Opisując elektromagnetyzm należy wspomnieć o tzw. równaniach Maxwella. To cztery podstawowe równania elektromagnetyzmu, opisujące pole elektryczne i magnetyczne. Są to:
prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya,
prawo Ampera,
prawo Gaussa dla pola elektrycznego,
prawo Gaussa dla pola magnetycznego.
W tym e‑materiale zajmiemy się prawem Gaussa dla pola elektrycznego.
Na początek wyobraźmy sobie pewną powierzchnię , przez którą przenika pole elektryczne .
R1cit730TJALh
Rozpatrzmy pewien niewielki fragment tej powierzchni , dobrany tak, aby był on płaski.
RIPdYsn3r8mUj
Wprowadźmy teraz nową wielkość, jaką jest wektor powierzchni. Wektor powierzchni jest to wektor o wartości równej polu powierzchni i kierunku prostopadłym do niej, w przypadku zamkniętej powierzchni, zwrot tego wektora jest skierowany na zewnątrz. Wektor ten wyznaczamy jako iloczyn pola powierzchni oraz wektora jednostkowego , który jest do niej prostopadły:
Jeśli przez pewną powierzchnię , opisaną za pomocą wektora powierzchni , przenika pole elektryczne , to możemy zdefiniować strumień natężenia pola elektrycznegonatężenie pola elektrycznegonatężenia pola elektrycznego przenikającego przez tę powierzchnię:
Strumień natężenia pola jest wielkością skalarną. Jego wartość zależy nie tylko od wektora natężenia pola i wektora powierzchni, ale też od kąta między nimi. Strumień natężenia pola zdefiniowany jest jako iloczyn skalarny, możemy zatem go przedstawić jako iloczyn wartości wektora natężenia pola, wartości wektora powierzchni oraz cosinusa kąta między nimi:
RHPGlW2ZgvVYz
Jeśli wektor natężenia pola jest równoległy do wektora powierzchni (Rys. 3. - po lewej), to kąt = 0°, a cos0° = 1. Wtedy wzór na strumień natężenia pola możemy zapisać jako:
Linie pola przebijają powierzchnię pod kątem prostym. W tym przypadku strumień jest maksymalny.
Jeśli wektor natężenia pola jest prostopadły do wektora powierzchni (Rys. 3. - po prawej), to kąt = 90°, a cos90° = 0. Oznacza to, że linie pola elektrycznego ślizgają się po powierzchni. Wtedy wartość strumienia natężenia pola wynosi zero.
W pozostałych przypadkach
Dla kątów wartość strumienia zawiera się między wartością minimalną a maksymalną.
Pole elektryczne jest polem źródłowym. Strumień natężenia pola jest powiązany z jego źródłem, to znaczy z ładunkiem. Mówi o tym prawo Gaussa:
Strumień natężenia pola elektrycznego przenikający przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równy sumarycznemu ładunkowi wewnątrz tej powierzchni podzielonemu przez przenikalność elektryczną próżni :
Wybraną przez nas powierzchnię, przez którą wyznaczamy strumień natężenia pola elektrycznego, nazywamy powierzchnią Gaussa. Jest to powierzchnia umowna, jej kształt dobieramy w zależności od kształtu źródła (np. dla źródła punktowego – sfera, jeśli źródłem jest naładowany pręt – powierzchnia Gaussa będzie miała kształt walca) tak, aby wektor natężenia był prostopadły do tej powierzchni.
RTG0dSwxvWm99
Rr4ymLiNibAtA
Prawo Gaussa jest rozszerzoną wersją prawa Coulombaprawo Coulombaprawa Coulomba. Spróbujmy więc wyprowadzić prawo Coulomba z prawa Gaussa dla ładunku punktowegoładunek punktowyładunku punktowego.
Rozpatrzmy przykład ładunku punktowego.
Wybierzmy więc powierzchnię otaczającą ładunek punktowy, dla której policzymy strumień natężenia pola elektrycznego. Jak już wspomniano dla ładunku punktowego najlepszym kształtem takiej powierzchni jest sfera, ponieważ, w każdym jej punkcie wektor natężenia jest prostopadły do tej powierzchni (Rys. 4.).
Dzielimy tę sferę na mniejsze fragmenty powierzchni , na tyle małe, że są one w przybliżeniu płaskie, a następnie obliczamy strumień pola elektrycznego dla każdej z tych powierzchni
Sumujemy wartości strumieni od każdego z fragmentów powierzchni
Otrzymamy wynik podstawiamy do wzoru opisującego prawo Gaussa
Ponieważ wektor natężenia centralnego pola elektrycznego , pochodzącego od ładunku wewnątrz sfery, oraz wektory powierzchni są do siebie równoległe, to ich iloczyn skalarny możemy zapisać jako: . Otrzymujemy równanie:
Ponieważ natężenie pola jest stałe, możemy zapisać, że:
Wiemy, że zsumowanie wszystkich małych elementów powierzchni, musi dać nam całkowitą powierzchnię sfery, czyli:
A więc:
Na tej podstawie możemy wyznaczyć siłę, jaką ładunek działa na ładunek próbny ’. Ponieważ siła ta jest równa iloczynowi wartości natężenia pola działającego na ładunek próbny oraz wartości tego ładunku, to:
Widzimy, że korzystając z prawa Gaussa wyprowadziliśmy prawo Coulomba i to było celem tego zadania.
Słowniczek
Natężenie pola elektrycznego
Natężenie pola elektrycznego
(ang.: electric intensity) - wielkość wektorowa, opisująca pole elektryczne, równa sile działającej na jednostkowy dodatni ładunek próbny.
Ładunek punktowy
Ładunek punktowy
(ang.: point charge) - punkt materialny obdarzony ładunkiem elektrycznym. Teoretycznie ładunek punktowy ma nieskończenie małe rozmiary. Jako ładunki punktowe możemy traktować ciała naładowane, których rozmiary są bardzo małe w porównaniu z ich odległością do innych ciał i rozmiarami tych ciał.
Prawo Coulomba
Prawo Coulomba
(ang.: Coulomb's law) - Wartość siły wzajemnego oddziaływania dwóch ładunków punktowych jest proporcjonalna do iloczynu ładunków, a odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi.
gdzie oznacza stałą elektrostatyczną, a jest odległością między ładunkami i ; , gdzie to przenikalność elektryczna próżni.