Jeżeli równanie kwadratowe $a{x}^2+bx+c=0$, gdzie $a\ne 0$, ma pierwiastki $x_1$, $x_2$, to:

Korzystając ze wzorów Viète’awzory Viete’awzorów Viète’a obliczymy kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego $x_1+2x-15=0$.

Najpierw sprawdzimy znak wyróżnika trójmianu kwadratowego.

$∆=4-4·\left(-15\right)=64>0$

Czyli równania ma dwa różne rozwiązania.

${\left(x_1-x_2\right)}^2=x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2=x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-4x_1{x}_2=$

$={\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1·x_2$

Czyli:

$(-\frac{b}{a}{)}^2-4\cdot \frac{c}{a}=(-\frac{2}{1}{)}^2-4\cdot \frac{(-15)}{1}=2^2+60=64$

Zatem kwadrat różnicy pierwiastków równania jest równy $64$.

Korzystając ze wzorów Viète’a obliczymy sumę odwrotności pierwiastków $x_1$, $x_2$ równania kwadratowego $x^2-3\sqrt{5}x-1=0$.

$x^2-3\sqrt{5}x-1=0$

$∆={\left(-3\sqrt{5}\right)}^2-4·\left(-1\right)=45+4=49>0$

Równanie ma dwa rozwiązania (zauważmy, że rozwiązania te są różne od zera).

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_2·x_1}=\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=-\frac{b}{a}·\frac{a}{c}=\frac{-b}{c}$

Czyli $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{3\sqrt{5}}{-1}=-3\sqrt{5}$

Suma odwrotności pierwiastków równania jest równa $\left(-3\sqrt{5}\right)$.

Przekształcimy wyrażenie $\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_1^2}$ tak, aby korzystając z wzorów Viete’a obliczyć wartość tego wyrażenia, wiedząc, że $x_1$, $x_2$ to pierwiastki równaniapierwiastek równaniapierwiastki równania kwadratowego $\sqrt{2}{x}^2-5x+3\sqrt{2}=0$.

Najpierw przekształcimy wyrażenie określające sumę odwrotności kwadratów pierwiastków równania tak, aby wykorzystać wzory Viete’awzory Viete’awzory Viete’a.

$\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_1^2}=\frac{x_2^2+x_2^1}{x_2^1·x_2^2}=\frac{x_2^1+2x_1{x}_2+x_2^2-2x_1{x}_2}{x_2^1·x_2^2}=\frac{{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2}{x_2^1·x_2^2}=\frac{{\left(-\frac{b}{a}\right)}^2-2·\frac{c}{a}}{{\left(\frac{c}{a}\right)}^2}$

$\sqrt{2}{x}^2-5x+3\sqrt{2}=0$

$∆=25-4·\sqrt{2}·3\sqrt{2}=25-24=1>0$

$\frac{{\left(-\frac{b}{a}\right)}^2-2·\frac{c}{a}}{{\left(\frac{c}{a}\right)}^2}=\frac{{\left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right)}^2-2·\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}{{\left(\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right)}^2}= \frac{\frac{25}{2}-6}{9}=\frac{\frac{13}{2}}{9}=\frac{13}{2}·\frac{1}{9}=\frac{13}{18}$

Wartość wyrażenia jest równa $\frac{13}{18}$.

Podaj takie przykładowe równanie kwadratowe, aby suma rozwiązań $x_1$ i $x_2$ równania kwadratowego była równa $1$, natomiast iloczyn tych rozwiązań był równy $\left(-2\right)$.

Z treści zadania mamy:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=1\\ x_1·x_2=-2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}{x}_2=1-x_1\\ x_1\left(1-x_1\right)=-2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}{x}_2=1-x_1\\ -x_1^2+x_1+2=0\end{array}\right.$

Zajmiemy się rozwiązaniem drugiego równania.

$-x_1^2+x_1+2=0$

$∆=1-4·\left(-1\right)·2=1+8=9$

$\sqrt{∆}=3$

$x_{1_1}=\frac{-1-3}{-2}=2$

$x_{1_2}=\frac{-1+3}{-2}=-1$

$x_{2_1}=1-2=-1$

$x_{2_2}=1-\left(-1\right)=2$

Otrzymaliśmy pary rozwiązań $2$ i $-1$ oraz $-1$ i $2$.

Zatem korzystając z postaci iloczynowej równania kwadratowego np. dla $a=1$ mamy

$\left(x+1\right)\left(x-2\right)=0$

Czyli przykładowe równanie to $x^2-x-2=0$.

Ułożymy równanie kwadratowe tak, aby suma rozwiązań $x_1$ i $x_2$ była równa $6$, a suma kwadratów tych rozwiązań była równa $20$.

Z treści zadania możemy zapisać układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=6\\ x_1^2+x_2^2=20\end{array}\right.$

Zapiszemy wyrażenie opisujące sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego z wykorzystaniem wzorów Viete’awzory Viete’awzorów Viete’a.

$x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-2x_1{x}_2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2$

Czyli, ponieważ $x_1^2+x_2^2=20$, możemy zapisać równanie:

$6^2-2x_1{x}_2=20$

$-2x_1{x}_2=20-36$

$x_1·x_2=8$

Zatem:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=6\\ x_1·x_2=8\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}{x}_2=6-x_1\\ x_1\left(6-x_1\right)=8\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}{x}_2=6-x_1\\ -x_1^2+6x_1-8=0\end{array}\right.$

$x_1^2-6x_1+8=0$

$∆={\left(-6\right)}^2-4·8=36-32=4$

$\sqrt{∆}=2$

$x_{1_1}=\frac{6-2}{2}=2$

$x_{1_2}=\frac{6+2}{2}=4$

$x_{2_1}=6-2=4$

$x_{2_2}=6-4=2$

Możemy zapisać równanie kwadratowe w postaci iloczynowej.

$a\left(x-2\right)\left(x-4\right)=0$

Dla $a=1$ równanie będzie miało postać $x^2-6x+8=0$.

jeżeli równanie kwadratowe $a{x}^2+bx+c=0$, gdzie $a\ne 0$, ma pierwiastki $x_1$, $x_2$, to

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ oraz $x_1·x_2=\frac{c}{a}$

każda liczba rzeczywista, która po wstawieniu w miejsce niewiadomej zamienia równanie w zdanie prawdziwe