Przeczytaj

Przypomnijmy definicję funkcji liniowej.

funkcja liniowa

Definicja: funkcja liniowa

Funkcję określoną wzorem $y = a x + b$ dla $x \in ℝ$ , gdzie $a$ i $b$ są stałymi, nazywamy funkcją liniową.

Liczbę $a$ nazywamy współczynnikiem kierunkowym, a liczbę $b$ wyrazem wolnym.

Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych $ℝ$ .

Wykresem funkcjiwykres funkcjiWykresem funkcji liniowej jest prosta.

Do szkicowania wykresu funkcji liniowej wykorzystamy poniższą własność.

prosta na płaszczyźnie

Własność: prosta na płaszczyźnie

Przez dwa różne punkty płaszczyzny można poprowadzić dokładnie jedną prostą.

Zatem do naszkicowania wykresu funkcji liniowej określonej wzorem $y = a x + b$ wystarczy wyznaczyć współrzędne co najmniej dwóch punktów, które należą do tego wykresu.

Naszkicujemy wykres funkcji określonej wzorem $y = \frac{1}{3} x - 1$ .

Przedstawmy w tabeli wartości tej funkcji, które wyznaczymy dla kilku argumentów.

$x$	$- 3$	$0$	$3$	$6$
$y$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$

Zatem wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

R1E78rkV7Ppm5

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 7 i pionową osią y od minus trzech do trzech. W układzie zaznaczono ukośną prostą o równaniu y=13x−1. Prosta przechodzi przez cztery punkty, które zostały zaznaczone zamalowanymi kropkami, współrzędne tych punktów to kolejno: nawias minus trzy średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, nawias trzy średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias sześć średnik jeden zamknięcie nawiasu.

Naszkicujemy wykres funkcji określonej wzorem $y = - 3 x + 1$ .

Przedstawmy w tabeli wartości tej funkcji, które wyznaczymy dla kilku argumentów.

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$4$	$1$	$- 2$	$- 5$

Zatem wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

R12SQQxC3EkEo

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 7 i pionową osią y od minus 5 do pięciu. W układzie zaznaczono ukośną prostą o równaniu y=−3x+1. Prosta przechodzi przez cztery punkty, które zostały zaznaczone zamalowanymi kropkami, współrzędne tych punktów to kolejno: nawias minus jeden średnik cztery zamknięcie nawiasu, nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, nawias dwa średnik minus pięć zamknięcie nawiasu.

Zauważmy, że jeżeli do naszkicowania prostej wystarczy znać współrzędne dwóch punktów, to tymi współrzędnymi mogą być współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji liniowej z osiami układu współrzędnych (o ile istnieją).

Punkt przecięcia wykresu funkcji liniowej określonej wzorem $y = a x + b$ z osią $X$ układu współrzędnych ma współrzędne $(\frac{- b}{a}, 0)$ , gdzie $a \neq 0$ .
Punkt przecięcia wykresu funkcji liniowej określonej wzorem $y = a x + b$ z osią $Y$ układu współrzędnych ma współrzędne $(0, b)$ .

Omówimy położenie w układzie współrzędnych prostej, która jest wykresem funkcji liniowej określonej wzorem $y = a x + b$ , w zależności od wartości współczynników $a$ i $b$ .

RUeAbR5w52gns

I

. Dla

a > 0

b > 0

mamy: Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do pięciu. Na rysunku oznaczono numery ćwiartek układu. W układzie narysowano ukośną prostą przebiegającą między innymi przez punkty nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu oraz przez punkt nawias zero średnik trzy zamknięcie nawiasu. Prosta przebiega od lewej przez trzecią, drugą i pierwszą ćwiartkę

Przykład 1

Naszkicujemy wykres funkcji liniowej określonej wzorem $y = - \frac{2}{5} x + 2$ .

Rozwiązanie

Ze wzoru funkcji możemy odczytać, że $a = - \frac{2}{5}$ oraz $b = 2$ .

Zatem współrzędne punktów przecięcia prostej, która jest wykresem tej funkcji, z osiami układu współrzędnych wynoszą:

z osią $X$ : $(5, 0)$ ,
z osią $Y$ : $(0, 2)$ .

Wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

RQ9HOosIFtNjL

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 6 i pionową osią y od minus 1 do pięciu. W układzie zaznaczono ukośną prostą o równaniu y=−25x+2. Prosta przechodzi przez dwa punkty, które zostały zaznaczone zamalowanymi kropkami, współrzędne tych punktów to kolejno: nawias zero średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias pięć średnik zero zamknięcie nawiasu.

Przykład 2

Do wykresu funkcji liniowej określonej wzorem $y = a x$ należy punkt o współrzędnych $(- 1, 4)$ .

Wyznaczymy wzór tej funkcji oraz naszkicujemy jej wykres.

Rozwiązanie

Ponieważ punkt o współrzędnych $(- 1, 4)$ należy do wykresu funkcji określonej wzorem $y = a x$ , zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$4 = a \cdot (- 1)$ , zatem $a = - 4$ .

Wzór funkcji zapisujemy w postaci: $y = - 4 x$ .

Zauważmy, że do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych $(0, 0)$ .

Wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

R19syOSKYHKmY

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 6 i pionową osią y od minus 4 do pięciu. W układzie zaznaczono ukośną prostą o równaniu y=−4x. Prosta przechodzi przez dwa punkty, które zostały zaznaczone zamalowanymi kropkami, współrzędne tych punktów to kolejno: nawias minus jeden średnik cztery zamknięcie nawiasu, nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu.

Przykład 3

Naszkicujemy wykres funkcji liniowej określonej wzorem $y = - \frac{2}{3} x - 1$ i określimy jego położenie w układzie współrzędnych.

Rozwiązanie

Do wykresu funkcji należą punkty o współrzędnych $(- 3, 1)$ oraz $(0, - 1)$ .

Zatem wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

RnmWYMqB7E3ht

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 6 i pionową osią y od minus 4 do czterech. W układzie zaznaczono ukośną prostą o równaniu y=−23x−1. Prosta przechodzi przez dwa punkty, które zostały zaznaczone zamalowanymi kropkami, współrzędne tych punktów to kolejno: nawias minus trzy średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu.

Wykres tej funkcji znajduje się w $II$ , $III$ i $IV$ ćwiartce układu współrzędnych.

Wykresy funkcji liniowych znajdują zastosowanie w rozwiązywaniu sytuacji związanych z życiem codziennym.

Przykład 4

Wypożyczalnia oferuje dwie opcje zapłaty za wypożyczenie kajaka, w zależności od trasy spływu:

trasa $I$ - wpłata $30 zł$ oraz $15 zł$ za każdą godzinę,

trasa $II$ - wpłata $20 zł$ oraz $20 zł$ za każdą godzinę.

Zapiszemy wzory funkcji przedstawiających koszt wypożyczenia, w zależności od liczby godzin.
Naszkicujemy wykresy funkcji mając dane ich wzory.

Rozwiązanie

Najpierw oznaczymy przez $x$ (gdzie $x > 0$ ) liczbę godzin i przez $y$ (gdzie $y > 0$ ) całkowity koszt wypożyczenia. Wtedy wzory funkcji określających całkowity koszt wypożyczenia można zapisać następująco:
trasa $I$ - $y_{I} = 30 + 15 x$ ,
trasa $II$ - $y_{II} = 20 + 20 x$ .
Wykresy funkcji $y_{I}$ i $y_{II}$ przedstawiają się następująco:

Rzvkp6PLWb2Sn

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od 0 do 6 z podziałką co jeden i pionową osią y od 0 do osiemdziesięciu z podziałką co dziesięć. W układzie zaznaczono dwie ukośne półproste. Pierwsza półprosta oznaczona jako y1 przechodzi przez punkty o współrzędnych: nawias zero średnik trzydzieści zamknięcie nawiasu, nawias dwa średnik sześćdziesiąt zamknięcie nawiasu, przy czym pierwszy z punktów jest zaznaczony zamalowaną kropką. Druga półprosta oznaczona jako y2 przechodzi przez punkty o współrzędnych: nawias zero średnik dwadzieścia zamknięcie nawiasu, nawias dwa średnik sześćdziesiąt zamknięcie nawiasu, również tutaj pierwszy punkt jest zaznaczony zmalowaną kropką. Proste przecinają się w punkcie nawias dwa średnik sześćdziesiąt zamknięcie nawiasu.

Przykład 5

Naszkicujemy wykres funkcji liniowej, jeżeli wiadomo, że ten wykres przecina oś $Y$ w punkcie o współrzędnych $(0, - 3)$ , a pole trójkąta ograniczonego prostą, która jest wykresem tej funkcji oraz osiami układu współrzędnych, wynosi $9$ .

Rozwiązanie

Trójkąt opisany w zadaniu jest prostokątny, a jego wysokość wynosi $3$ .

Wykorzystamy wzór na pole trójkąta $P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ .

Wartość $a$ obliczamy z równania:

$9 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 3$ , zatem $a = 6$ .

Zatem do prostej należy punkt o współrzędnych $(- 6, 0)$ lub $(6, 0)$ .

Istnieją dwie proste, które wyznaczają trójkąt opisany w zadaniu:

RB5AualWsr4Fn

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 6 i pionową osią y od minus 6 do dwa. W układzie zaznaczono dwie ukośne proste. Pierwsza prosta o równaniu y=12x−3 przechodzi przez dwa punkty, które zostały zaznaczone zamalowaną kropką, o współrzędnych: nawias zero średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, nawias sześć średnik zero zamknięcie nawiasu. Druga prosta o równaniu y=−12x−3 przechodzi przez dwa punkty, które zaznaczono zamalowaną kropką, o współrzędnych: nawias minus sześć średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias zero średnik minus trzy zamknięcie nawiasu. Proste przecinają się w punkcie nawias zero średnik minus trzy zamknięcie nawiasu.

Słownik

wykres funkcji

zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych $(x, y)$ , gdzie $x$ należy do dziedziny tej funkcji, natomiast $y$ jest wartością funkcji dla argumentu $x$

Wprowadzenie

Aplet

Słownik