Warto przeczytać

Rozważmy ciężarek na sprężynie, który po rozciągnięciu i zwolnieniu sprężyny porusza się po gładkiej poziomej płaszczyźnie (Rys. 1.).

RtFaII3tHrInY

Rys. 1. Rysunek przedstawia ciało w postaci czarnego prostokąta, z przymocowaną z lewej strony sprężyną. Sprężyna narysowana jest czarną zygzakowatą linią i z lewej strony przymocowana jest do pionowej ściany. Ciało zamocowane na sprężynie może poruszać się w kierunku poziomym po płaskiej poziomej powierzchni. Pod rysunkiem umieszczono w postaci poziomej strzałki skierowanej w prawo oś położenia opisaną mała literą x i w nawiasie kwadratowym jednostka opisana małą literą m, wyrażająca położenie w metrach. Na osi zaznaczono w połowie sprężyny punkt zero, który oznacza położenie równowagi. Ciało znajduje się w położeniu mała litera x po prawej stronie od położenia równowagi.

Rozciągając sprężynę ruchem jednostajnym równoważymy siłę sprężystości, przeciwdziałającą wydłużaniu sprężyny. Wykonujemy pracę, która zostaje zmagazynowana w postaci energii potencjalnej, którą nazywamy energią potencjalną sprężystościenergia potencjalna sprężystościenergią potencjalną sprężystości. Jak obliczyć tę energię? Od jakich parametrów zależy ta energia mechaniczna?

Gdy siła jest stała, pracę wykonaną przy przesunięciu ciała o $\Delta x$ można obliczyć ze wzoru:

gdzie $F$ oznacza składową siły równoległą do kierunku przesunięcia $\Delta x$. Na wykresie przestawionym na Rys. 2. pokazano, że praca ta jest, co do wartości, równa polu zakreskowanego prostokąta.

RFhBboU3DNBxo

Rys. 2. Rysunek przedstawia wykres siły wyrażonej w niutonach wielka litera F i w nawiasie kwadratowym wielka litera N, w funkcji położenia wyrażonego w metrach mała litera x i w nawiasie kwadratowym mała litera m. Na pionowej osi siły zaznaczono wartość wielka litera F czarną poziomą linią. Oznacza to, że wartość siły jest stała. Na poziomej osi położenia zaznaczono czerwoną podwójną strzałką zakończoną grotami po obu stronach przemieszczenie wielka grecka litera delta i mała litera x. Na wykresie zaznaczono przerywanymi czarnymi liniami prostokąt o wysokości wielka litera F i szerokości wielka grecka litera delta i mała litera x. Obszar prostokąta zakreskowano czerwonymi ukośnymi liniami a wewnątrz wpisano wielką literę W, oznaczającą pracę wykonaną przez siłę i równą iloczynowi wartości siły i przemieszczenia.

Siła sprężystości nie jest jednak stała, ale jej wartość zależy liniowo od wydłużenia sprężyny:

gdzie $k$ to stała sprężystości sprężynyStała sprężystości sprężynystała sprężystości sprężyny. Wykres wartości siły $F$ od wydłużenia $x$ zatem jest linią prostą, o początku w środku układu współrzędnych. Wykres taki przedstawiono na Rys. 3. Jak w tym wypadku obliczyć pracę siły $F$? Którą wartość siły wybrać do obliczeń?

RAkAIR65cfsLK

Rys. 3. Rysunek przedstawia wykres siły wyrażonej w niutonach wielka litera F i w nawiasie kwadratowym wielka litera N, w funkcji położenia wyrażonego w metrach mała litera x i w nawiasie kwadratowym mała litera m. Z początku układu współrzędnych oznaczonego punktem zero wychodzi zielona, rosnąca funkcja liniowa. Opisuje ona siłę, której wartość rośnie jednostajnie wraz ze zmianą położenia.

Spróbujmy wykonać następujące przybliżenie: Podzielmy odcinek $\Delta x$ na bardzo małe fragmenty $\text{d}x$. Jak małe? Tak małe, że każdemu z nich można przypisać jedną określoną wartość siły (Rys. 4.). Praca wykonana przy rozciąganiu sprężyny o $\text{d}x$ jest, co do wartości, równa polu prostokąta: $F_n\cdot\text{d}x$. Suma pól takich prostokątów będzie równa polu pod wykresem.

R10q58mdCDPTw

Rys. 4. Rysunek przedstawia wykres siły wyrażonej w niutonach wielka litera F i w nawiasie kwadratowym wielka litera N, w funkcji położenia wyrażonego w metrach mała litera x i w nawiasie kwadratowym mała litera m. Z początku układu współrzędnych oznaczonego punktem zero wychodzi zielona, rosnąca funkcja liniowa. Opisuje ona siłę, której wartość rośnie jednostajnie wraz ze zmianą położenia. Pod wykresem funkcji widoczne są pionowe prostokąty, których środek górnej krawędzi znajduje się na wykresie zielonej funkcji. Jeden ze środkowych prostokątów zamalowano kolorem pomarańczowym. A jego wysokość oznaczono na osi siły jako wielka litera F z indeksem dolnym mała litera n. Szerokość tego prostokąta opisano małymi literami dx. Łączna szerokość wszystkich prostokątów opisana została pod poziomą osią położenia czarną strzałką z grotami na obu końcach, jako wielka grecka litera delta i mała litera x.

Praca wykonana przez siłę zewnętrzną, która podczas rozciągania sprężyny cały czas równoważy siłę sprężystości, jest zatem, co do wartości, równa polu trójkąta prostokątnego o wysokości $F=k\cdot x$ i podstawie $x$ (Rys. 5.). Jest więc ona równa:

ReKuQU0tiCkro

Rys. 5. Rysunek przedstawia wykres siły wyrażonej w niutonach wielka litera F i w nawiasie kwadratowym wielka litera N, w funkcji położenia wyrażonego w metrach mała litera x i w nawiasie kwadratowym mała litera m. Z początku układu współrzędnych oznaczonego punktem zero wychodzi zielona, rosnąca funkcja liniowa. Opisuje ona siłę, której wartość rośnie jednostajnie wraz ze zmianą położenia. Na pionowej osi siły zaznaczono wartość wielka litera F i poprowadzono od osi do wykresu zielonej funkcji czarną poziomą linię. Na poziomej osi położenia zaznaczono wartość mała litera x. Pod wykresem funkcji zamalowano pomarańczowym kolorem pole trójkąta prostokątnego, którego przeciwprostokątna pokrywa się z zieloną funkcją, pozioma przyprostokątna ma wymiar mała litera x, a pionowa przyprostokątna ma długość wielka litera F.

Praca wykonana przez siłę zewnętrzną zostaje zmagazynowana w postaci energii potencjalnej sprężystości.

Energię potencjalną sprężystościenergia potencjalna sprężystościEnergię potencjalną sprężystości można zatem przedstawić jako kwadratową funkcję wydłużenia sprężyny:

gdzie $k$ to współczynnik sprężystości sprężyny, a $x$ to jej wydłużenie.

Przypomnijmy, że w układzie SI jednostką energii jest dżul [J].

Energia potencjalna sprężystościenergia potencjalna sprężystościEnergia potencjalna sprężystości jest proporcjonalna do kwadratu wydłużenia. Wykres $E_p(x)$ jest więc parabolą (Rys. 6.). Zauważ, że wydłużenie $x$ może również przyjmować wartości ujemne, które odpowiadają ściśnięciu sprężyny, tzn. skróceniu jej długości. To dlatego wykres energii potencjalnej sprężystości $E_p(x)$ jest symetryczny względem osi rzędnych. Wykres ten przechodzi przez początek układu współrzędnych, ponieważ w położeniu równowagi ($x=0$) energia potencjalna sprężystości jest równa zeru. Po obu stronach tego położenia ($x\neq 0$), ciężarek ma pewną, różną od zera, dodatnią wartość energii potencjalnej sprężystości. Oczywiście z największą wartością tej energii mamy do czynienia przy maksymalnym wydłużeniu lub skróceniu sprężyny. Na Rys. 6. sytuacji tej odpowiada wydłużenie $x=\pm A$, gdzie $A$ można też interpretować jako amplitudę drgań oscylatora harmonicznegoOscylator harmonicznyoscylatora harmonicznego.

R1GuqskD4vwIJ

Rys. 6. Rysunek przedstawia wykres energii potencjalnej wyrażonej w dżulach wielka litera E z indeksem dolnym mała litera p i w nawiasie kwadratowym wielka litera J, w funkcji położenia wyrażonego w metrach mała litera x i w nawiasie kwadratowym mała litera m. Początek układu współrzędnych oznaczono punktem zero. Na poziomej osi położenia zaznaczono wartości amplitudy minus wielka litera A i wielka litera A po obu stronach położenia równowagi, którym jest punkt zero. Na wykresie pokazano również funkcję paraboliczną, do której należy punkt zero. Funkcję narysowano czarną linią. Funkcja narysowana jest w dziedzinie od minus wielka litera A do wielka litera A. Wartości funkcji w tych położeniach oznaczono, jako jej wartość maksymalna wielka litera E z indeksem dolnym mała litera p i indeksem górnym małe litery max. Wykres parabolicznej funkcji otoczono poziomym prostokątem narysowanym linią przerywaną.

Przykład 1.

RItuJ3HDr1JdF

Rys. 7. Rysunek przedstawia wykres energii wyrażonej w dżulach wielka litera E i w nawiasie kwadratowym wielka litera J, w funkcji położenia wyrażonego w metrach mała litera x i w nawiasie kwadratowym mała litera m. Początek układu współrzędnych oznaczono punktem zero. Na poziomej osi położenia zaznaczono wartości od minus jednej dziesiątej metra do jednej dziesiątej metra co pięć setnych metra. Na pionowej osi energii zaznaczono wartości od zera dżuli do pół dżula co pięć setnych dżula. Na wykresie pokazano dwie funkcje paraboliczne sporządzone zgodnie z następującą formułą. Energia wielka litera E jest równa mała litera k pomnożona przez położenie mała litera x do kwadratu i podzielona przez dwa. Stała opisana jako mała litera k jest to współczynnik sprężystości. Jedna z funkcji parabolicznych jest niebieska i wartość stałej sprężystości mała litera k z indeksem dolnym jeden jest dla niej równa sto niutonów podzielonych przez metr. Druga funkcja paraboliczna jest czerwona i jej stała sprężystości mała litera k z indeksem dolnym dwa jest równa pięćdziesiąt niutonów na metr.

Wykresy, o których mowa w przykładzie zostały pokazane na Rys. 7.  Z wykresów tych wynika, że takiemu samemu wydłużeniu (lub skróceniu) sprężyn odpowiadają różne wartości energii potencjalnej, przy czym większa energia mechaniczna jest zmagazynowana w sprężynie o większej stałej sprężystości.

Przykład 2.

W ruchu harmonicznym wychylenie zmienia się w czasie według zależności:

gdzie $\omega =2\pi f$ jest częstością kołową oscylatora.

Energia potencjalna sprężystości wynosi więc:

Uwzględniając, że w ruchu harmonicznym:

gdzie $m$ – masa oscylatora, $\omega$ – jego częstość, a $f$ – częstotliwość drgań, otrzymujemy następującą zależność energii potencjalnej sprężystości od czasu:

Po wstawieniu danych liczbowych otrzymamy:

gdzie s i J to sekunda i dżul - oznaczenia jednostek.

Wykres zależności energii potencjalnej sprężystościenergia potencjalna sprężystościenergii potencjalnej sprężystości oscylatora harmonicznego od czasu (Rys. 8.), sporządzony dla jednego okresu drgań ($T=\frac{1}{f}=0,5\text{ s}$) pokazuje, że w ciągu okresu, energia potencjalna sprężystości dwukrotnie osiąga wartość maksymalną (dla $t=\frac{1}{4}T=0,125\text{ s}$ i $t=\frac{3}{4}T=0,375\text{ s}$, gdy wychylenie jest równe amplitudzie drgań: $x=\pm A$.

RNXDek8m7g2ct

Rys. 8. Rysunek przedstawia wykres energii potencjalnej wyrażonej w dżulach wielka litera E z indeksem dolnym mała litera p i w nawiasie kwadratowym wielka litera J, w funkcji czasu wyrażonego w sekundach mała litera t i w nawiasie kwadratowym mała litera s. Na pionowej osi energii potencjalnej zaznaczono wartości od zera dżuli do trzydziestu pięciu setnych dżula, co pięć setnych dżula. Na poziomej osi czasu zaznaczono wartości od zera sekund do pół sekundy co pięć setnych sekundy. Na wykresie pokazano czerwoną funkcję sinusoidalną, której konkretny wzór dany jest w postaci: energia potencjalna od czasu wielka litera E z indeksem dolnym p i w nawiasie mała litera t równa się około trzydzieści dwie setne razy sinus kwadrat i w argumencie sinusa cztery razy mała grecka litera pi pomnożone przez czas mała litera t. Trzydzieści dwie setne jest to wartość amplitudy.

Słowniczek