Infografika

Polecenie 1

Zapoznaj się z infografiką, a następnie wykonaj polecenie 2.

RyLyeq6Z6E5NV

Infografika. Zadanie: Zbadamy zbieżność szeregu

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n + 1}{n^{3} - n}

. Rozwiązanie: Wykażemy, że

\frac{n + 1}{2 n^{3} - n} \leq \frac{2}{n^{2}}

dla

n \in ℕ_{+}

. Mnożymy nierówność stronami przez

(2 n^{3} - n) (n^{2})

n^{3} + n^{2} \leq 4 n^{3} - 2 n

Przekształcamy nierówność.

n^{2} \leq 4 n^{3} - 2 n (n^{2} - 1)

Nierówność jest prawdziwa dla

n \in ℕ_{+}

. Możemy więc zapisać:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n + 1}{n^{3} - n} \leq \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2}{n^{2}}

. Ponieważ szereg

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2}{n^{2}}

jest zbieżny, więc szereg

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n + 1}{n^{3} - n}

jest także zbieżny.

Polecenie 2

Uzasadnij, że szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2} + 2 n}{n^{4} - n^{2} + 1}$ jest zbieżny.

$\frac{n^{2} + 2 n}{n^{4} - n^{2} + 1} < \frac{4}{n^{2}}$

$n^{4} + 2 n^{3} < 4 (n^{4} - n^{2} + 1)$

$2 n^{3} < 3 n^{3} - 4 n^{2} + 4$

$2 n^{3} < 2 n^{3} + n^{2} (n - 4) + 4$

Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla liczb naturalnych $n > 4$ , a ponieważ przejścia były równoważne, otrzymujemy, że dla liczb naturalnych $n > 4$ zachodzi nierówność $\frac{n^{2} + 2 n}{n^{4} - n^{2} + 1} < \frac{4}{n^{2}}$ .

Ponieważ szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{4}{n^{2}}$ jest zbieżny, zatem z kryterium porównawczego szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2} + 2 n}{n^{4} - n^{2} + 1}$ jest zbieżny.

Przeczytaj

Sprawdź się