Warto przeczytać

Opisując elektromagnetyzm należy wspomnieć o tzw. równaniach Maxwella. To cztery podstawowe równania elektromagnetyzmu, opisujące pole elektryczne i magnetyczne. Są to:

• prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya,

• prawo Ampera,

• prawo Gaussa dla pola elektrycznego,

• prawo Gaussa dla pola magnetycznego.

W tym e‑materiale zajmiemy się prawem Gaussa dla pola elektrycznego.

Na początek wyobraźmy sobie pewną powierzchnię $S$, przez którą przenika pole elektryczne $\overrightarrow{E}$.

R1cit730TJALh

Rys. 1. Na rysunku przedstawiono powierzchnię o nieregularnym, prostokątnym kształcie, w kolorze niebieskim. Powierzchnia oznaczona jest wielką literą S. Przez powierzchnię przebijają strzałki symbolizujące linie pola elektrycznego. Są one poziome, równoległe do siebie i umieszczone w pionie w jednakowych odstępach względem siebie. Obok strzałek zapisano oznaczenie wielka litera E. Nad literą E zaznaczono symbol wektora.

Rozpatrzmy pewien niewielki fragment tej powierzchni $\Delta S$, dobrany tak, aby był on płaski.

RIPdYsn3r8mUj

Rys. 2. Rysunek składa się z dwóch części. Po lewej stronie widoczny jest rysunek bardzo podobny do rysunku 1. Jedyna różnica polega na tym, że w obszarze nieregularnego prostokąta narysowany drugi, mniejszy, w kolorze czerwonym. Mniejszy prostokąt ma już regularny kształt. Po prawej stronie przedstawiono powiększenie obszaru tego prostokąta, linie pola przecinają jego powierzchnię, lecz nie prostopadle. Prostokąt jest nieco obrócony względem linii.

Wprowadźmy teraz nową wielkość, jaką jest wektor powierzchni. Wektor powierzchni jest to wektor o wartości równej polu powierzchni i kierunku prostopadłym do niej, w przypadku zamkniętej powierzchni, zwrot tego wektora jest skierowany na zewnątrz. Wektor ten wyznaczamy jako iloczyn pola powierzchni oraz wektora jednostkowego $\overrightarrow{n}$, który jest do niej prostopadły:

Jeśli przez pewną powierzchnię $\Delta S$, opisaną za pomocą wektora powierzchni $\Delta \overrightarrow{S}$, przenika pole elektryczne $\overrightarrow{E}$, to możemy zdefiniować strumień natężenia pola elektrycznegonatężenie pola elektrycznegonatężenia pola elektrycznego $\Phi_E$ przenikającego przez tę powierzchnię:

Strumień natężenia pola jest wielkością skalarną. Jego wartość zależy nie tylko od wektora natężenia pola i wektora powierzchni, ale też od kąta między nimi. Strumień natężenia pola zdefiniowany jest jako iloczyn skalarny, możemy zatem go przedstawić jako iloczyn wartości wektora natężenia pola, wartości wektora powierzchni oraz cosinusa kąta między nimi:

RHPGlW2ZgvVYz

Rys. 3. Rysunek składa się z trzech części. W każdej przedstawiono prostokąt i linie pola elektrycznego (symbolizowane przez czarne strzałki) przebijające powierzchnię prostokąta. Na każdym rysunku widoczny jest także wektor powierzchni oznaczony czerwoną strzałką wychodzącą z powierzchni i prostopadłą do niej. Linie pola elektrycznego opisane są wielką literą E z symbolem wektora nad nią. Wektor powierzchni oznaczony jest jako Delta S, gdzie Delta jest wielką grecką literą wyglądającą jak trójkąt. Nad literą S znajduje się symbol wektora. W pierwszej części rysunku po lewej stronie, linie pola są prostopadłe do powierzchni prostokąta, a zatem równoległe do wektora powierzchni. Ta część jest opisana pod prostokątem jako alfa równa się zero, gdzie alfa jest kątem między wektorami. W drugiej, środkowej części, kąt między liniami pola a wektorem powierzchni jest większy od zera, ale mniejszy od 90 stopni. Kąt ten zaznaczono na rysunku i opisano jako alfa. Alfa jest grecką literą podobną do małej literki a. Powierzchnia jest zatem ustawiona skośnie do linii pola. Pod rysunkiem zapisano wyrażenie matematyczne alfa większa od zera i jednocześnie mniejsza od 90 stopni. W trzeciej, prawej części rysunku, kąt między liniami pola a wektorem powierzchni jest równy 90 stopni. Oznacza to, że linie pola są równoległe do powierzchni. W tym przypadku powierzchnię przedstawiono jako stojący prostokąt. Linie pola są skierowane pionowo w dół, równolegle do powierzchni. Wektor powierzchni jest skierowany poziomo w prawo. Pod rysunkiem zapisano alfa równa się dziewięćdziesiąt stopni.

Jeśli wektor natężenia pola jest równoległy do wektora powierzchni (Rys. 3. - po lewej), to kąt $\alpha$ = 0°, a cos0° = 1. Wtedy wzór na strumień natężenia pola możemy zapisać jako:

Linie pola przebijają powierzchnię pod kątem prostym.  W tym przypadku strumień jest maksymalny.

Jeśli wektor natężenia pola jest prostopadły do wektora powierzchni (Rys. 3. - po prawej), to kąt $\alpha$ = 90°, a cos90° = 0. Oznacza to, że linie pola elektrycznego ślizgają się po powierzchni. Wtedy wartość strumienia natężenia pola wynosi zero.

W pozostałych przypadkach

Dla kątów $0°<\alpha <90°$ wartość strumienia zawiera się między wartością minimalną a maksymalną.

Pole elektryczne jest polem źródłowym. Strumień natężenia pola jest powiązany z jego źródłem, to znaczy z ładunkiem. Mówi o tym prawo Gaussa:

Strumień $\Phi_E$ natężenia pola elektrycznego $\overrightarrow{E}$ przenikający przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równy sumarycznemu ładunkowi $q$ wewnątrz tej powierzchni podzielonemu przez przenikalność elektryczną próżni $\varepsilon_{0}$:

Wybraną przez nas powierzchnię, przez którą wyznaczamy strumień natężenia pola elektrycznego, nazywamy powierzchnią Gaussa. Jest to powierzchnia umowna, jej kształt dobieramy w zależności od kształtu źródła (np. dla źródła punktowego – sfera, jeśli źródłem jest naładowany pręt – powierzchnia Gaussa będzie miała kształt walca) tak, aby wektor natężenia był prostopadły do tej powierzchni.

RTG0dSwxvWm99

Rys. 4. Na rysunku przedstawiono kulę, w środku której znajduje się ładunek dodatni, przedstawiony w formie małej kulki ze znakiem plus w środku. Duża kula opisana jest jako powierzchnia Gaussa. Ładunek jest opisany literą q. Przerywaną linią zaznaczoną promień kuli i zaznaczono go literą r. W innym miejscu poprowadzono drugi promień. W miejscu, gdzie linia promienia dotyka powierzchni kuli zaznaczono mały, zakrzywiony kwadrat, symbolizujący fragment powierzchni kuli. Prostopadle do powierzchni kwadratu na zewnątrz wychodzą dwie równoległe do siebie strzałki. Jedna symbolizuje linię pola elektrycznego od ładunku znajdującego się w środku kuli i jest oznaczona wielką literą E z symbolem wektora. Druga strzałka przedstawia wektor powierzchni kwadratu i jest oznaczona jako Delta S, gdzie Delta jest wielką grecką literą wyglądającą jak trójkąt. Nad literą S znajduje się symbol wektora.

Rr4ymLiNibAtA

Rys. 5. W środku rysunku znajduje się pręt naładowany ładunkiem dodatnim. Pręt przedstawiony jest jako walec o bardzo małym promieniu i dużej wysokości. W środku walca znajdują się równomiernie rozłożone koła ze znakiem plus w środku. Wokół walca pręta narysowany drugi walec o większym promieniu w ten sposób, że pręt znajduje się w środku dużego walca. Na powierzchni dużego walca zaznaczono fragment jego powierzchni, będący zakrzywionym prostokątem. Prostopadle do powierzchni prostokąta na zewnątrz wychodzą dwie równoległe do siebie strzałki. Jedna symbolizuje linię pola elektrycznego od ładunku znajdującego się w środku kuli i jest oznaczona wielką literą E z symbolem wektora. Druga strzałka przedstawia wektor powierzchni prostokąta i jest oznaczona jako Delta S, gdzie Delta jest wielką grecką literą wyglądającą jak trójkąt. Nad literą S znajduje się symbol wektora.

Prawo Gaussa jest rozszerzoną wersją prawa Coulombaprawo Coulombaprawa Coulomba. Spróbujmy więc wyprowadzić prawo Coulomba z prawa Gaussa dla ładunku punktowegoładunek punktowyładunku punktowego.

Rozpatrzmy przykład ładunku punktowego.

Wybierzmy więc powierzchnię otaczającą ładunek punktowy, dla której policzymy strumień natężenia pola elektrycznego. Jak już wspomniano dla ładunku punktowego najlepszym kształtem takiej powierzchni jest sfera, ponieważ, w każdym jej punkcie wektor natężenia jest prostopadły do tej powierzchni (Rys. 4.).

Dzielimy tę sferę na mniejsze fragmenty powierzchni $\Delta S$, na tyle małe, że są one w przybliżeniu płaskie, a następnie obliczamy strumień pola elektrycznego dla każdej z tych powierzchni

Sumujemy wartości strumieni od każdego z fragmentów powierzchni

Otrzymamy wynik podstawiamy do wzoru opisującego prawo Gaussa

Ponieważ wektor natężenia centralnego pola elektrycznego $\overrightarrow{E}$, pochodzącego od ładunku wewnątrz sfery, oraz wektory powierzchni $\mathrm{\Delta }{\overrightarrow{S}}_i$ są do siebie równoległe, to ich iloczyn skalarny możemy zapisać jako: $E·\mathrm{\Delta }{S}_i$. Otrzymujemy równanie:

Ponieważ natężenie pola jest stałe, możemy zapisać, że:

Wiemy, że zsumowanie wszystkich małych elementów powierzchni, musi dać nam całkowitą powierzchnię sfery, czyli:

A więc:

Na tej podstawie możemy wyznaczyć siłę, jaką ładunek $q$ działa na ładunek próbny $q$’. Ponieważ siła ta jest równa iloczynowi wartości natężenia pola działającego na ładunek próbny oraz wartości tego ładunku, to:

Widzimy, że korzystając z prawa Gaussa wyprowadziliśmy prawo Coulomba i to było celem tego zadania.

Słowniczek