Przeczytaj
Kołem o środku i promieniu nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu jest mniejsza lub równa .
Punkt należy do koła o środku w punkcie i promieniu wtedy i tylko wtedy, gdy spełniona jest nierówność .
Powyższy warunek możemy zapisać następująco: , co prowadzi do nierówności przedstawiającej koło o środku w punkcie i promieniu .
Nierówność przedstawia koło o środku w punkcie i promieniu .
Znajdziemy środek i promień koła danego nierównością .
Rozwiązanie:
Aby wyznaczyć promień i współrzędne środka koła sprowadzimy powyższą nierówność do postaci: .
W tym celu przekształcamy lewą stronę nierówności wykorzystując wzory skróconego mnożenia:
.
Otrzymujemy nierówność opisującą koło w postaci: .
Możemy teraz odczytać, że nierówność przedstawia koło o środku i promieniu .
Sprawdzimy, czy nierówności:
a)
b)
opisują koło.
Rozwiązanie:
Musimy sprawdzić, czy te nierówności można sprowadzić do postaci zwanej postacią kanoniczną.
a) Sprawdźmy pierwszą nierówność: .
Zacznijmy od rozważenia równoważnej postaci: :
Będziemy przekształcać równoważnie nierówności by ostatecznie sprowadzić je do postaci kanonicznej.
.
Tym samym nierówność opisuje koło o środkukoło o środku i promieniui promieniu .
b) Sprawdźmy drugą nierówność:
.
Podobnie jak poprzednio będziemy dążyć do postaci kanonicznej, w tym celu przekształcimy nierówności równoważnie:
Liczba nie jest kwadratem żadnej liczby rzeczywistej, więc nierówność nie przedstawia koła.
Wniosek:
Nierówność przedstawia koło wtedy i tylko wtedy, gdy , promieniem tego koła jest liczba a środkiem punkt .
Dowód: Nierówność możemy zapisać równoważnie jako , czyli . Jest to postać kanoniczna równania okręgu o promieniu i środku w punkcie , gdy . Stąd warunek .
Zbadamy, czy punkt leży wewnątrz koła .
Rozwiązanie:
Sprawdzamy, czy współrzędne punktu spełniają nierówność koła: .
Podstawiając współrzędne do lewej stony nierówności koła otrzymujemy:
Zatem punkt nie należy do koła danego nierównością .
Przedstawmy tę sytuację w układzie współrzędnych:
Z postaci kanonicznej odczytujemy, że przedstawia ona koło o środku w punkcie i promieniu .
Dany jest prostokąt o wierzchołkach , , i . Wyznaczymy minimalny promień koła, o środku umieszczonym w środku boku , aby w całości koło zakryło ten prostokąt. Napiszemy nierówność opisującą to koło.
Rozwiązanie:
Oznaczmy przez środek odcinka . Niech zatem , gdzie , .
Po podstawieniu współrzędnych otrzymujemy: i .
Zauważmy, że minimalny promień koła powinien być równy długości odcinka . Długość odcinka obliczymy ze wzoru na odległość dwóch punktów i : .
W naszym przypadku, , i .
.
Nierówność opisująca koło ma zatem postać: .
Minimalny promień koła o środku w punkcie wynosi .
Słownik
kołem o środku i promieniu nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu jest mniejsza lub równa