Przeczytaj
Na tej lekcji zapoznamy się z typowymi metodami sprawdzania, czy szereg jest zbieżny oraz sprawdzania, jaka jest suma szeregu zbieżnego.
Zaczniemy od następującego przykładu.
Szereg jest zbieżnyzbieżny i jego sumą jest liczba . Uzasadnimy, że szereg jest także zbieżny, a jego suma jest równa .
Rozwiązanie
Ciąg sum częściowych szeregu jest następującej postaci:
.
Ciąg sum częściowych szeregu jest następującej postaci:
.
Ponieważ ciąg jest zbieżny do , zatem ciąg jest zbieżny do .
Zatem udowodniliśmy, że szereg jest także zbieżny, a jego suma jest równa .
Sformułujmy zatem twierdzenie:
Jeżeli szereg jest zbieżny i jego sumą jest liczba , to szereg jest także zbieżny, a jego suma jest równa .
Sformułujemy teraz twierdzenie, które pozwala stwierdzić, że szereg nie jest zbieżny.
Jeżeli szereg jest zbieżny, to .
Dowód
Pamiętamy z poprzedniej lekcji, że dla liczb naturalnych zachodzi równość: , gdzie jest ciągiem sum częściowych.
Ponieważ
,
zatem .
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, czyli z faktu, że nie musi wynikać zbieżność szeregu . Poniżej podamy przykład ilustrujący ten problem.
Sprawdzimy, czy szereg spełnia warunek konieczny zbieżności szeregu.
Rozwiązanie
Obliczymy granicę
.
Zatem ciąg jest zbieżny do zera.
Ciąg sum częściowych
jest jednak rozbieżny do , a zatem szereg jest rozbieżny, mimo, że warunek konieczny zbieżności szeregu był spełniony.
Zapoznamy się teraz z twierdzeniem, które umożliwia stwierdzenie zbieżności szeregu, który można porównać z szeregiem, którego zbieżność jest znana.
Zakładamy, że nierówność zachodzi dla prawie wszystkich dodatnich liczb naturalnych .
Jeżeli szereg jest zbieżny, to również szereg jest zbieżny.
Jeżeli szereg jest rozbieżny, to również szereg jest rozbieżny.
Zbadamy teraz zbieżność szeregu .
Rozwiązanie
Wykażemy, że szereg jest zbieżny i że jego suma jest nie większa niż .
Zauważmy, że dla każdej liczby naturalnej zachodzi nierówność:.
Zatem
Stąd wynika, że .
Ale tę zbieżność możemy też uzasadnić korzystając z kryterium porównawczego.
Szereg możemy zapisać następująco:
.
Zauważmy, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej zachodzi nierówność: .
Wiemy także, że szereg jest zbieżny do .
Korzystając z kryterium porównawczego otrzymujemy, że szereg jest zbieżny i jego suma jest mniejsza niż .
W powyższym przykładzie pokazaliśmy tylko, że sumą szeregu jest liczba mniejsza niż . Pytanie o dokładną sumę szeregu zostało sformułowane w roku przez włoskiego matematyka Piotra Mengolego. Sumę wraz z dowodem podał dopiero w roku Leonard Euler:
.
Zbadamy zbieżność szeregu .
Rozwiązanie
Skorzystamy z kryterium porównawczego.
Uzasadnimy, że dla dowolnej dodatniej liczby naturalnej zachodzi nierówność:
.
Przekształcamy kolejno nierówność:
Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla dowolnej liczby naturalnej . Wszystkie przejścia były równoważne, zatem nierówność jest prawdziwa dla dowolnej liczby naturalnej .
Ponieważ szereg jest zbieżny, zatem na podstawie kryterium porównawczego zbieżny jest także szereg .
Najtrudniejsze w ostatnim przykładzie było wskazanie szeregu zbieżnego, z którym można porównać analizowany szereg. Jak to zrobić?
Zauważmy, że dla bardzo dużych liczb naturalnych wyrażenie ma wartość niemal taką samą jak . Zatem trzeba poszukać dobrej liczby , aby zachodziła nierówność .
Słownik
szeregiem liczbowym o wyrazach nazywamy ciąg, którego kolejnymi wyrazami są sumy początkowych wyrazów ciągu :
,
,
,
...
jeżeli ciąg sum częściowych szeregu ma granicę, to nazywamy ją sumą szeregu; jeżeli suma szeregu jest skończona, to szereg nazywamy zbieżnym, jeżeli suma szeregu jest nieskończona lub jeżeli ciąg sum częściowych szeregu nie ma granicy, to szereg nazywamy rozbieżnym