Funkcja jest to przyporządkowanie, które każdemu elementowi przyporządkowuje dokładnie jeden element .
Każdą funkcję, oprócz dziedziny i zbioru wartości, może charakteryzować wiele ciekawych własności. Zaliczamy do nich monotoniczność.
monotoniczność funkcji
Definicja: monotoniczność funkcji
Funkcja jest monotoniczna w całej swojej dziedzinie, gdy jest rosnąca, malejąca, stała, nierosnąca lub niemalejąca.
Omówimy jakie warunki muszą spełniać funkcje monotonicznemonotoniczność funkcjifunkcje monotoniczne.
Funkcja rosnąca
Funkcję liczbową nazywamy rosnącą w podzbiorze wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów z nierówności wynika, że .
Jeśli funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie, to mówimy, że funkcja jest rosnąca.
RvIKC34lv2l6A
Funkcja malejąca
Funkcję liczbową nazywamy malejącą w podzbiorze wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów z nierówności wynika, że .
Jeśli funkcja jest malejąca w całej swojej dziedzinie, to mówimy, że funkcja jest malejąca.
R49pq61OPgvyW
Funkcja stała
Funkcję liczbową nazywamy stałą w podzbiorze wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów z nierówności wynika, że .
Jeśli funkcja jest stała w całej swojej dziedzinie, to mówimy, że funkcja jest stała.
R17JYhRtD8ErP
Funkcja nierosnąca
Funkcję liczbową nazywamy nierosnącą w podzbiorze wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów z nierówności wynika, że .
Jeśli funkcja jest nierosnąca w całej swojej dziedzinie, to mówimy, że funkcja jest nierosnąca.
Re8swtdAVWA3a
Funkcja niemalejąca
Funkcję liczbową nazywamy niemalejącą w podzbiorze wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów z nierówności wynika, że .
Jeśli funkcja jest niemalejąca w całej swojej dziedzinie, to mówimy, że funkcja jest niemalejąca.
RDqanuUSCE7d4
W poniższych dwóch przykładach przedstawimy przykłady funkcji: pierwsza z nich jest funkcją monotoniczną, druga nie jest funkcją monotoniczną.
Przykład 1
Dana jest funkcja opisana przez zbiór par . Określimy, czy funkcja jest monotoniczna.
Rozwiązanie:
Ponieważ zachodzi zależność:
, zatem funkcja jest niemalejąca.
Przykład 2
Sprawdzimy, czy funkcja określona wzorem dla jest monotoniczna.
Rozwiązanie:
Obliczymy wartości tej funkcji dla podanych argumentów:
Z otrzymanych kolejnych wartości tej funkcji wynika, że ta funkcja nie jest monotoniczna.
Mając funkcję zadaną wzorem, możemy wykazać, że jest monotoniczna. Kolejne kroki w dowodzeniu zostały opisane w poniższych przykładach.
Przykład 3
Wykażemy, że funkcja zadana wzorem jest malejąca.
Rozwiązanie:
Załóżmy, że oraz .
Wtedy .
Ponieważ , zatem , czyli
.
Stąd, wobec dowolności wnioskujemy, że funkcja jest malejąca.
Przykład 4
Wykażemy, że funkcja określona wzorem dla jest rosnąca.
Rozwiązanie:
Jeśli , to:
,
ponieważ i .
Stąd, wobec dowolności i wnioskujemy, że funkcja jest rosnąca.
Niektóre funkcje rozpatrywane w całej swojej dziedzinie nie są monotoniczne, ale są monotoniczne przedziałami.
Przykład 5
Uzasadnimy, że funkcja, której wykres przedstawiono na poniższym rysunku, nie jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.
R1IJWDURG8lP4
Rozwiązanie:
Z wykresu funkcji możemy odczytać, że dziedziną tej funkcji jest zbiór . Na podstawie wykresu wydaje się też, że funkcja jest rosnąca. Jednak okazuje sie, że tak nie jest.
Niech oraz .
Wtedy , zatem funkcja nie jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.
Zauważmy, że funkcja jest przedziałami monotoniczna i jest rosnąca w każdym z przedziałów oraz .
Słownik
monotoniczność funkcji
monotoniczność funkcji
własność funkcji, która określa zmianę wartości tej funkcji wraz ze wzrostem argumentów