Przeczytaj

Zaczniemy od rozważenia przykładu.

Przykład 1

W pewnej kolonii liczba bakterii na początku obserwacji wynosi $8$ . Liczba ta podwaja się co $12$ godzin.

R1aq28pR5AgLh

Grafika przedstawia bakterie zawieszone w płynie. Bakterie są kuliste i posiadają długie łezkowate wypustki.

a) Wyznaczymy ile bakterii będzie znajdowało się w tej kolonii po $5$ dobach.

Zauważmy, że $5$ dób to $5 \cdot 24 = 120$ godzin. Ponieważ liczba bakterii podwaja się co $12$ godzin, dojdzie do $120 : 10 = 12$ podwojeń, czyli liczba bakterii będzie równa $8 \cdot 2^{10} = 8 \cdot 1024 = 8192$ .

b) Napiszemy wzór określający liczbę bakterii w tej kolonii po czasie $x$ godzin.

Ponieważ liczba bakterii podwaja się co $12$ godzin, więc w czasie $x$ godzin dojdzie do $\frac{x}{12}$ podwojeń. Zatem liczba bakterii po czasie $x$ godzin jest równa $8 \cdot 2^{\frac{x}{12}}$ .

c) Oszacujemy, po jakim czasie w kolonii będzie znajdowało się ponad milion bakterii.

Możemy za $x$ podstawiać kolejne liczby naturalne i obserwować, kiedy otrzymana liczba przekroczy milion ...

Możemy też zabrać się za rozwiązanie problemu bardziej algebraicznie.

Mamy do rozwiązania nierówność: $8 \cdot 2^{\frac{x}{12}} > 1000000$ .

Zauważmy, że nierówność można podzielić przez $8$ :

$2^{\frac{x}{12}} > 125000$ .

Ponieważ $2^{17} = 131072$ , zaś $2^{16} = 65536$ , więc $16 < \frac{x}{12} < 17$ , czyli $192 < x < 204$ .

Zatem liczba godzin potrzebna, aby populacja rozważanej kolonii przekroczyła milion to więcej niż $192$ , ale mniej niż $204$ , co oznacza, że stanie się to po ośmiu pełnych dobach, ale przed upłynięciem dziewiątej.

W powyższym przykładzie mamy do czynienia z przykładowym wykładniczym modelem wzrostu populacji. Jest to model bardzo prosty: zakłada nieograniczony dostęp do pożywienia oraz zerową śmiertelność. Ponadto jest to model zamknięty, czyli zakłada brak jakiejkolwiek ingerencji z zewnątrz. Matematycy od dawna zajmują się budowaniem modeli wzrostu populacji. Jednym z najstarszych i najbardziej znanych przykładów jest zadanie o królikach znajdujące się w dziele Leonarda z Pizy (Fibonacciego) „Liber abaci” z roku $1202$ , w którym po raz pierwszy rozważany jest tzw. ciąg Fibonacciegociąg Fibonacciegociąg Fibonacciego.

W chemii stosuje się pojęcie czasu połowicznego rozpadu/zaniku. Zgodnie z definicją jest to czas, w którym liczba nietrwałych obiektów zmniejsza się o połowę. Początkowo pojęcie dotyczyło nietrwałych jąder atomowych pierwiastków promieniotwórczych, ale obecnie stosuje się je również dla nietrwałych cząstek. Oznacza się go zwykle przez $T_{1 / 2}$ .

Przykład 2

Liczba jąder promieniotwórczych pewnego pierwiastka zmniejszyła się $256$ razy w ciągu $140$ dni. Obliczymy, jaki jest czas połowicznego rozpadu tego pierwiastka.

Załóżmy, że początkowa liczba jąder tego pierwiastka jest równa $N_{0}$ .

Zgodnie z treścią zadania po $140$ dniach liczba jąder będzie równa $\frac{N_{0}}{256}$ .

Z drugiej strony wiemy, że liczba $N_{0}$ zmniejsza się o połowę w czasie połowicznego rozpadu, czyli w czasie $T_{1 / 2}$ .

W ciągu $140$ dni dojdzie do $\frac{140}{T_{1 / 2}}$ takich rozpadów, zatem liczba jąder będzie równa $N_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{140}{T_{1 / 2}}}$ .

Stąd otrzymujemy równanie $\frac{N_{0}}{256} = N_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{140}{T_{1 / 2}}}$ .

Po podzieleniu każdej ze stron przez $N_{0}$ równanie przyjmie postać:

$\frac{1}{256} = {(\frac{1}{2})}^{\frac{140}{T_{1 / 2}}}$ .

Ponieważ ${(\frac{1}{2})}^{8} = \frac{1}{256}$ , więc mamy ${(\frac{1}{2})}^{8} = {(\frac{1}{2})}^{\frac{140}{T_{1 / 2}}}$ .

Zatem $8 = \frac{140}{T_{1 / 2}}$ , czyli $T_{1 / 2} = \frac{140}{8} = 17, 5$ .

Zatem czas połowicznego rozpadu tego pierwiastka to $17, 5$ dnia.

Przykład 3

Zapiszemy wyrażenie $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} + 2^{6} + 2^{7} + 2^{8} + 2^{9}$ w prostszej postaci.

Oznaczmy $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} + 2^{6} + 2^{7} + 2^{8} + 2^{9}$ przez $S_{9}$ oraz $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} + 2^{6} + 2^{7} + 2^{8} + 2^{9} + 2^{10}$ przez $S_{10}$ .

Wówczas $S_{10} = S_{9} + 2^{10}$ .

Ponadto zauważmy, że

$S_{10} = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} + 2^{6} + 2^{7} + 2^{8} + 2^{9} + 2^{10} =$

$= 1 + 2 \cdot (1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} + 2^{6} + 2^{7} + 2^{8} + 2^{9}) = 1 + 2 S_{9}$ .

Mamy zatem dwa równania:

$S_{10} = S_{9} + 2^{10}$ oraz $S_{10} = 1 + 2 S_{9}$ .

Po porównaniu prawych stron obu równań, otrzymujemy $S_{9} + 2^{10} = 1 + 2 S_{9}$ , co jest równoważne $S_{9} = 2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023$ .

Procent składanyprocent składanyProcent składany

Niech $K_{0}$ będzie kwotą, którą składamy do banku na roczną lokatę z oprocentowaniem $p %$ w skali roku. $K_{0}$ nazywamy kapitałem początkowym. Wówczas po pierwszym roku odsetki będą wynosiły $K_{0} \cdot \frac{p}{100}$ . Jeśli odsetki zostaną dopisane do lokaty (mówimy, że nastąpiła kapitalizacja odsetek), to na koncie będzie się znajdowała kwota $K_{0} \cdot (1 + \frac{p}{100})$ . Możemy zauważyć, że dopisanie odsetek do kwoty, od której te odsetki zostały obliczone, odpowiada pomnożeniu tej kwoty przez $(1 + \frac{p}{100})$ . Zatem jeśli w drugim roku na lokacie znajdowała się kwota $K_{0} \cdot (1 + \frac{p}{100})$ , to po tym okresie na lokacie będzie znajdować się kwota $K_{0} \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p}{100}) = K_{0} \cdot {(1 + \frac{p}{100})}^{2}$ .

Analogiczne rozumowanie prowadzi nas do wniosku, że po $n$ latach na lokacie będzie znajdować się kwota $K_{0} \cdot {(1 + \frac{p}{100})}^{n}$ . Warunek jest jednak taki, że nie dochodzi do żadnych ingerencji: oprocentowanie się nie zmienia oraz pieniądze z lokaty nie są wybierane, a odsetki są dopisywane do lokaty. Z punktu widzenia klienta banku, lokata pracuje sama na siebie.

Przykład 4

Pan Adam złożył $1000 zł$ na lokatę roczną z oprocentowaniem $2 %$ w skali roku, po czym lokatę tę zlikwidował i całą kwotę wraz z odsetkami złożył na lokatę roczną z oprocentowaniem $4 %$ w skali roku. Pan Bogdan złożył $1000 zł$ na lokatę roczną z pewnym oprocentowaniem $p %$ w skali roku, po czym całą kwotę wraz z odsetkami ponownie złożył na lokatę roczną z tym samym oprocentowaniem. Po dwóch latach obaj panowie otrzymali takie same kwoty. Ile było równe oprocentowanie $p$ lokaty pana Bogdana?

Ram57AcI3clLL

Ilustracja przedstawia kilka ustawionych w rzędzie stosów monet. Po prawo naniesiono również wykres rosnącej krzywej podzielony na pewne przedziały.

Obliczmy najpierw, jaką kwotę otrzymał po dwóch latach pan Adam.

Po pierwszym roku pan Adam wybierze z banku $1000 + 0, 02 \cdot 1000 = 1000 \cdot 1, 02 = 1020$ , zaś po drugim roku:

$1020 + 0, 04 \cdot 1020 = 1020 \cdot 1, 04 = 1060, 8$ .

Pan Bogdan po pierwszym roku będzie miał w banku $1000 + \frac{p}{100} \cdot 1000 = 1000 \cdot (1 + \frac{p}{100})$ , zaś po drugim:

$1000 \cdot (1 + \frac{p}{100}) + 1000 \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot \frac{p}{100} =$

$= 1000 \cdot (1 + \frac{p}{100}) (1 + \frac{p}{100}) = 1000 \cdot {(1 + \frac{p}{100})}^{2}$ .

Ponieważ po dwóch latach obaj panowie otrzymali takie same kwoty, więc możemy zapisać równanie

$1060, 8 = 1000 \cdot {(1 + \frac{p}{100})}^{2}$ .

Po podzieleniu każdej ze stron przez $1000$ otrzymujemy ${(1 + \frac{p}{100})}^{2} = 1, 0608$ , co po spierwiastkowaniu daje $1 + \frac{p}{100} \approx 1, 029951$ .

Możemy odjąć od każdej ze stron liczbę $1$ otrzymując $\frac{p}{100} \approx 0, 029951$ oraz pomnożyć przez $100$ uzyskując $p \approx 2, 995$ .

Poczyńmy pewne uwagi na temat powyższego zadania. Oprocentowanie $p$ możemy nazwać oprocentowaniem średnim – zastępuje ono dwa różne roczne oprocentowania. Zauważmy, że $p$ nie jest średnią arytmetyczną oprocentowań $2 %$ i $4 %$ (średnia arytmetyczna byłaby równa $3 %$ , zaś $p$ jest nieco mniejsze: $p \approx 2, 995 %$ ). Można też zaobserwować, że $1 + p = \sqrt{(1 + 0, 02) \cdot (1 + 0, 04)}$ .

Ogólnie liczbę $G_{n} = \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot . . . \cdot a_{n}}$ nazywamy średnią geometryczną dodatnich liczb $a_{1}$ , $a_{2}$ , $. . .$ , $a_{n}$ i stosujemy między innymi w zadaniach dotyczących oprocentowania, inflacji oraz innych obliczeń procentowych.

InflacjąinflacjaInflacją nazywamy spadek realnej wartości pieniądza, czyli równoważnie proces wzrostu przeciętnego poziomu cen w gospodarce. Na przykład roczna inflacja $2 %$ oznacza, że ceny w ciągu danego roku kalendarzowego wzrosły o $2 %$ . Innymi słowy produkt, który na początku roku kosztował $x$ , pod koniec tego roku kosztuje $1, 02 x$ .

Przykład 5

Inflacja w pewnym kraju była równa w kolejnych latach $2 %$ , $3 %$ , $5 %$ . Jaka jest średnia roczna inflacja w ciągu tych trzech lat?

Możemy skorzystać ze średniej geometrycznej. Średnia inflacja $i$ spełnia zależność

$1 + i = \sqrt[3]{(1 + 0, 02) (1 + 0, 03) (1 + 0, 05)}$ .

Otrzymujemy kolejno:

$1 + i = \sqrt[3]{1, 02 \cdot 1, 03 \cdot 1, 05}$

$1 + i \approx 1, 03325$

$i \approx 0, 03325$

Zatem średnia roczna inflacjainflacjainflacja w ciągu tych trzech lat jest równa około $3, 325 %$ .

Średnia geometryczna ma również liczne zastosowania w geometrii.

Wysokość trójkąta prostokątnego

Rozważmy trójkąt prostokątny, w którym poprowadzono wysokość z wierzchołka kąta prostego. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej.

RTrW910Fd95J8

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie a, pionowej przyprostokątnej b oraz o przeciwprostokątnej y+x. Między bokami a i b zaznaczono kąt prosty i z wierzchołka tego kąta poprowadzono do przeciwprostokątnej wysokość h. Wysokość podzieliła przeciwprostokątną na dwie części: dłuższą y, która ma wspólny koniec z bokiem b oraz krótszą x, mającą wspólny koniec z podstawą a. Zaznaczono kąty proste między wysokością h a częściami przeciwprostokątnej, czyli odcinkami x oraz y.

Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do każdego z trzech trójkątów prostokątnych otrzymujemy następujące równania:

$\{\begin{cases} h^{2} + y^{2} = b^{2} \\ h^{2} + x^{2} = a^{2} \\ a^{2} + b^{2} = {(x + y)}^{2} \end{cases}$

Ponadto ${(x + y)}^{2} = (x + y) (x + y) = x^{2} + x y + y x + y^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$ , zatem układ przyjmuje postać:

$\{\begin{cases} h^{2} + y^{2} = b^{2} \\ h^{2} + x^{2} = a^{2} \\ a^{2} + b^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2} \end{cases}$

Z dwóch pierwszych równań mamy $b^{2} = h^{2} + y^{2}$ i $a^{2} = h^{2} + x^{2}$ , co możemy podstawić do ostatniego równania:

a^{2} + b^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}

h^{2} + x^{2} + h^{2} + y^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}

Teraz możemy od obu stron powyższego równania odjąć $x^{2}$ oraz $y^{2}$ otrzymując:

2 h^{2} = 2 x y

h^{2} = x y

h = \sqrt{x y}

Zatem wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona z wierzchołka kąta prostego jest średnią geometryczną długości odcinków od spodka tej wysokości do końców przeciwprostokątnej.

Odcinek dzielący trapez na dwa trapezy o równych polach

Rozważmy trapez o podstawach $a$ , $b$ . Chcemy obliczyć długość $x$ odcinka o końcach należących do ramion trapezu, równoległego do podstaw i dzielącego rozważany trapez na dwa trapezy o równych polach. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej.

R1SXpZrhK1Fh2

Rysunek przedstawia trapez o podstawie dolnej a i górnej b. Z prawego górnego wierzchołka trapezu upuszczono dwie wysokości: h indeks dolny 1 oraz h indeks dolny 2, przy czym wysokość h indeks dolny 1 jest dłuższa od h indeks dolny 2. Przez wspólny punkt obu wysokości przebiega poziomy odcinek x równoległy do obu podstaw trapezu i łączący oba ramiona figury. Między wysokością h indeks dolny 1 a odcinkiem x oraz wysokością h indeks dolny 2 a podstawą dolną a oznaczono kąty proste.

Pole rozważanego trapezu jest równe $P = \frac{a + b}{2} \cdot (h_{1} + h_{2})$ , zaś pola nowopowstałych trapezów są równe $P_{a} = \frac{a + x}{2} \cdot h_{2}$ oraz $P_{b} = \frac{b + x}{2} \cdot h_{1}$ .

Ponadto zachodzą zależności $P_{a} = P_{b}$ oraz $P = 2 \cdot P_{a}$ . Po podstawieniu odpowiednich wyrażeń otrzymujemy równości:

$\frac{a + x}{2} \cdot h_{2} = \frac{b + x}{2} \cdot h_{1}$ , co po przekształceniu daje $\frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{a + x}{b + x}$ , oraz

$\frac{a + b}{2} \cdot (h_{1} + h_{2}) = 2 \cdot \frac{a + x}{2} \cdot h_{2}$ , co po przekształceniu daje $\frac{h_{1} + h_{2}}{h_{2}} = 2 \cdot \frac{a + x}{a + b}$ , czyli

$\frac{h_{1}}{h_{2}} + \frac{h_{2}}{h_{2}} = 2 \cdot \frac{a + x}{a + b}$ , więc $\frac{h_{1}}{h_{2}} + 1 = 2 \cdot \frac{a + x}{a + b}$ .

Zatem mamy dwa równania:

$\frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{a + x}{b + x}$ oraz $\frac{h_{1}}{h_{2}} + 1 = 2 \cdot \frac{a + x}{a + b}$ .

Z drugiego równania wynika, że $\frac{h_{1}}{h_{2}} = 2 \cdot \frac{a + x}{a + b} - 1$ , czyli

$\frac{a + x}{b + x} = \frac{h_{1}}{h_{2}} = 2 \cdot \frac{a + x}{a + b} - 1$ .

Stąd wynika równanie:

$\frac{a + x}{b + x} = 2 \cdot \frac{a + x}{a + b} - 1$ .

Z powyższego równania wyznaczamy $x$ . Najpierw mnożymy każdą ze stron przez $(b + x) (a + b)$ otrzymując:

$(a + x) (a + b) = 2 \cdot (a + x) (b + x) - (b + x) (a + b)$

Po opuszczeniu nawiasów mamy:

$a^{2} + a b + a x + b x = 2 a b + 2 a x + 2 b x + 2 x^{2} - a b - a x - b x - b^{2}$

$a^{2} = 2 x^{2} - b^{2}$

$a^{2} + b^{2} = 2 x^{2}$

$x^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{2}$ .

Ponieważ liczby $a$ , $b$ , $x$ są dodatnie jako długości boków, więc $x = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$ .

Ogólnie wyrażenie $K_{n} = \sqrt{\frac{{a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + . . . + {a_{n}}^{2}}{n}}$ nazywamy średnią kwadratową nieujemnych liczb $a_{1}$ , $a_{2}$ , $. . .$ , $a_{n}$ .

Słownik

ciąg Fibonacciego

ciąg liczbowy, który można zdefiniować rekurencyjnie $f_{1} = 1$ , $f_{2} = 1$ , $f_{n + 2} = f_{n + 1} + f_{n}$ , dla $n \in ℕ ∖ \{0\}$ ; innymi słowy: pierwszy i drugi wyraz ciągu Fibonacciego są równe $1$ , zaś każdy następny jest sumą dwóch poprzednich

procent składany

sposób oprocentowania wkładu pieniężnego polegający na tym, że odsetki za dany okres oprocentowania są doliczane do wkładu (podlegają kapitalizacji) i w ten sposób „składają się” na zysk wypracowywany w okresie następnym; zastosowanie reguły procentu składanego daje szybszy wzrost wartości kapitału niż zastosowanie procentu prostego; im częstsza kapitalizacja, tym kapitał wzrasta szybciej

inflacja

proces wzrostu przeciętnego poziomu cen w gospodarce; skutkiem tego procesu jest spadek siły nabywczej pieniądza krajowego

Wprowadzenie

Gra edukacyjna

Procent składanyprocent składanyProcent składany

Wysokość trójkąta prostokątnego

Odcinek dzielący trapez na dwa trapezy o równych polach

Słownik