Przeczytaj

W życiu codziennym spotykamy się z sytuacjami, gdy iloraz pewnych wielkości jest stały:

iloraz odległości w jakiej uderza piorun do czasu, po jakim usłyszymy grzmot,
iloraz odległości w terenie do odpowiadającej jej odległości na mapie,
iloraz wartości zakupionego towaru do jego masy,
iloraz stawki podatku do kwoty, która podlega opodatkowaniu.

wielkości wprost proporcjonalne

Definicja: wielkości wprost proporcjonalne

Dwie dodatnie wielkości są wprost proporcjonalne, gdy iloraz odpowiadających sobie wartości tych wielkości jest stały.

W przypadku wielkości wprost proporcjonalnych, wzrost lub zmniejszenie jednej wielkości, powoduje wzrost lub odpowiednio zmniejszenie drugiej wielkości tyle samo razy.

Wielkościami wprost proporcjonalnymi są na przykład:

długość boku kwadratu i jego obwód,
długość promienia koła i jego obwód,
liczba jednakowych pojemników i objętość wody, którą możemy do nich wlać.

Jeżeli wprowadzimy oznaczenia:

$a : b$ – iloraz liczb $a$ i $b$ , gdzie $b \neq 0$ ,

$c : d$ – iloraz liczb $c$ i $d$ , gdzie $d \neq 0$ ,

to równość dwóch ilorazów $a : b = c : d$ nazywa się proporcjąproporcjaproporcją.

Liczby $a$ i $d$ nazywamy wyrazami skrajnymi, a liczby $b$ i $c$ wyrazami środkowymi.

W obliczeniach stosuje się zapis $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , co jest równoważne zapisowi $a \cdot d = b \cdot c$ (iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych). Taki zapis proporcji zastosujemy do rozwiązywania zadań. Mówimy, że do rozwiązywania proporcji stosujemy metodę „na krzyż”.

Przykład 1

W tabeli przedstawiono wielkości $x$ i $y$ , które są wprost proporcjonalne. Wyznacz wartości liczb $k$ , $l$ oraz $m$ .

$x$	$5$	$k$	$9$	$m$
$y$	$8$	$10$	$l$	$12$

Rozwiązanie:

Jeżeli wielkości $x$ i $y$ są wprost proporcjonalne, to możemy ułożyć następujące proporcje:

$\frac{5}{8} = \frac{k}{10}$ , zatem $k = 6, 25$ ,

$\frac{5}{8} = \frac{9}{l}$ , zatem $l = 14, 4$ ,

$\frac{5}{8} = \frac{m}{12}$ , zatem $m = 7, 5$ .

Przykład 2

Rozwiążemy równanie zapisane w postaci proporcji $\frac{3 x - 5}{4} = \frac{2 x + 3}{3}$ .

Rozwiązanie:

Iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych, zatem:

$3 \cdot (3 x - 5) = 4 \cdot (2 x + 3)$ , czyli $9 x - 15 = 8 x + 12$ .

Rozwiązaniem równania jest liczba $x = 27$ .

Przykład 3

W pewnej szkole uczy się $520$ uczniów. Stosunek liczby dziewcząt do liczby chłopców jest równy $6 : 7$ . Wyznaczymy liczbę dziewcząt i liczbę chłopców w tej szkole.

Rozwiązanie:

Jeżeli przez $x$ oznaczymy liczbę dziewcząt w tej szkole, to liczba chłopców wynosi $520 - x$ oraz $0 < x < 520$ .

Układamy i rozwiązujemy równanie zapisane w postaci proporcji:

$\frac{x}{520 - x} = \frac{6}{7}$ .

Zatem $7 \cdot x = 6 \cdot (520 - x)$ , czyli

$x = 240$ ,

$520 - x = 280$ .

Liczba dziewcząt uczęszczających do tej szkoły wynosi $240$ , a chłopców $280$ .

Przykład 4

Motocykl pokonał trasę $180 km$ w ciągu $4, 5 h$ . Obliczymy, jaką długość miałaby trasa, którą pokonałby ten motocykl w ciągu $6$ godzin, gdyby utrzymał tę samą średnią prędkość.

Rozwiązanie:

Jeżeli przez $x$ oznaczymy trasę pokonaną w ciągu $6 h$ , to do wyznaczenia długości tej trasy rozwiązujemy równanie zapisane w postaci proporcji:

$\frac{180}{4, 5} = \frac{x}{6}$ , zatem $6 \cdot 180 = 4, 5 \cdot x$ , czyli $x = 240$ .

Przy tej samej prędkości, motocykl w ciągu $6 h$ pokonałby trasę długości $240 km$ .

Przykład 5

Odcinek podzielono na dwa mniejsze odcinki, których stosunek długości wynosi $3 : 5$ . Wyznaczymy, jaka jest długość tego odcinka, jeżeli mniejsza część jest o $10$ krótsza od większej części.

Rozwiązanie:

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$x$ – długość krótszej części odcinka,

$x + 10$ – długość dłuższej części odcinka.

Układamy i rozwiązujemy równanie zapisane w postaci proporcji:

$\frac{3}{5} = \frac{x}{x + 10}$ , zatem $5 \cdot x = 3 \cdot (x + 10)$ .

Po rozwiązaniu równania otrzymujemy, że $x = 15$ , zatem krótsza część odcinka ma długość $15$ , a dłuższa $25$ .

Wobec tego cały odcinek ma długość $40$ .

Przykład 6

Wiadomo, że $40$ ziarenek kawy waży $4, 8 g$ . Obliczymy, ile waży jedno ziarenko kawy.

Rozwiązanie:

Jeżeli przez $x$ oznaczymy masę jednego ziarenka kawy, to do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie zapisane w postaci proporcji:

$\frac{4, 8}{40} = \frac{x}{1}$ , zatem $x = 0, 12$ .

Jedno ziarenko kawy ma masę $0, 12 g$ .

Słownik

proporcja

równość dwóch ilorazów

Wprowadzenie

Schemat interaktywny

Słownik