce.
funkcja trygonometryczna | |||
---|---|---|---|
Narysujemy przykładowy trójkąt prostokątny, w którym sinus jednego z kątów ostrych jest równy .
Rozwiązanie
Rozważmy w tym celu trójkąt prostokątny o przyprostokątnej długości i przeciwprostokątnej długości . Druga przyprostokątna takiego trójkąta ma wówczas, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, długość:
Rysujemy więc trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości i , w którym, na podstawie definicji, otrzymujemy .
Zauważmy przy okazji, że oraz .
Uwaga! Warto zaobserwować, jak zmienia się sinus i cosinus kąta ostrego wraz ze wzrostem miary kąta. Na poniższych rysunkach przedstawiono okręgi o promieniu .
Nietrudno zauważyć, że wraz ze zwiększaniem się miary kąta ostrego jego cosinus maleje:
.
Sinusy zaznaczonych kątów zachowują się natomiast odwrotnie: wraz ze wzrostem miary kąta stają się coraz większe:
Zaobserwowana prawidłowość dotyczy wszystkich kątów ostrych.
Zapamiętajmy zatem, że:
im większy jest kąt ostry , tym mniejsza jest wartość jego cosinusa,
im większy jest kąt ostry , tym większa jest wartość jego sinusa.
Przyjmujemy, że: , oraz , .
W trójkącie równoramiennym , w którym , wysokość poprowadzona z wierzchołka ma długość .
Obliczymy miary kątów tego trójkąta.
Rozwiązanie
Zauważmy, że wysokość poprowadzona z na bok dzieli dany trójkąt na dwa przystające trójkąty prostokątne: i .
Jeżeli kąt ostry przy wierzchołku oznaczymy jako , to:
.
Ponieważ , więc (wynika to stąd, że daną wartość sinus może przyjmować tylko dla jednego kąta ostrego).
A zatem kąty w trójkącie mają miary:
, .
Kąt jest ostry i Wykażemy, że .
Rozwiązanie
Mamy .
Ponieważ wraz ze wzrostem kąta ostrego rośnie jego sinus, więc .
Ilustracja tego faktu znajduje się na rysunku obok (oba trójkąty mają przeciwprostokątną równą ).
Zapis oznacza wyrażenie, które jest kwadratem (drugą potęgą) sinusa kąta .
Podobnie oznacza wyrażenie, które jest kwadratem (drugą potęgą) cosinusa kąta .
Obliczymy wartość wyrażenia .
Rozwiązanie
Podstawiamy wartości odpowiednich sinusów, cosinusów i tangensów, skąd otrzymujemy, że:
.
Odpowiedź: Wartość podanego wyrażenia wynosi .
Rozważmy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości i . Na podstawie tabeli wartości trygonometrycznych określimy z dokładnością do miary kątów ostrych w tym trójkącie.
Rozwiązanie. Ponieważ , więc .
Trójkąt jest prostokątny, zatem .
Odpowiedź: W rozważanym trójkącie kąty ostre są w przybliżeniu równe i .
Słownik
tangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości drugiej przyprostokatnej
sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przeciwprostokątnej
cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej