Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał
koło
Definicja: koło

Kołem o środku O i promieniu r nazywamy zbiór wszystkich punktów P płaszczyzny, których odległość od punktu O jest mniejsza lub równa r.

Punkt P należy do koła o środku w punkcie O=a,b i promieniu r wtedy i tylko wtedy, gdy spełniona jest nierówność |OP|r.

Powyższy warunek możemy zapisać następująco: x-a2+y-b2r, co prowadzi do nierówności x-a2+y-b2r2 przedstawiającej koło o środku w punkcie O=a,b i promieniu r.

Przykład 1

Nierówność x2+y-124 przedstawia koło o środku w punkcie 0,1 i promieniu 2.

RDDUjGmfEQAr1
Przykład 2

Znajdziemy środek i promień koła danego nierównością x2+y2-4x-4y-80.

Rozwiązanie:

Aby wyznaczyć promień i współrzędne środka koła sprowadzimy powyższą nierówność do postaci: x-a2+y-b2r2.

W tym celu przekształcamy lewą stronę nierówności wykorzystując wzory skróconego mnożenia:

x2+y2-4x-4y-8=x2-2·2x+4-4+y2-2·2y+4-4-8==x-22+y-22-160.

Otrzymujemy nierówność opisującą koło w postaci: x-22+y-2216.

Możemy teraz odczytać, że nierówność x2+y2-4x-4y-80 przedstawia koło o środku O=(2,2) i promieniu 4.

Przykład 3

Sprawdzimy, czy nierówności:

a) x2+y2-x-y0

b) x2+y2+12x-2y+490

opisują koło.

Rozwiązanie:

Musimy sprawdzić, czy te nierówności można sprowadzić do postaci (x-a)2+(y-b)2r2 zwanej postacią kanoniczną.

a) Sprawdźmy pierwszą nierówność: x2+y2-x-y0.

Zacznijmy od rozważenia równoważnej postaci: x2-x+y2-y0:

Będziemy przekształcać równoważnie nierówności by ostatecznie sprowadzić je do postaci kanonicznej. x2-2·12 x+y2-2·12y0

x2-2·12 x+14-14+y2-2·12y+14-140

x-122-14+y-122-140

x-122+y-12212

x-122+y-122222.

Tym samym nierówność x2+y2-x-y0 opisuje koło o środkukoło o środku O i promieniu rkoło o środku 12,12i promieniukoło o środku O i promieniu ri promieniu 22.

b) Sprawdźmy drugą nierówność:

x2+y2+12x-2y+490.

Podobnie jak poprzednio będziemy dążyć do postaci kanonicznej, w tym celu przekształcimy nierówności równoważnie: x2+12x+y2-2y+490

x+62-36+y-12-1+490

x+62+y-12-12

Liczba -12 nie jest kwadratem żadnej liczby rzeczywistej, więc nierówność x2+y2-4x-4y-80 nie przedstawia koła.

Wniosek:

Nierówność x2+y2-2ax-2by+c0 przedstawia koło wtedy i tylko wtedy, gdy a2+b2-c>0, promieniem tego koła jest liczba a2+b2-c a środkiem punkt (a,b).

Dowód: Nierówność x2+y2-2ax-2by+c0 możemy zapisać równoważnie jako (x-a)2-a2+(y-b)2-b2+c0, czyli (x-a)2+(y-b)2a2+b2-c. Jest to postać kanoniczna równania okręgu o promieniu r i środku w punkcie (a,b), gdy r2=a2+b2-c. Stąd warunek a2+b2-c>0.

Przykład 4

Zbadamy, czy punkt P=-1,0 leży wewnątrz koła (x-1)2+(y+3)25.

Rozwiązanie:

Sprawdzamy, czy współrzędne punktu P spełniają nierówność koła: (x-1)2+(y+3)25.

Podstawiając współrzędne do lewej stony nierówności koła otrzymujemy: (-1-1)2+(0+3)2=4+9>5

Zatem punkt P nie należy do koła danego nierównością (x-1)2+(y+3)25.

Przedstawmy tę sytuację w układzie współrzędnych:

Z postaci kanonicznej odczytujemy, że przedstawia ona koło o środku w punkcie O=1, -3 i promieniu r=5.

RRLJlYcdQ7eMb
Przykład 5

Dany jest prostokąt ABCD o wierzchołkach A=1,1, B=7,1, C=7,5D=1,5. Wyznaczymy minimalny promień koła, o środku umieszczonym w środku boku AB , aby w całości koło zakryło ten prostokąt. Napiszemy nierówność opisującą to koło.

Rozwiązanie:

Oznaczmy przez O środek odcinka AB. Niech zatem O=xo,yo, gdzie xo=xA+xB2, yo=yA+yB2.

Po podstawieniu współrzędnych otrzymujemy: x0=xA+xB2=1+72=4y0=yA+yB2=1+12=1.

RpVsmD3uR9MdR

Zauważmy, że minimalny promień koła powinien być równy długości odcinka OC. Długość odcinka OC obliczymy ze wzoru na odległość dwóch punktów A=(x1,y1)B=(x2,y2): |AB|=x2-x12+y2-y12.

W naszym przypadku, r=|OC|, C=7,5O=4,1.

r=|OC|=7-42+5-12=32+42=25=5.

Nierówność opisująca koło ma zatem postać: x-42+y-1225.

RpQiunDoHZp8E

Minimalny promień koła o środku w punkcie O=4,1 wynosi 5.

Słownik

koło o środku O i promieniu r
koło o środku O i promieniu r

kołem o środku O i promieniu r nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O jest mniejsza lub równa r