Ponieważ dla dowolnej liczby naturalnej $n$ zachodzi nierówność $0\le {\cos }^2\left(n\right)\le 1$, zatem $0\le \frac{{\cos }^2\left(n\right)}{n^4}\le \frac{1}{n^4}$ dla dowolnej dodatniej liczby naturalnej $n$.

Ponieważ szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^4}$ jest zbieżny, zatem z kryterium porównawczego szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\cos }^2\left(n\right)}{n^4}$ także jest zbieżny.

Dla dowolnej dodatniej liczby naturalnej $n$ zachodzi nierówność $\frac{n^2-1}{n^4+3}<\frac{n^2}{n^4+3}<\frac{n^2}{n^4}<\frac{1}{n^2}$.

Ponieważ szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ jest zbieżny, zatem z kryterium porównawczego szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^2-1}{n^4+3}$ także jest zbieżny.