Każdą funkcję, oprócz dziedziny i zbioru wartości, może charakteryzować wiele ciekawych własności. Zaliczamy do nich monotoniczność.

Omówimy jakie warunki muszą spełniać funkcje monotonicznemonotoniczność funkcjifunkcje monotoniczne.

Funkcja rosnąca

Funkcję liczbową $f:X\to Y$ nazywamy rosnącą w podzbiorze $A\subset X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów $x_1,x_2\in A$ z nierówności $x_1<x_2$ wynika, że $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$.

Jeśli funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie, to mówimy, że funkcja jest rosnąca.

RvIKC34lv2l6A

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Na płaszczyźnie narysowano wykres rosnącej funkcji będący krzywą w kształcie litery S. Wykres ten przebiega przez trzecią, drugą i pierwszą ćwiartkę. Na wykresie wyróżniono zamalowanymi kółkami dwa punkty i zrzutowano je na obie osie. Punkt pierwszy znajduje się w drugiej ćwiartce i ma współrzędne $\left(x_1;f\left(x_1\right)\right)$, przy czym współrzędna $x_1$ zrzutowana jest za pomocą pionowej przerywanej linii biegnącej od punktu do ujemnej półosi OX, a współrzędna $f\left(x_1\right)$ zrzutowana jest za pomocą poziomej linii biegnącej od punktu do dodatniej półosi OY. Punkt drugi znajduje się w pierwszej ćwiartce i ma współrzędne $\left(x_2;f\left(x_2\right)\right)$, przy czym współrzędna $x_2$ zrzutowana jest za pomocą pionowej przerywanej linii biegnącej od punktu do dodatniej półosi OX, a współrzędna $f\left(x_2\right)$ zrzutowana jest za pomocą poziomej linii biegnącej od punktu do dodatniej półosi OY. Relacje między wpółrzędnymi punktów są natępujące: argumenty: $x_1<x_2$ oraz wartości: $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$.

Funkcja malejąca

Funkcję liczbową $f:X\to Y$ nazywamy malejącą w podzbiorze $A\subset X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów $x_1,x_2\in A$ z nierówności $x_1<x_2$ wynika, że $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Jeśli funkcja jest malejąca w całej swojej dziedzinie, to mówimy, że funkcja jest malejąca.

R49pq61OPgvyW

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Na płaszczyźnie narysowano wykres malejącej funkcji będący krzywą w kształcie litery odwrócownej litery S. Wykres ten przebiega przez drugą, pierwszą i czwartą ćwiartkę. Na wykresie wyróżniono zamalowanymi kółkami dwa punkty i zrzutowano je na obie osie. Punkt pierwszy znajduje się w drugiej ćwiartce i ma współrzędne $\left(x_1;f\left(x_1\right)\right)$, przy czym współrzędna $x_1$ zrzutowana jest za pomocą pionowej przerywanej linii biegnącej od punktu do ujemnej półosi OX, a współrzędna $f\left(x_1\right)$ zrzutowana jest za pomocą poziomej linii biegnącej od punktu do dodatniej półosi OY. Punkt drugi znajduje się w czwartej ćwiartce i ma współrzędne $\left(x_2;f\left(x_2\right)\right)$, przy czym współrzędna $x_2$ zrzutowana jest za pomocą pionowej przerywanej linii biegnącej od punktu do dodatniej półosi OX, a współrzędna $f\left(x_2\right)$ zrzutowana jest za pomocą poziomej linii biegnącej od punktu do ujemnej półosi OY. Relacje między wpółrzędnymi punktów są natępujące: argumenty: $x_1<x_2$ oraz wartości: $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Funkcja stała

Funkcję liczbową $f:X\to Y$ nazywamy stałą w podzbiorze $A\subset X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów $x_1,x_2\in A$ z nierówności $x_1<x_2$ wynika, że $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$.

Jeśli funkcja jest stała w całej swojej dziedzinie, to mówimy, że funkcja jest stała.

R17JYhRtD8ErP

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Na płaszczyźnie narysowano wykres stałej funkcji będący poziomą prostą. Wykres ten przebiega przez drugą i pierwszą ćwiartkę. Na wykresie wyróżniono zamalowanymi kółkami dwa punkty i zrzutowano je na obie osie. Punkt pierwszy znajduje się w drugiej ćwiartce i ma współrzędne $\left(x_1;f\left(x_1\right)\right)$, przy czym współrzędna $x_1$ zrzutowana jest za pomocą pionowej przerywanej linii biegnącej od punktu do ujemnej półosi OX, a współrzędna $f\left(x_1\right)$ zrzutowana jest za pomocą poziomej linii biegnącej od punktu do dodatniej półosi OY. Punkt drugi znajduje się w pierwszej ćwiartce i ma współrzędne $\left(x_2;f\left(x_2\right)\right)$, przy czym współrzędna $x_2$ zrzutowana jest za pomocą pionowej przerywanej linii biegnącej od punktu do dodatniej półosi OX, a współrzędna $f\left(x_2\right)$ zrzutowana jest za pomocą poziomej linii biegnącej od punktu do dodatniej półosi OY. Relacje między wpółrzędnymi punktów są natępujące: argumenty: $x_1<x_2$ oraz wartości: $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$.

Funkcja nierosnąca

Funkcję liczbową $f:X\to Y$ nazywamy nierosnącą w podzbiorze $A\subset X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów $x_1,x_2\in A$ z nierówności $x_1<x_2$ wynika, że $f\left(x_1\right)\ge f\left(x_2\right)$.

Jeśli funkcja jest nierosnąca w całej swojej dziedzinie, to mówimy, że funkcja jest nierosnąca.

Re8swtdAVWA3a

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Na płaszczyźnie narysowano wykres nierosnącej funkcji. Od minus nieskończoności wykres jest poziomą półprostą o końcu w drugiej ćwiartce. Koniec ten jest również końcem ukośnej półprostej, która jest dalszą częścią wykresu i biegnie przez kawałek drugiej, pierwszej i czwartej ćwiartki. Na wykresie wyróżniono zamalowanymi kółkami dwa punkty i zrzutowano je na obie osie. Punkt pierwszy znajduje się w drugiej ćwiartce na poziomej półprostej i ma współrzędne $\left(x_1;f\left(x_1\right)\right)$, przy czym współrzędna $x_1$ zrzutowana jest za pomocą pionowej przerywanej linii biegnącej od punktu do ujemnej półosi OX, a współrzędna $f\left(x_1\right)$ zrzutowana jest za pomocą poziomej linii biegnącej od punktu do dodatniej półosi OY. Punkt drugi znajduje się na ukośnej półprostej, jest położony w czwartej ćwiartce i ma współrzędne $\left(x_2;f\left(x_2\right)\right)$, przy czym współrzędna $x_2$ zrzutowana jest za pomocą pionowej przerywanej linii biegnącej od punktu do dodatniej półosi OX, a współrzędna $f\left(x_2\right)$ zrzutowana jest za pomocą poziomej linii biegnącej od punktu do ujemnej półosi OY. Relacje między wpółrzędnymi punktów są natępujące: argumenty: $x_1<x_2$ oraz wartości: $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Funkcja niemalejąca

Funkcję liczbową $f:X\to Y$ nazywamy niemalejącą w podzbiorze $A\subset X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów $x_1,x_2\in A$ z nierówności $x_1<x_2$ wynika, że $f\left(x_1\right)\le f\left(x_2\right)$.

Jeśli funkcja jest niemalejąca w całej swojej dziedzinie, to mówimy, że funkcja jest niemalejąca.

RDqanuUSCE7d4

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Na płaszczyźnie narysowano wykres niemalejącej funkcji. Od minus nieskończoności wykres jest poziomą półprostą o końcu w trzeciej ćwiartce. Koniec ten jest również końcem ukośnej półprostej, która jest dalszą częścią wykresu i biegnie przez kawałek trzeciej, przez początek ukłądu współrzędnych i dalej przez pierwszą ćwiartkę układu. Na wykresie wyróżniono zamalowanymi kółkami dwa punkty i zrzutowano je na obie osie. Punkt pierwszy znajduje się w trzeciej ćwiartce na poziomej półprostej i ma współrzędne $\left(x_1;f\left(x_1\right)\right)$, przy czym współrzędna $x_1$ zrzutowana jest za pomocą pionowej przerywanej linii biegnącej od punktu do ujemnej półosi OX, a współrzędna $f\left(x_1\right)$ zrzutowana jest za pomocą poziomej linii biegnącej od punktu do ujemnej półosi OY. Punkt drugi znajduje się na ukośnej półprostej, jest położony w pierwszej ćwiartce i ma współrzędne $\left(x_2;f\left(x_2\right)\right)$, przy czym współrzędna $x_2$ zrzutowana jest za pomocą pionowej przerywanej linii biegnącej od punktu do dodatniej półosi OX, a współrzędna $f\left(x_2\right)$ zrzutowana jest za pomocą poziomej linii biegnącej od punktu do dodatniej półosi OY. Relacje między wpółrzędnymi punktów są natępujące: argumenty: $x_1<x_2$ oraz wartości: $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$.

W poniższych dwóch przykładach przedstawimy przykłady funkcji: pierwsza z nich jest funkcją monotoniczną, druga nie jest funkcją monotoniczną.

Mając funkcję zadaną wzorem, możemy wykazać, że jest monotoniczna. Kolejne kroki w dowodzeniu zostały opisane w poniższych przykładach.

Niektóre funkcje rozpatrywane w całej swojej dziedzinie nie są monotoniczne, ale są monotoniczne przedziałami.

Przykład 5

Uzasadnimy, że funkcja, której wykres przedstawiono na poniższym rysunku, nie jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

R1IJWDURG8lP4

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Na płaszczyźnie narysowano wykres y równa się minus jeden przez x, który położony jest w w drugiej i w czwartej ćwiartce. Wykres w ćwiartce drugiej przyjmuje postać łuku o wybrzuszeniu w kierunku początku układu współrzędnych i o nieskończonych ramionach, które wypłaszczają się przy ujemnej półosi OX i dodatniej półosi OY. Wykres w ćwiartce czwartej również przyjmuje postać łuku o wybrzuszeniu w kierunku początku układu współrzędnych i o nieskończonych ramionach, które wypłaszczają się przy ujemnej półosi OY i dodatniej półosi OX.

Rozwiązanie:

Z wykresu funkcji możemy odczytać, że dziedziną tej funkcji jest zbiór $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$. Na podstawie wykresu wydaje się też, że funkcja jest rosnąca. Jednak okazuje sie, że tak nie jest.

Niech $x_1=-2$ oraz $x_2=2$.

Wtedy $f\left(x_1\right)=f\left(-2\right)=1>f\left(2\right)=f\left(x_2\right)$, zatem funkcja nie jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

Zauważmy, że funkcja jest przedziałami monotoniczna i jest rosnąca w każdym z przedziałów $\left(-\infty ,0\right)$ oraz $\left(0,\infty \right)$.

Słownik