Warto przeczytać

Wykonanie większości czynności w życiu codziennym nierozerwalnie związane jest z wprawieniem w ruch jakiegoś ciała. Przykładami takich działań są zarówno podniesienie kubka z herbatą, spacer do szkoły, czy lot samolotem. Niektóre z nich wykonujemy częściej, inne nieco rzadziej. Wszystkie te czynności wymagają użycia siły, a zatem do ich opisu możemy wykorzystać zasady dynamiki Newtona. Spróbujmy znaleźć oraz zidentyfikować te zasady, analizując prosty przykład motocyklisty Szczepana, przygotowującego się do wyścigu.

Tor wyścigowy, na którym startować będzie Szczepan, ma długość $s=50\text{km}$. Kierowca przed wyścigiem stara się ocenić swoje szanse na zwycięstwo. W tym celu postanawia obliczyć czas, jaki zajmie mu pokonanie całego dystansu i porównać go z czasem zwycięzcy z poprzedniego roku. W obliczeniach Szczepan postanowił wykorzystać wiedzę na temat motocykla, którym dysponuje, oraz zasady dynamiki.

Motocyklista wie, że jego masa wraz z masą motocykla wynosi $M=300\text{kg}$. Rozpatruje zatem siły, jakie działać będą na niego tuż przed startem.

R13bKVHGm6PA8

Rys. 1. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym widoczny jest schematycznie motocyklista oraz siły działające na niego w kierunku pionowym. Na ilustracji przedstawiono motocyklistę w postaci niebieskiego ludzika, dosiadającego szary motocykl. Kierowca i jego pojazd poruszają się po poziomej i płaskiej powierzchni w prawo. Do środka masy układu składającego się z motocyklisty i pojazdu przyłożono dwa wektory sił, narysowane w postaci pionowych strzałek. Jedna z sił skierowana jest pionowo w dół i podpisana jako siła grawitacji, wielka litera F z indeksem dolnym mała litera g i strzałką oznaczającą wektor. Druga z siła, jest to siła reakcji, która może być interpretowana jako siła sprężystości podłoża będąca odpowiedzią na nacisk układu na jezdnię. Narysowana ją w postaci czerwonej strzałki skierowanej w górę i podpisanej, jako wielka litera R ze strzałką oznaczającą wektor. Na ilustracji zaznaczono trzecią siłę, wielka litera N ze strzałką oznaczającą wektor. Siłę tę symbolizuje niebieska, pionowa strzałka, skierowana w dół i przyłożona do podłoża po którym porusza się motocykl. Jest to siła nacisku, jaką układ złożony z kierowcy i pojazdu wywiera na podłoże. Strzałki, które symbolizują poszczególne siły są równej długości. Zwróć uwagę, że para sił, którą tworzą siła nacisku i siła reakcji spełnia trzecią zasadę dynamiki. Para sił, którą stanowią siła reakcji i siła grawitacji spełnia natomiast pierwszą zasadę dynamiki.

Szczepan zauważa, że w analizowanej sytuacji siły działające na niego i jego motocykl spełniają dwie z trzech zasad dynamiki Newtona. I zasadę dynamiki zauważył w równowadze pomiędzy siłami grawitacji ${\overrightarrow{F}}_g$ oraz reakcji podłożaSiła reakcji podłożareakcji podłoża $\overrightarrow{R}$. Przyłożone są one do tego samego ciała, ich wartości są równe, ale działają z przeciwnymi zwrotami. Tworzą one parę sił równoważących się - wartość siły wypadkowejSiła wypadkowasiły wypadkowej działającej na motocykl w kierunku pionowym jest równa zeru. Dzięki temu motocykl nie zapada się w powierzchnię toru wyścigowego, ale również nie wzbija się w powietrze.

Motocyklista dostrzegł także, że siła reakcji $\overrightarrow{R}$ jest co do wartości równa sile nacisku $\overrightarrow{N}$ wywieranej na podłoże przez motocykl i kierowcę. Siły te nie równoważą się, ponieważ przyłożone są do różnych ciał. Tworzą one zatem parę sił akcji i reakcji, spełniających trzecią zasadę dynamiki Newtona.

Następnie, kierowca zastanawia się nad sytuacją, do jakiej dojdzie po rozpoczęciu wyścigu. Biorąc pod uwagę siłę generowaną przez silnik jego motocykla $F=2000\text{N}$ oraz sumę sił oporu dynamicznego i siły tarcia $F_{\text{op}}=200\text{N}$, postanawia wyznaczyć przyspieszenie, jakiego dozna przy starcie.

RTBCDIp6y3NTv

Rys. 2. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym widoczny jest schematycznie motocyklista oraz siły działające na niego w kierunku poziomym. Na ilustracji przedstawiono motocyklistę w postaci niebieskiego ludzika, dosiadającego szary motocykl. Kierowca i jego pojazd poruszają się po poziomej i płaskiej powierzchni w prawo. Do środka masy układu składającego się z motocyklisty i pojazdu przyłożono dwa wektory sił, narysowane w postaci poziomych strzałek. Jedna z siła widoczna jest w postaci długiej, czarnej i poziomej strzałki skierowanej w prawo. Siłę tę podpisano wielką literą F ze strzałką oznaczającą wektor. Symbolizuje ona siłę generowaną przez silnik pojazdu. Druga z sił, widoczna jest w postaci poziomej, niebieskiej strzałki skierowanej w lewo. Strzałka symbolizująca tę siłę jest znacznie krótsza niż strzałka siły wielka litera F ze strzałką oznaczającą wektor. Niebieska strzałka symbolizuje wektor siły oporu powietrza działającego na poruszającego się motocyklistę i jego pojazd. Podpisano ją wielką literą F z indeksem dolnym małe litery op i strzałką oznaczającą wektor. Z rysunku wynika, że na motocyklistę i pojazd działają dwie siły, które nie równoważą się. Siła wywołująca ruch jest znacznie większa niż siła, która mu przeciwdziała, a zatem zawodnik porusza się ruchem przyspieszonym. Z taka sytuacją mamy do czynienia, w chwilę po starcie.

Wartość siły wypadkowej działającej na niego i jego motocykl, będącej różnicą wartości siły wywołującej ruch $\overrightarrow{F}$ oraz siły oporu ${\overrightarrow{F}}_{\text{op}}$, wynosi

Siły te spełniają II zasadę dynamiki Newtona.

Wyznaczając wartość przyspieszenia Szczepan wykorzystał wzór

Następnie Szczepan wyznaczył czas, po którym motocykl osiągnie maksymalną, dopuszczalną w wyścigu prędkość $v_k=216\frac{\text{km}}{\text{h}}=60\frac{\text{m}}{\text{s}}$. W obliczeniach wykorzystał wzór $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$, który przekształcił do postaci:

Po osiągnięciu tej prędkości motocyklista musi przestać przyspieszać. Szczepan wiedział, że jazda ze stałą prędkością $v_k=216\frac{\text{km}}{\text{h}}$ będzie możliwa, gdy siły działające na niego ponownie spełniają I zasadę dynamiki.

RBbYktrxjqQcp

Rys. 3. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym widoczny jest schematycznie motocyklista oraz siły działające na niego w kierunku poziomym. Na ilustracji przedstawiono motocyklistę w postaci niebieskiego ludzika, dosiadającego szary motocykl. Kierowca i jego pojazd poruszają się po poziomej i płaskiej powierzchni w prawo. Do środka masy układu składającego się z motocyklisty i pojazdu przyłożono dwa wektory sił, narysowane w postaci poziomych strzałek. Jedna z sił, narysowana jest w postaci czerwonej, poziomej strzałki, skierowanej w prawo. Podpisano ją wielką literą F z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor. Jest to siła, jaką generuje silnik pojazdu w trakcie wyścigu. Druga siła widoczna jest w postaci czarnej, poziomej strzałki, skierowanej w lewo. Jest to siła oporu powietrza, wielka litera F z indeksem dolnym małe litery op i strzałką oznaczającą wektor. Wektory obu sił są równej długości, mają ten sam kierunek ale przeciwne zwroty. Oznacza to, że siły te równoważą się, a zatem motocyklista porusza się ruchem jednostajnym ze stałą prędkością.

Siła generowana przez silnik motocykla musi zmaleć do wartości ${\overrightarrow{F}}_2$, która jest równa co do wartości sile oporu ${\overrightarrow{F}}_{\text{op}}$. W takiej sytuacji siły ${\overrightarrow{F}}_2$ i ${\overrightarrow{F}}_{\text{op}}$ równoważą się, a zatem wartość siły wypadkowej jest równa $0$.

Kierowca zdał sobie jednak sprawę z tego, że taka jazda spowoduje, iż w odległości $L=600\text{m}$ przed metą wyścigu zabraknie mu paliwa. Zastanawia się, czy jest możliwym, aby ukończyć wyścig siłą rozpędu, bez konieczności tankowania w trakcie. Szczepan zdaje sobie sprawę z tego, że w chwili zgaśnięcia silnika będzie poruszał się ruchem jednostajnie opóźnionym. Siły oporu spowodują znaczący spadek prędkości, a w ekstremalnej sytuacji mogą nawet zatrzymać motocykl przed dojechaniem do mety.

R6lZqjdw6Ghxz

Rys. 4. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym widoczny jest schematycznie motocyklista oraz siła oporu powietrza działająca na niego w kierunku poziomym. Na ilustracji przedstawiono motocyklistę w postaci niebieskiego ludzika, dosiadającego szary motocykl. Kierowca i jego pojazd poruszają się po poziomej i płaskiej powierzchni w prawo. Do środka masy układu składającego się z motocyklisty i pojazdu przyłożono wektor siły oporu powietrza, wielka litera F z indeksem dolnym małe litery op i strzałką oznaczającą wektor. Wektor siły widoczny jest w postaci czarnej, poziomej strzałki, skierowanej w lewo, przeciwnie do kierunku ruchu. W takiej sytuacji, motocyklista będzie poruszał się ruchem opóźnionym.

Chcąc zorientować się, jakie szanse ma na dojechanie do mety, motocyklista oblicza wartość przyspieszenia/opóźnienia, jakiego dozna po zgaśnięciu silnika. Wykorzystuje w tym celu ponownie II zasadę dynamiki

Zastanawia się, czy prędkość, do jakiej rozpędzony został motocykl, wystarczy na dojechanie do mety. Oblicza zatem czas $t^{\prime }$, po którym dojdzie do zatrzymania motocykla

a następnie maksymalny dystans, jaki może pokonać w ruchu jednostajnie opóźnionym

Dystans ten jest większy niż odległość do mety. Ostatnim pytaniem, jakie zadał sobie Szczepan, jest to, w jakim czasie pokona dystans $L=600\text{m}$ ruchem jednostajnie opóźnionym. Obliczenia wymagały przekształcenia wzoru

do postaci równania kwadratowego

i rozwiązania tego równania względem czasu. Szczepan uczynił to i uzyskał dwa wyniki: $t_3=169,37\text{s}$ i $t_3=10,63\text{s}$. Pierwszy z wyników nie jest możliwy do uzyskania, ponieważ jest większy od $90\text{s}$, które stanowią maksymalny czas ruchu do momentu zatrzymania motocykla. Kierowca uznał zatem, że czas, jaki upłynie od chwili zgaśnięcia silnika do przekroczenia mety, jest równy $t_3=10,63\text{s}$.

Motocyklista postanowił zatem obliczyć całkowity czas $t_c$, jaki zajmie mu wyścig. W tym celu musiał dodać do siebie czasy cząstkowe:

- ${\mathbf{t}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathrm{\Delta }\mathbf{t}\mathbf{=}\mathbf{10}\mathbf{s}$ spędzony w ruchu jednostajnie przyspieszonym zaraz po rozpoczęciu wyścigu

- ${𝐭}_2$ spędzony w ruchu jednostajnym ze stałą prędkością ${𝐯}_{𝐤}$

Chcąc obliczyć czas $t_2$, Szczepan musiał wyznaczyć dystans $s_2$, na jakim poruszał się będzie ze stałą prędkością. Oszacował więc najpierw drogę $s_1$, jaką pokona ruchem jednostajnie przyspieszonym

a następnie odjął drogę $s_1$ oraz $L$ od dystansu całego wyścigu

Czas $t_2$ obliczył korzystając ze wzoru

- ${\mathbf{t}}_{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{10}\mathbf{,}\mathbf{63}\mathbf{s}$ pokonany ruchem jednostajnie opóźnionym po zgaśnięciu silnika

Całkowity czas wyścigu, jaki wyznaczył Szczepan, wynosi

Kierowca porównał wyniki swoich obliczeń z rezultatem zwycięzcy sprzed roku $t^{″}=14\text{min}3,11\text{s}$ i uznał, iż ma realne szanse na tegoroczne zwycięstwo.

Jak widzimy na przykładzie motocyklisty Szczepana, przykłady zastosowania zasad dynamiki Newtona nieustannie nas otaczają. A teraz spróbuj wyobrazić sobie inną dowolną czynność i znaleźć w niej zasady dynamiki. Zdecyduj, które z nich są spełnione.

Słowniczek