Punkt $P=\left(-3,5\right)$ leży wewnątrz koła ${\left(x-4\right)}^2+y^2\le 16$, gdy współrzędne tego punktu spełniają nierówność koła.

Podstawiając do danej nierówności:

$\left(x-4\right){}^2+y^2=\left(\left(-3\right)-4\right){}^2+5^2=49+25=74>16$.

Nierówność nie jest spełniona, więc punkt $P=\left(-3,5\right)$ leży na zewnątrz koła.

Rozpiszmy podwójną nierówność $5\le x^2+y^2-4x\le 12$ na układ nierówności:

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-4x\le 12\\ x^2+y^2-4x\ge 5\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\left(x^2-4x+4\right)-4+y^2\le 12\\ \left(x^2-4x+4\right)-4+y^2\ge 5\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}{\left(x-2\right)}^2-4+y^2\le 12\\ {\left(x-2\right)}^2-4+y^2\ge 5\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\left(x-2\right){}^2+y^2\le 16\\ {\left(x-2\right)}^2+y^2\ge 9\end{array}\right.$

Otrzymujemy w ten sposób nierówności, z których pierwsza opisuje koło o środku $\left(2,0\right)$ i promieniu $4$ a druga obszar na zewnątrz koła o środku $\left(2,0\right)$ i promieniu $3$ wraz z okręgiem tego koła.

R1JGJNbYHTnGU

Grafika przedstawia poziomą oś x od minus dwóch do sześciu oraz pionową oś y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie znajdują się dwa koła, oba o środku O w punkcie początek nawiasu, 2, 0, zamknięcie nawiasu. Brzeg pierwszego koła przechodzi przez punkt początek nawiasu, 2, 3, zamknięcie nawiasu, brzeg drugiego koła przechodzi przez punkt początek nawiasu, 2, 4, zamknięcie nawiasu. Mniejsze koło ma kolor jasnoniebieski, a jego brzeg zaznaczono kolorem fioletowym. Pierścień pomiędzy brzegiem mniejszego i większego koła zaznaczono na kolor niebieski. Pozostały obszar płaszczyzny układu współrzędnych zamalowano kolorem fioletowym.

Rozwiązaniem podwójnej nierówności jest pierścień o środku w punkcie $O=(2,0)$, promieniu wewnętrznym $r_1=3$ oraz promieniu zewnętrznym $r_2=4$. Jego pole jest równe różnicy pól kół o promieniu $4$ i promieniu $3$: $P=\pi r_2^2-\pi r_1^2=\pi \left(r_2^2-r_1^2\right)=\pi \left(4^2-3^2\right)=7\pi$.