Przeczytaj

Do wyprowadzenia wzorów na sumę i różnicę cosinusów wykorzystamy poznane wzory na cosinus sumy oraz cosinus różnicy. Przypomnijmy je zatem.

wzory na cosinus sumy oraz różnicy argumentów

Twierdzenie: wzory na cosinus sumy oraz różnicy argumentów

Dla dowolnych $α, β \in ℝ$ zachodzą wzory:

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$

Teraz udowodnimy twierdzenie o sumie cosinusów i różnicy cosinusów.

wzory na sumę oraz różnicę cosinusów

Twierdzenie: wzory na sumę oraz różnicę cosinusów

Dla dowolnych $α, β \in ℝ$ zachodzą wzory:

$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

Dowód

Zauważmy, że prawdziwe są następujące zależności:

$\alpha=\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2} \text{ i } \beta=\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2}.$

Podstawmy do wyrażenia $\cos α + \cos β$ zapisane powyżej zależności:

$\cos\alpha+\cos\beta=\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2}\right)+\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=$

Skorzystajmy ze wzorów na cosinus sumy i różnicy argumentówwzorów na cosinus sumy i różnicy argumentów:

$=\left(\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}-\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\right)+$

$+\left(\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}+\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=$

Po redukcji wyrażeń otrzymujemy zależność:

$=\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}.$

Podobnie postąpimy, aby udowodnić wzór na różnicę cosinusów:

$\cos\alpha-\cos\beta=\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2}\right)-\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=$

$=\left(\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}-\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\right)+$

$-\left(\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}+\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=$

$=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}.$

Przykład 1

Zapiszemy wyrażenie $\cos10\alpha\cdot\cos8\alpha+\cos8\alpha\cdot\cos6\alpha$ w postaci iloczynu.

Rozwiązanie

Na początek wyciągnijmy wspólny czynnik przed nawias:

$\cos10\alpha\cdot\cos8\alpha+\cos8\alpha\cdot\cos6\alpha=$

$=\cos8\alpha(\cos10\alpha+\cos6\alpha)=$

Następnie zastosujemy wzór na sumę cosinusówwzór na sumę cosinusów:

$=2\cos8\alpha\cdot\cos\left(\frac{10\alpha+6\alpha}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{10\alpha-6\alpha}{2}\right)=$

By ostatecznie otrzymać postać iloczynową:

$=2\cos8\alpha\cdot\cos8\alpha\cdot\cos2\alpha=2\cos^28\alpha\cdot\cos2\alpha$

Przykład 2

Obliczymy wartość wyrażenia $\displaystyle\frac{\cos7^{\circ}+\cos53^{\circ}+\sqrt{3}\cos23^{\circ}}{2\sqrt{3}\cos23^{\circ}}$ .

Rozwiązanie

Wykorzystamy wzór na sumę cosinusówwzór na sumę cosinusów:

${\displaystyle\frac{\cos7^{\circ}+\cos53^{\circ}+\sqrt{3}\cos23^{\circ}}{2\sqrt{3}\cos23^{\circ}}=}$

${\displaystyle=\frac{2\cos30^{\circ}\cdot\cos23^{\circ}+\sqrt{3}\cos23^{\circ}}{2\sqrt{3}\cos23^{\circ}}=}$

Następnie zredukujemy wyrazy podobne i otrzymamy wynik:

${\displaystyle=\frac{\sqrt{3}\cos23^{\circ}+\sqrt{3}\cos23^{\circ}}{2\sqrt{3}\cos23^{\circ}}=1}$

Przykład 3

Obliczymy wartość wyrażenia: ${\displaystyle\frac{\cos8^{\circ}+\cos14^{\circ}+\cos34^{\circ}+\cos40^{\circ}}{\sin87^{\circ}\cdot\cos13^{\circ}\cdot\cos24^{\circ}}}$ .

Rozwiązanie

Najpierw zmienimy kolejność składników sumy w liczniku, aby można było wyciągnąć wspólny czynnik przed nawias:

$\displaystyle\frac{\cos8^{\circ}+\cos14^{\circ}+\cos34^{\circ}+\cos40^{\circ}}{\sin87^{\circ}\cdot\cos13^{\circ}\cdot\cos24^{\circ}}=$

$\displaystyle=\frac{(\cos40^{\circ}+\cos8^{\circ})+(\cos34^{\circ}+\cos14^{\circ})}{\sin87^{\circ}\cdot\cos13^{\circ}\cdot\cos24^{\circ}}=$

$\displaystyle=\frac{2\cos24^{\circ}\cdot\cos16^{\circ}+2\cos24^{\circ}\cdot\cos10^{\circ}}{\sin87^{\circ}\cdot\cos13^{\circ}\cdot\cos24^{\circ}}.$

Korzystamy ze wzoru na sumę cosinusówwzoru na sumę cosinusów i otrzymujemy wynik:

$\displaystyle\frac{2\cos24^{\circ}\left(\cos10^{\circ}+\cos16^{\circ}\right)}{\sin\left(90^{\circ}-3^{\circ}\right)\cdot\cos13^{\circ}\cdot\cos24^{\circ}}=\frac{2\cdot2\cos13^{\circ}\cdot\cos3^{\circ}}{\cos13^{\circ}\cdot\cos3^{\circ}}=4.$

Przykład 4

Obliczymy $tg x$ wiedząc, że $\cos\left(x+30^{\circ}\right)+\cos\left(x-30^{\circ}\right)=\sqrt{3}\sin x.$

Rozwiązanie

Lewą stronę równania $\cos\left(x+30^{\circ}\right)+\cos\left(x-30^{\circ}\right)=\sqrt{3}\sin x$ przekształcamy, korzystając ze wzoru na sumę cosinusówwzoru na sumę cosinusów:

$2\cos30^{\circ}\cdot\cos x=\sqrt{3}\sin x$

Otrzymujemy równanie:

$\sqrt{3}\cos x=\sqrt{3}\sin x,$

które po podzieleniu stronami przez $\sqrt{3} \cos x$ daje oczekiwany wynik:

$\text{tg }x=1.$

Słownik

wzory na cosinus sumy oraz różnicy argumentów

Dla dowolnych $α, β \in ℝ$ zachodzą wzory:

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$

wzory na sumę oraz różnicę cosinusów

Dla dowolnych $α, β \in ℝ$ zachodzą wzory:

$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}.$

Wprowadzenie

Film samouczek

Słownik