Przeczytaj
Zaczniemy od rozważenia przykładu.
W pewnej kolonii liczba bakterii na początku obserwacji wynosi . Liczba ta podwaja się co godzin.
a) Wyznaczymy ile bakterii będzie znajdowało się w tej kolonii po dobach.
Zauważmy, że dób to godzin. Ponieważ liczba bakterii podwaja się co godzin, dojdzie do podwojeń, czyli liczba bakterii będzie równa .
b) Napiszemy wzór określający liczbę bakterii w tej kolonii po czasie godzin.
Ponieważ liczba bakterii podwaja się co godzin, więc w czasie godzin dojdzie do podwojeń. Zatem liczba bakterii po czasie godzin jest równa .
c) Oszacujemy, po jakim czasie w kolonii będzie znajdowało się ponad milion bakterii.
Możemy za podstawiać kolejne liczby naturalne i obserwować, kiedy otrzymana liczba przekroczy milion ...
Możemy też zabrać się za rozwiązanie problemu bardziej algebraicznie.
Mamy do rozwiązania nierówność: .
Zauważmy, że nierówność można podzielić przez :
.
Ponieważ , zaś , więc , czyli .
Zatem liczba godzin potrzebna, aby populacja rozważanej kolonii przekroczyła milion to więcej niż , ale mniej niż , co oznacza, że stanie się to po ośmiu pełnych dobach, ale przed upłynięciem dziewiątej.
W powyższym przykładzie mamy do czynienia z przykładowym wykładniczym modelem wzrostu populacji. Jest to model bardzo prosty: zakłada nieograniczony dostęp do pożywienia oraz zerową śmiertelność. Ponadto jest to model zamknięty, czyli zakłada brak jakiejkolwiek ingerencji z zewnątrz. Matematycy od dawna zajmują się budowaniem modeli wzrostu populacji. Jednym z najstarszych i najbardziej znanych przykładów jest zadanie o królikach znajdujące się w dziele Leonarda z Pizy (Fibonacciego) „Liber abaci” z roku , w którym po raz pierwszy rozważany jest tzw. ciąg Fibonacciegociąg Fibonacciego.
W chemii stosuje się pojęcie czasu połowicznego rozpadu/zaniku. Zgodnie z definicją jest to czas, w którym liczba nietrwałych obiektów zmniejsza się o połowę. Początkowo pojęcie dotyczyło nietrwałych jąder atomowych pierwiastków promieniotwórczych, ale obecnie stosuje się je również dla nietrwałych cząstek. Oznacza się go zwykle przez .
Liczba jąder promieniotwórczych pewnego pierwiastka zmniejszyła się razy w ciągu dni. Obliczymy, jaki jest czas połowicznego rozpadu tego pierwiastka.
Załóżmy, że początkowa liczba jąder tego pierwiastka jest równa .
Zgodnie z treścią zadania po dniach liczba jąder będzie równa .
Z drugiej strony wiemy, że liczba zmniejsza się o połowę w czasie połowicznego rozpadu, czyli w czasie .
W ciągu dni dojdzie do takich rozpadów, zatem liczba jąder będzie równa .
Stąd otrzymujemy równanie .
Po podzieleniu każdej ze stron przez równanie przyjmie postać:
.
Ponieważ , więc mamy .
Zatem , czyli .
Zatem czas połowicznego rozpadu tego pierwiastka to dnia.
Zapiszemy wyrażenie w prostszej postaci.
Oznaczmy przez oraz przez .
Wówczas .
Ponadto zauważmy, że
.
Mamy zatem dwa równania:
oraz .
Po porównaniu prawych stron obu równań, otrzymujemy , co jest równoważne .
Procent składanyProcent składany
Niech będzie kwotą, którą składamy do banku na roczną lokatę z oprocentowaniem w skali roku. nazywamy kapitałem początkowym. Wówczas po pierwszym roku odsetki będą wynosiły . Jeśli odsetki zostaną dopisane do lokaty (mówimy, że nastąpiła kapitalizacja odsetek), to na koncie będzie się znajdowała kwota . Możemy zauważyć, że dopisanie odsetek do kwoty, od której te odsetki zostały obliczone, odpowiada pomnożeniu tej kwoty przez . Zatem jeśli w drugim roku na lokacie znajdowała się kwota , to po tym okresie na lokacie będzie znajdować się kwota .
Analogiczne rozumowanie prowadzi nas do wniosku, że po latach na lokacie będzie znajdować się kwota . Warunek jest jednak taki, że nie dochodzi do żadnych ingerencji: oprocentowanie się nie zmienia oraz pieniądze z lokaty nie są wybierane, a odsetki są dopisywane do lokaty. Z punktu widzenia klienta banku, lokata pracuje sama na siebie.
Pan Adam złożył na lokatę roczną z oprocentowaniem w skali roku, po czym lokatę tę zlikwidował i całą kwotę wraz z odsetkami złożył na lokatę roczną z oprocentowaniem w skali roku. Pan Bogdan złożył na lokatę roczną z pewnym oprocentowaniem w skali roku, po czym całą kwotę wraz z odsetkami ponownie złożył na lokatę roczną z tym samym oprocentowaniem. Po dwóch latach obaj panowie otrzymali takie same kwoty. Ile było równe oprocentowanie lokaty pana Bogdana?
Obliczmy najpierw, jaką kwotę otrzymał po dwóch latach pan Adam.
Po pierwszym roku pan Adam wybierze z banku , zaś po drugim roku:
.
Pan Bogdan po pierwszym roku będzie miał w banku , zaś po drugim:
.
Ponieważ po dwóch latach obaj panowie otrzymali takie same kwoty, więc możemy zapisać równanie
.
Po podzieleniu każdej ze stron przez otrzymujemy , co po spierwiastkowaniu daje .
Możemy odjąć od każdej ze stron liczbę otrzymując oraz pomnożyć przez uzyskując .
Poczyńmy pewne uwagi na temat powyższego zadania. Oprocentowanie możemy nazwać oprocentowaniem średnim – zastępuje ono dwa różne roczne oprocentowania. Zauważmy, że nie jest średnią arytmetyczną oprocentowań i (średnia arytmetyczna byłaby równa , zaś jest nieco mniejsze: ). Można też zaobserwować, że .
Ogólnie liczbę nazywamy średnią geometryczną dodatnich liczb , , , i stosujemy między innymi w zadaniach dotyczących oprocentowania, inflacji oraz innych obliczeń procentowych.
InflacjąInflacją nazywamy spadek realnej wartości pieniądza, czyli równoważnie proces wzrostu przeciętnego poziomu cen w gospodarce. Na przykład roczna inflacja oznacza, że ceny w ciągu danego roku kalendarzowego wzrosły o . Innymi słowy produkt, który na początku roku kosztował , pod koniec tego roku kosztuje .
Inflacja w pewnym kraju była równa w kolejnych latach , , . Jaka jest średnia roczna inflacja w ciągu tych trzech lat?
Możemy skorzystać ze średniej geometrycznej. Średnia inflacja spełnia zależność
.
Otrzymujemy kolejno:
Zatem średnia roczna inflacjainflacja w ciągu tych trzech lat jest równa około .
Średnia geometryczna ma również liczne zastosowania w geometrii.
Wysokość trójkąta prostokątnego
Rozważmy trójkąt prostokątny, w którym poprowadzono wysokość z wierzchołka kąta prostego. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej.
Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do każdego z trzech trójkątów prostokątnych otrzymujemy następujące równania:
Ponadto , zatem układ przyjmuje postać:
Z dwóch pierwszych równań mamy i , co możemy podstawić do ostatniego równania:
Teraz możemy od obu stron powyższego równania odjąć oraz otrzymując:
Zatem wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona z wierzchołka kąta prostego jest średnią geometryczną długości odcinków od spodka tej wysokości do końców przeciwprostokątnej.
Odcinek dzielący trapez na dwa trapezy o równych polach
Rozważmy trapez o podstawach , . Chcemy obliczyć długość odcinka o końcach należących do ramion trapezu, równoległego do podstaw i dzielącego rozważany trapez na dwa trapezy o równych polach. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej.
Pole rozważanego trapezu jest równe , zaś pola nowopowstałych trapezów są równe oraz .
Ponadto zachodzą zależności oraz . Po podstawieniu odpowiednich wyrażeń otrzymujemy równości:
, co po przekształceniu daje , oraz
, co po przekształceniu daje , czyli
, więc .
Zatem mamy dwa równania:
oraz .
Z drugiego równania wynika, że , czyli
.
Stąd wynika równanie:
.
Z powyższego równania wyznaczamy . Najpierw mnożymy każdą ze stron przez otrzymując:
Po opuszczeniu nawiasów mamy:
.
Ponieważ liczby , , są dodatnie jako długości boków, więc .
Ogólnie wyrażenie nazywamy średnią kwadratową nieujemnych liczb , , , .
Słownik
ciąg liczbowy, który można zdefiniować rekurencyjnie , , , dla ; innymi słowy: pierwszy i drugi wyraz ciągu Fibonacciego są równe , zaś każdy następny jest sumą dwóch poprzednich
sposób oprocentowania wkładu pieniężnego polegający na tym, że odsetki za dany okres oprocentowania są doliczane do wkładu (podlegają kapitalizacji) i w ten sposób „składają się” na zysk wypracowywany w okresie następnym; zastosowanie reguły procentu składanego daje szybszy wzrost wartości kapitału niż zastosowanie procentu prostego; im częstsza kapitalizacja, tym kapitał wzrasta szybciej
proces wzrostu przeciętnego poziomu cen w gospodarce; skutkiem tego procesu jest spadek siły nabywczej pieniądza krajowego