Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał
Już wiesz

Funkcja f:XY jest to przyporządkowanie, które każdemu elementowi xX przyporządkowuje dokładnie jeden element yY.

Każdą funkcję, oprócz dziedziny i zbioru wartości, może charakteryzować wiele ciekawych własności. Zaliczamy do nich monotoniczność.

monotoniczność funkcji
Definicja: monotoniczność funkcji

Funkcja jest monotoniczna w całej swojej dziedzinie, gdy jest rosnąca, malejąca, stała, nierosnąca lub niemalejąca.

Omówimy jakie warunki muszą spełniać funkcje monotonicznemonotoniczność funkcjifunkcje monotoniczne.

Funkcja rosnąca

Funkcję liczbową f:XY nazywamy rosnącą w podzbiorze AX wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x1,x2A z nierówności x1<x2 wynika, że fx1<fx2.

Jeśli funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie, to mówimy, że funkcja jest rosnąca.

RvIKC34lv2l6A

Funkcja malejąca

Funkcję liczbową f:XY nazywamy malejącą w podzbiorze AX wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x1,x2A z nierówności x1<x2 wynika, że fx1>fx2.

Jeśli funkcja jest malejąca w całej swojej dziedzinie, to mówimy, że funkcja jest malejąca.

R49pq61OPgvyW

Funkcja stała

Funkcję liczbową f:XY nazywamy stałą w podzbiorze AX wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x1,x2A z nierówności x1<x2 wynika, że fx1=fx2.

Jeśli funkcja jest stała w całej swojej dziedzinie, to mówimy, że funkcja jest stała.

R17JYhRtD8ErP

Funkcja nierosnąca

Funkcję liczbową f:XY nazywamy nierosnącą w podzbiorze AX wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x1,x2A z nierówności x1<x2 wynika, że fx1fx2.

Jeśli funkcja jest nierosnąca w całej swojej dziedzinie, to mówimy, że funkcja jest nierosnąca.

Re8swtdAVWA3a

Funkcja niemalejąca

Funkcję liczbową f:XY nazywamy niemalejącą w podzbiorze AX wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x1,x2A z nierówności x1<x2 wynika, że fx1fx2.

Jeśli funkcja jest niemalejąca w całej swojej dziedzinie, to mówimy, że funkcja jest niemalejąca.

RDqanuUSCE7d4

W poniższych dwóch przykładach przedstawimy przykłady funkcji: pierwsza z nich jest funkcją monotoniczną, druga nie jest funkcją monotoniczną.

Przykład 1

Dana jest funkcja opisana przez zbiór par -3,1,-1,1,0,3,1,5,2,7}. Określimy, czy funkcja jest monotoniczna.

Rozwiązanie:

Ponieważ zachodzi zależność:

f-3=f-1<f0<f1<f2, zatem funkcja jest niemalejąca.

Przykład 2

Sprawdzimy, czy funkcja określona wzorem fx=-x2+1 dla x-3,-1,0,2,3 jest monotoniczna.

Rozwiązanie:

Obliczymy wartości tej funkcji dla podanych argumentów:

f-3=--32+1=-8

f-1=--12+1=0

f0=-02+1=1

f2=-22+1=-3

f3=-32+1=-8

Z otrzymanych kolejnych wartości tej funkcji wynika, że ta funkcja nie jest monotoniczna.

Mając funkcję zadaną wzorem możemy wykazać, że jest monotoniczna. Kolejne kroki w dowodzeniu zostały opisane w poniższych przykładach.

Przykład 3

Wykażemy, że funkcja zadana wzorem fx=-3x+1 jest malejąca.

Rozwiązanie:

Załóżmy, że x1,x2Df oraz x1<x2.

Wtedy fx2-fx1=-3x2+1--3x1+1=-3x2+3x1.

Ponieważ x1<x2, zatem -3x2+3x1=-3x2-x1<0, czyli

fx1>fx2.

Stąd, wobec dowolności x1,x2 wnioskujemy, że funkcja jest malejąca.

Przykład 4

Wykażemy, że funkcja określona wzorem fx=2xx+1 dla x-1,+ jest rosnąca.

Rozwiązanie:

Jeśli -1<x1<x2, to:

fx2-fx1=2x2x2+1-2x1x1+1=2x2x1+1-2x1x2+1x1+1x2+1==2x2-2x1x1+1x2+1=2x2-x1x1+1x2+1>0

ponieważ x2>x1x1+1x2+1>0.

Stąd, wobec dowolności x1x2 wnioskujemy, że funkcja f jest rosnąca.

Niektóre funkcje rozpatrywane w całej swojej dziedzinie nie są monotoniczne, ale są monotoniczne przedziałami.

Przykład 5

Uzasadnimy, że funkcja, której wykres przedstawiono na poniższym rysunku nie jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

R1IJWDURG8lP4

Rozwiązanie:

Z wykresu funkcji możemy odczytać, że dziedziną tej funkcji jest zbiór 0. Na podstawie wykresu wydaje się też, że funkcja jest rosnąca. Jednak okazuje sie, że tak nie jest.

Niech x1=-2 oraz x2=2.

Wtedy fx1=f-2=1>f2=fx2, zatem funkcja nie jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

Zauważmy, że funkcja jest przedziałami monotoniczna i jest rosnąca w każdym z przedziałów -,0 oraz 0,.

Słownik

monotoniczność funkcji
monotoniczność funkcji

własność funkcji, która określa zmianę wartości tej funkcji wraz ze wzrostem argumentów