Rozważmy ciężarek na sprężynie, który po rozciągnięciu i zwolnieniu sprężyny porusza się po gładkiej poziomej płaszczyźnie (Rys. 1.).
RtFaII3tHrInY
Rozciągając sprężynę ruchem jednostajnym równoważymy siłę sprężystości, przeciwdziałającą wydłużaniu sprężyny. Wykonujemy pracę, która zostaje zmagazynowana w postaci energii potencjalnej, którą nazywamy energią potencjalną sprężystościenergia potencjalna sprężystościenergią potencjalną sprężystości. Jak obliczyć tę energię? Od jakich parametrów zależy ta energia mechaniczna?
Gdy siła jest stała, pracę wykonaną przy przesunięciu ciała o można obliczyć ze wzoru:
gdzie oznacza składową siły równoległą do kierunku przesunięcia . Na wykresie przestawionym na Rys. 2. pokazano, że praca ta jest, co do wartości, równa polu zakreskowanego prostokąta.
RFhBboU3DNBxo
Siła sprężystości nie jest jednak stała, ale jej wartość zależy liniowo od wydłużenia sprężyny:
gdzie to stała sprężystości sprężynyStała sprężystości sprężynystała sprężystości sprężyny. Wykres wartości siły od wydłużenia zatem jest linią prostą, o początku w środku układu współrzędnych. Wykres taki przedstawiono na Rys. 3. Jak w tym wypadku obliczyć pracę siły ? Którą wartość siły wybrać do obliczeń?
RAkAIR65cfsLK
Spróbujmy wykonać następujące przybliżenie: Podzielmy odcinek na bardzo małe fragmenty . Jak małe? Tak małe, że każdemu z nich można przypisać jedną określoną wartość siły (Rys. 4.). Praca wykonana przy rozciąganiu sprężyny o jest, co do wartości, równa polu prostokąta: . Suma pól takich prostokątów będzie równa polu pod wykresem.
R10q58mdCDPTw
Praca wykonana przez siłę zewnętrzną, która podczas rozciągania sprężyny cały czas równoważy siłę sprężystości, jest zatem, co do wartości, równa polu trójkąta prostokątnego o wysokości i podstawie (Rys. 5.). Jest więc ona równa:
ReKuQU0tiCkro
Praca wykonana przez siłę zewnętrzną zostaje zmagazynowana w postaci energii potencjalnej sprężystości.
Energię potencjalną sprężystościenergia potencjalna sprężystościEnergię potencjalną sprężystości można zatem przedstawić jako kwadratową funkcję wydłużenia sprężyny:
gdzie to współczynnik sprężystości sprężyny, a to jej wydłużenie.
Przypomnijmy, że w układzie SI jednostką energii jest dżul [J].
Energia potencjalna sprężystościenergia potencjalna sprężystościEnergia potencjalna sprężystości jest proporcjonalna do kwadratu wydłużenia. Wykres jest więc parabolą (Rys. 6.). Zauważ, że wydłużenie może również przyjmować wartości ujemne, które odpowiadają ściśnięciu sprężyny, tzn. skróceniu jej długości. To dlatego wykres energii potencjalnej sprężystości jest symetryczny względem osi rzędnych. Wykres ten przechodzi przez początek układu współrzędnych, ponieważ w położeniu równowagi () energia potencjalna sprężystości jest równa zeru. Po obu stronach tego położenia (), ciężarek ma pewną, różną od zera, dodatnią wartość energii potencjalnej sprężystości. Oczywiście z największą wartością tej energii mamy do czynienia przy maksymalnym wydłużeniu lub skróceniu sprężyny. Na Rys. 6. sytuacji tej odpowiada wydłużenie , gdzie można też interpretować jako amplitudę drgań oscylatora harmonicznegoOscylator harmonicznyoscylatora harmonicznego.
R1GuqskD4vwIJ
Przykład 1.
Sporządź wykresy energii potencjalnej sprężystościenergia potencjalna sprężystościenergii potencjalnej sprężystości dla dwóch sprężyn, o współczynnikach sprężystościStała sprężystości sprężynywspółczynnikach sprężystości: kIndeks dolny 11 = 100 N/m i kIndeks dolny 22 = 50 N/m. Przyjmij, że maksymalne wydłużenie obu sprężyn jest równe 0,1 m.
RItuJ3HDr1JdF
Wykresy, o których mowa w przykładzie zostały pokazane na Rys. 7. Z wykresów tych wynika, że takiemu samemu wydłużeniu (lub skróceniu) sprężyn odpowiadają różne wartości energii potencjalnej, przy czym większa energia mechaniczna jest zmagazynowana w sprężynie o większej stałej sprężystości.
Przykład 2.
Sporządź wykres zależności energii potencjalnej od czasu dla oscylatora harmonicznegoOscylator harmonicznyoscylatora harmonicznego o amplitudzie A = 0,2 m, częstotliwość drgań f = 2 Hz i masie m = 0,1 kg.
W ruchu harmonicznym wychylenie zmienia się w czasie według zależności:
gdzie jest częstością kołową oscylatora.
Energia potencjalna sprężystości wynosi więc:
Uwzględniając, że w ruchu harmonicznym:
gdzie – masa oscylatora, – jego częstość, a – częstotliwość drgań, otrzymujemy następującą zależność energii potencjalnej sprężystości od czasu:
Po wstawieniu danych liczbowych otrzymamy:
gdzie s i J to sekunda i dżul - oznaczenia jednostek.
Wykres zależności energii potencjalnej sprężystościenergia potencjalna sprężystościenergii potencjalnej sprężystości oscylatora harmonicznego od czasu (Rys. 8.), sporządzony dla jednego okresu drgań () pokazuje, że w ciągu okresu, energia potencjalna sprężystości dwukrotnie osiąga wartość maksymalną (dla i , gdy wychylenie jest równe amplitudzie drgań: .
RNXDek8m7g2ct
Słowniczek
Energia potencjalna sprężystości
Energia potencjalna sprężystości
(ang.: elastic potential energy) - energia układu poddanego działaniu sił sprężystości. W przypadku sprężyny, w której siła sprężystości jest proporcjonalna do wydłużenia (lub skrócenia) sprężyny , energia sprężystości jest dana wzorem: , gdzie to stała sprężystości sprężynyStała sprężystości sprężynystała sprężystości sprężyny.
Oscylator harmoniczny
Oscylator harmoniczny
(ang.: harmonic oscillator) - układ drgający wykonujący ruch harmoniczny. Ruch taki może występować w rozmaitych układach fizycznych, takich jak np. wahadło, ciężarek ma sprężynie itd. W oscylatorze występuje siła sprężysta proporcjonalna do jego przemieszczenia (lub odchylenia) od stanu równowagi , gdzie to stała sprężystości. Zależne od czasu położenie oscylatora jest opisane sinusiodą: , gdzie to amplituda drgań oscylatora, ωomega= to tzw. częstość kołowa, to okres drgań oscylatora, a to częstotliwość drgań. Można pokazać, że związek między stałą sprężystości , występującą w sile działającej na oscylator, a pozostałymi wielkościami opisującymi jego ruch ma postać: , gdzie to masa oscylatora (np. ciała umieszczonego na końcu sprężyny).
Prawo Hooke'a
Prawo Hooke'a
(ang.: Hooke's law) – prawo mechaniki, które głosi, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na nie siły jest proporcjonalne do tej siły.
Stała sprężystości sprężyny
Stała sprężystości sprężyny
(ang.: spring constant) ozn. – stała materiałowa występująca w prawie Hooke'aPrawo Hooke'aprawie Hooke'a dla tzw. liniowych sprężyn, w których wartość siły sprężystości jest proporcjonalna do wydłużenia (lub skrócenia) sprężyny: . Jednostką stałej sprężystości jest N⋅mIndeks górny -1-1 (newton na metr). Im większa jest stała sprężystości sprężyny, tym trudniej ją odkształcić, czyli rozciągnąć lub ścisnąć.