Przeczytaj

W pierwszym przykładzie omówimy pomiar wysokości wieży za pomocą ekierek używanych w praktyce szkolnej.

Przykład 1

RtvpgPjgDdtE41

Grafika przedstawia dwie ekierki. Pierwsza o przyprostokątnych o długości a natomiast druga o przyprostokątnej b i przeciwprostokątnej długości 2b.

Załóżmy, że w rozpatrywanych we Wprowadzeniu pomiarach wysokości wieży używamy jednej ze standardowych ekierek (to znaczy takiej o obu kątach ostrych równych $45 °$ lub takiej o kątach ostrych $30 °$ i $60 °$ , jak widać na rysunku obok).

Wobec tego przy pomiarach możliwe są tylko trzy sytuacje przedstawione na rysunku poniżej.

Rqc6t1jpgQ36w

Grafika przedstawia fragment zamku z wieżą i troje ludzi pod nim . Wysokość wieży jest równa. Odległość człowieka w pomarańczowym ubraniu od zamku oznaczono jako d1 , człowieka w niebieski jako d2 natomiast człowieka w różowym jako d3 . Odległości od nich do czubka wieży zamkowej wyznaczone są przez przerywane linie. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 4.0.

W każdej z nich wystarczy zmierzyć odległość od wieży (na powyższym rysunku oznaczoną dla kolejnych obserwatorów przez $d_{1}$ , $d_{2}$ , $d_{3}$ ), a następnie skorzystać z wiedzy o stosunku boków ekierki.

Zauważymy, że wtedy wysokość $h$ wieży jest zależna od tych odległości zgodnie z poniższymi wzorami:

jeżeli kąt, pod którym widać wieżę jest równy $60 °$ , to otrzymujemy równość $h = d_{1} \sqrt{3}$ ,
jeżeli kąt, pod którym widać wieżę jest równy $45 °$ , to otrzymujemy równość $h = d_{2}$
jeżeli kąt, pod którym widać wieżę jest równy $30 °$ , to otrzymujemy równość $h = \frac{d_{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} d_{3}$ ,
co w każdym z tych trzech przypadków pozwoli na oszacowanie wysokości wieży.

Jednak nie ma powodu, aby przy tego rodzaju pomiarach ograniczać się do używania jedynie dwóch typów ekierek. W podobny sposób możemy przecież wykorzystywać każdy dostępny trójkąt prostokątny, o dowolnych kątach ostrych (a od tego, jaki jest kąt ostry, zależeć będzie stosunek przyprostokątnych i w konsekwencji: odległość od wieży, w jakiej musimy się ustawić).

Ponadto takie różnorodne „ekierki” przydają się przy rozwiązywaniu wielu problemów dotyczących m.in. pomiarów w terenie (mierzenie wysokości wieży jest jednym z przykładowych sposobów ich zastosowania).

Zupełnie naturalnie pojawia się wówczas potrzeba nazwania proporcji poszczególnych boków w takich „ekierkach”, czyli w trójkątach prostokątnych o zadanym kształcie.

tangens kąta ostrego

Definicja: tangens kąta ostrego

Rozważmy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $a$ i $b$ oraz przeciwprostokątnej $c$ , w którym kąt $α$ leży naprzeciw boku $a$ .

RGgZtz6RYa1Id

Grafika przedstawia trójkąt prostokątny o bokach przyprostokątnych – dłuższym a , krótszym b oraz przeciwprostokątnej o długości c. Kąt pomiędzy bokami b i c wynosi α.

Wtedy tangensem kąta $α$ nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości drugiej przyprostokatnej:

tg α = \frac{a}{b}

Przykład 2

Obliczymy tangensy kątów ostrych w trójkącie prostokątnym widocznym na rysunku:
$tg α = \frac{12}{5}$ ,
$tg β = \frac{5}{12}$ .

RUVcYyhjz1nGd

Grafika przedstawia trójkąt prostokątny o przyprostokątnych o długościach 5 i 12 oraz przeciwprostokątnej o długości 13 . Kąt pomiędzy bokami 5 i 13 wynosi α natomiast drugi kąt ostry wynosi β.

Zaś na poniższym rysunku zilustrowano trójkąty prostokątne, w których tangensy zaznaczonego kąta $α$ są równe kolejno:
$\frac{1}{2}$ , $1$ , $\frac{3}{2}$ i $2$ .

R14zgIe7AoArY

Grafika przedstawia cztery trójkąty prostokątne. W pierwszym długości przyprostokątnych wynoszą 2 i 1 , w drugim 2 i 2 w trzecim 2 i 3 oraz w czwartym 2 i 4. Kąt pomiędzy bokiem długości 2 oraz przeciwprostokątną w każdym trójkącie wynosi α.

Można zaobserwować, że:
im większy jest kąt ostry $α$ , tym większa jest wartość jego tangensa.

sinus i cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Definicja: sinus i cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Rozważmy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $a$ i $b$ oraz przeciwprostokątnej $c$ , w którym kąt $α$ leży naprzeciw boku $a$ .

RSOtWDK7HP1QL

Wtedy:

sinusem kąta $α$ nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przeciwprostokątnej:
$\sin α = \frac{a}{c}$ ;
cosinusem kąta $α$ nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej:
$\cos α = \frac{b}{c}$

Uwaga! Bezpośrednio z definicji wynika, że wartości sinusasinus kąta ostregosinusa, cosinusacosinus kąta ostregocosinusa i tangensatangens kąta ostregotangensa kąta ostrego są dodatnie. Ponadto, ponieważ w każdym trójkącie prostokątnym najdłuższym bokiem jest przeciwprostokątna, więc dla dowolnego kąta ostrego $α$ zarówno wartości $\sin α$ , jak i $\cos α$ są mniejsze niż $1$ .

Przykład 3

Rozważmy trójkąt prostokątny zaprezentowany na rysunku w przykładzie $2$ .
Zgodnie z definicją otrzymujemy wówczas, że:
$\sin α = \frac{12}{13}, \cos α = \frac{5}{13},$ oraz $\sin β = \frac{5}{13}, \cos β = \frac{12}{13} .$

Przykład 4

W kwadracie o boku $1$ przekątna ma długość $\sqrt{2}$ .
Rozcinamy taki kwadrat wzdłuż przekątnej i bierzemy jeden z otrzymanych w ten sposób trójkątów prostokątnych, który ma kształt standardowej ekierki o dwóch równych bokach.

RpQHc1q5niFMF

Grafika przedstawia trójkąt prostokątny równoramienny o bokach długości 1 oraz przeciwprostokątnej długości 2. Kąty ostre wynoszą 45°. Przy wierzchołkach tych kątów są poprowadzone przerywane linie prostopadłe do boków trójkąta i przecinające się tak że punkt przecięcia jest symetryczny do wierzchołka prostokątnego gdzie przeciwprostokątna jest linią symetrii.

Mamy przy tym:
$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ,
$\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ,
$tg 45 ° = \frac{1}{1} = 1$ .

Przykład 5

W trójkącie równobocznym o boku $2$ wysokość ma długość $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = \sqrt{3}$ i dzieli na pół przeciwległy bok oraz kąt przy wierzchołku.

Po rozcięciu danego trójkąta wzdłuż wysokości otrzymamy dwa przystające trójkąty prostokątne. Obliczymy wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla obu kątów ostrych w jednym z tych trójkątów.

RzW1LOIGWQ8uT

Ilustracja przedstawia trójkąt równoboczny przez który poprowadzono oś symetrii przechodzącą przez górny wierzchołek i podstawę dzieląc trójkąt na dwa trójkąty prostokątne o krótszej przyprostokątnej długości 1, dłuższej o długości 3 oraz przeciwprostokątnej długości 2 . Kąt przy bokach 2 i 1 ma wartość 60° natomiast drugi kąt ma wartość 30°.

Rozwiązanie

Zauważmy, że w trójkącie prostokątnym widocznym na rysunku powyżej:

dla kąta $30 °$ otrzymujemy:
$\sin 30 ° = \frac{1}{2}$ , $\cos 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ oraz $tg 30 ° = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ,
dla kąta $60 °$ mamy:
$\sin 60 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\cos 60 ° = \frac{1}{2}$ oraz $tg 60 ° = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$ .

Wyniki uzyskane w dwóch poprzednich przykładach zbieramy w tabelce.

funkcja trygonometryczna	$α = 30 °$	$α = 45 °$	$α = 60 °$
$\sin α$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos α$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tg α$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$

Przykład 6

Narysujemy przykładowy trójkąt prostokątny, w którym sinus jednego z kątów ostrych jest równy $\frac{3}{5}$ .

Rozwiązanie

Rozważmy w tym celu trójkąt prostokątny o przyprostokątnej długości $3$ i przeciwprostokątnej długości $5$ . Druga przyprostokątna takiego trójkąta ma wówczas, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, długość:

$\sqrt{5^{2} - 3^{2}} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$

Rysujemy więc trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $3$ i $4$ , w którym, na podstawie definicji, otrzymujemy $\sin α = \frac{3}{5}$ .
Zauważmy przy okazji, że $\cos α = \frac{4}{5}$ oraz $tg α = \frac{3}{4}$ .

RHDNHbafH6kqt

Grafika przedstawia trójkąt prostokątny o bokach przyprostokątnych – dłuższym 4 , krótszym 3 oraz przeciwprostokątnej o długości 5. Kąt pomiędzy bokami b i c wynosi α.

Uwaga! Warto zaobserwować, jak zmienia się sinus i cosinus kąta ostrego wraz ze wzrostem miary kąta. Na poniższych rysunkach przedstawiono okręgi o promieniu $5$ .

RjxihUy1kjWPO

Grafika przedstawia cztery okręgi o środkach O. W każdym okręgu od środka odchodzą dwa promienie. W każdym okręgu z punktu styku jednego promienia opuszczono odcinek , który prostopadle dochodzi do drugiego promienia , w różnych odległościach od środka w każdym z okręgów. W pierwszym odległość od środka do punktu opuszczenia odcinka ma długość 4 a odcinek ma długość 3 , w drugim odległość to 3 a długość odcinkka 4 , w trzecim odległość to 2 a długość odcinka21 , zaś w czwartym odległość wynosi 1 a długość odcinka 24.

Nietrudno zauważyć, że wraz ze zwiększaniem się miary kąta ostrego jego cosinus maleje:

$\frac{4}{5} > \frac{3}{5} > \frac{2}{5} > \frac{1}{5}$ .

Sinusy zaznaczonych kątów zachowują się natomiast odwrotnie: wraz ze wzrostem miary kąta stają się coraz większe:

$\frac{3}{5} < \frac{4}{5} < \frac{\sqrt{21}}{5} < \frac{\sqrt{24}}{5}$

Zaobserwowana prawidłowość dotyczy wszystkich kątów ostrych.

Zapamiętajmy zatem, że:

im większy jest kąt ostry $α$ , tym mniejsza jest wartość jego cosinusa,
im większy jest kąt ostry $α$ , tym większa jest wartość jego sinusa.

Ważne!

Przyjmujemy, że: $\sin 0 ° = 0$ , $\cos 0 ° = 1$ oraz $\sin 90 ° = 1$ , $\cos 90 ° = 0$ .

Przykład 7

W trójkącie równoramiennym $A B C$ , w którym $|A C| = |B C| = 8$ , wysokość poprowadzona z wierzchołka $C$ ma długość $4$ .
Obliczymy miary kątów tego trójkąta.

RgRxGPzswSRpU

Grafika przedstawia trójkąt równoramienny A B C o bokach długości 8 i kącie CAB równym α . Z wierzchołka C opuszczono wysokość o długości 4 do punktu D na podstawie AB dzieląc ją na odcinki AD i DB.

Rozwiązanie

Zauważmy, że wysokość poprowadzona z $C$ na bok $A B$ dzieli dany trójkąt na dwa przystające trójkąty prostokątne: $A C D$ i $B C D$ .

Jeżeli kąt ostry przy wierzchołku $A$ oznaczymy jako $α$ , to:
$\sin α = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ .

Ponieważ $\sin 30 ° = \frac{1}{2}$ , więc $α = 30 °$ (wynika to stąd, że daną wartość sinus może przyjmować tylko dla jednego kąta ostrego).
A zatem kąty w trójkącie $A B C$ mają miary:
$|∢ C A B| = |∢ A B C| = 30 °$ , $|∢ A C B| = 2 \cdot 60 ° = 120 °$ .

Przykład 8

Kąt $α$ jest ostry i $\sin α = 0, 4 .$ Wykażemy, że $α < 30 °$ .

RB0G3OEi1qD63

Grafika przedstawia trójkąty dla których wspólnym wierzchołkiem jest środek okręgu a przeciwprostokątnymi dwa promienie tego okręgu o długości 10. W jednym trójkącie krótsza przyprostokątna jest równa 4 a kąt przy środku okręgu równy α natomiast w drugim krótsza przyprostokątna jest równa 5 a kąt przy środku okręgu równy 30°.

Rozwiązanie

Mamy $\sin 30 ° = 0, 5 > \sin α = 0, 4$ .

Ponieważ wraz ze wzrostem kąta ostrego $α$ rośnie jego sinus, więc $α < 30 °$ .

Ilustracja tego faktu znajduje się na rysunku obok (oba trójkąty mają przeciwprostokątną równą $10$ ).

Ważne!

Zapis $\sin^{2} α$ oznacza wyrażenie, które jest kwadratem (drugą potęgą) sinusa kąta $α$ .
Podobnie $\cos^{2} α$ oznacza wyrażenie, które jest kwadratem (drugą potęgą) cosinusa kąta $α$ .

Przykład 9

Obliczymy wartość wyrażenia $\frac{3 \cos 60 ° - 5 tg 45 °}{\sqrt{3} tg 60 ° + \sin^{2} 45 °}$ .

Rozwiązanie

Podstawiamy wartości odpowiednich sinusów, cosinusów i tangensów, skąd otrzymujemy, że:

$\frac{3 \cos 60 ° - 5 tg 45 °}{\sqrt{3} tg 60 ° + \sin^{2} 45 °} = \frac{3 \cdot \frac{1}{2} - 5 \cdot 1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} = \frac{\frac{3}{2} - 5}{3 + \frac{1}{2}} = \frac{- \frac{7}{2}}{\frac{7}{2}} = - 1$ .

Odpowiedź: Wartość podanego wyrażenia wynosi $(- 1)$ .

Przykład 10

Rozważmy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $2$ i $7$ . Na podstawie tabeli wartości trygonometrycznych określimy z dokładnością do $1 °$ miary kątów ostrych w tym trójkącie.

RpbXRZIgFgaUP

Grafika przedstawia trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 2 oraz 7 . Kąt pomiędzy dłuższą przyprostokątną i przeciwprostokątną ma wartość α natomiast drugi kąt ma wartość β.

Rozwiązanie. Ponieważ $tg α = \frac{2}{7} = 0, 285 \dots$ , więc $α \approx 16 °$ .

Trójkąt jest prostokątny, zatem $β \approx 90^{\circ} - 16^{\circ} = 74^{\circ}$ .

Odpowiedź: W rozważanym trójkącie kąty ostre są w przybliżeniu równe $16 °$ i $74 °$ .

Słownik

tangens kąta ostrego

tangensem kąta ostrego $α$ w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości drugiej przyprostokatnej

sinus kąta ostrego

sinusem kąta ostrego $α$ w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przeciwprostokątnej

cosinus kąta ostrego

cosinusem kąta ostrego $α$ w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej

Wprowadzenie

Animacja

Słownik