Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Do wyprowadzenia wzorów na sumę i różnicę cosinusów wykorzystamy poznane wzory na cosinus sumy oraz cosinus różnicy. Przypomnijmy je zatem.

wzory na cosinus sumy oraz różnicy argumentów
Twierdzenie: wzory na cosinus sumy oraz różnicy argumentów

Dla dowolnych α,β zachodzą wzory:

Teraz udowodnimy twierdzenie o sumie cosinusów i różnicy cosinusów.

wzory na sumę oraz różnicę cosinusów
Twierdzenie: wzory na sumę oraz różnicę cosinusów

Dla dowolnych α,β zachodzą wzory:

Dowód

Zauważmy, że prawdziwe są następujące zależności:

Podstawmy do wyrażenia cosα+cosβ zapisane powyżej zależności:

Skorzystajmy ze wzorów na cosinus sumy i różnicy argumentówwzory na cosinus sumy oraz różnicy argumentówwzorów na cosinus sumy i różnicy argumentów:

Po redukcji wyrażeń otrzymujemy zależność:

Podobnie postąpimy, aby udowodnić wzór na różnicę cosinusów:

Przykład 1

Zapiszemy wyrażenie w postaci iloczynu.

Rozwiązanie

Na początek wyciągnijmy wspólny czynnik przed nawias:

Następnie zastosujemy wzór na sumę cosinusówwzory na sumę oraz różnicę cosinusówwzór na sumę cosinusów:

By ostatecznie otrzymać postać iloczynową:

Przykład 2

Obliczymy wartość wyrażenia .

Rozwiązanie

Wykorzystamy wzór na sumę cosinusówwzory na sumę oraz różnicę cosinusówwzór na sumę cosinusów:

Następnie zredukujemy wyrazy podobne i otrzymamy wynik:

Przykład 3

Obliczymy wartość wyrażenia: .

Rozwiązanie

Najpierw zmienimy kolejność składników sumy w liczniku, aby można było wyciągnąć wspólny czynnik przed nawias:

Korzystamy ze wzoru na sumę cosinusówwzory na sumę oraz różnicę cosinusówwzoru na sumę cosinusów i otrzymujemy wynik:

Przykład 4

Obliczymy tgx wiedząc, że 

Rozwiązanie

Lewą stronę równania  przekształcamy, korzystając ze wzoru na sumę cosinusówwzory na sumę oraz różnicę cosinusówwzoru na sumę cosinusów:

Otrzymujemy równanie:

które po podzieleniu stronami przez 3cosx daje oczekiwany wynik:

Słownik

wzory na cosinus sumy oraz różnicy argumentów
wzory na cosinus sumy oraz różnicy argumentów

Dla dowolnych α,β zachodzą wzory:

wzory na sumę oraz różnicę cosinusów
wzory na sumę oraz różnicę cosinusów

Dla dowolnych α,β zachodzą wzory: