Przeczytaj
Jeżeli równanie kwadratowe , gdzie , ma pierwiastki , , to możemy obliczyć ich sumę i iloczyn, bez konieczności obliczania samych pierwiastków. Wzory, które można w tym celu wykorzystać, noszą nazwę wzorów Viete’a.
Jeżeli równanie kwadratowe , gdzie , ma pierwiastki , , to:
Dzięki tym wzorom możemy, bez obliczenia rozwiązań równania, obliczyć kwadrat różnicy, sumę kwadratów, czy sumę odwrotności pierwiastków. Do przekształceń będziemy wykorzystywać również wzory skróconego mnożenia.
Korzystając ze wzorów Viète’awzorów Viète’a obliczymy kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego .
Najpierw sprawdzimy znak wyróżnika trójmianu kwadratowego.
Czyli równania ma dwa różne rozwiązania.
Czyli:
Zatem kwadrat różnicy pierwiastków równania jest równy .
Korzystając ze wzorów Viète’a obliczymy sumę odwrotności pierwiastków , równania kwadratowego .
Równanie ma dwa rozwiązania (zauważmy, że rozwiązania te są różne od zera).
Czyli
Suma odwrotności pierwiastków równania jest równa .
Przekształcimy wyrażenie tak, aby korzystając z wzorów Viete’a obliczyć wartość tego wyrażenia, wiedząc, że , to pierwiastki równaniapierwiastki równania kwadratowego .
Najpierw przekształcimy wyrażenie określające sumę odwrotności kwadratów pierwiastków równania tak, aby wykorzystać wzory Viete’awzory Viete’a.
Wartość wyrażenia jest równa .
Podaj takie przykładowe równanie kwadratowe, aby suma rozwiązań i równania kwadratowego była równa , natomiast iloczyn tych rozwiązań był równy .
Z treści zadania mamy:
Zajmiemy się rozwiązaniem drugiego równania.
Otrzymaliśmy pary rozwiązań i oraz i .
Zatem korzystając z postaci iloczynowej równania kwadratowego np. dla mamy
Czyli przykładowe równanie to .
Ułożymy równanie kwadratowe tak, aby suma rozwiązań i była równa , a suma kwadratów tych rozwiązań była równa .
Z treści zadania możemy zapisać układ równań:
Zapiszemy wyrażenie opisujące sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego z wykorzystaniem wzorów Viete’awzorów Viete’a.
Czyli, ponieważ , możemy zapisać równanie:
Zatem:
Możemy zapisać równanie kwadratowe w postaci iloczynowej.
Dla równanie będzie miało postać .
Słownik
jeżeli równanie kwadratowe , gdzie , ma pierwiastki , , to
oraz
każda liczba rzeczywista, która po wstawieniu w miejsce niewiadomej zamienia równanie w zdanie prawdziwe