Przeczytaj
Na wstępie przypomnimy definicję potęgi o wykładniku naturalnym.
Potęgą liczby rzeczywistej o wykładniku naturalnymPotęgą liczby rzeczywistej o wykładniku naturalnym nazywamy liczbę:
Liczbę nazywamy podstawą potęgi. Ponadto przyjmujemy, że dla każdej liczby rzeczywistej:
oraz dla :
Konwencja, według której dla liczba jest równa , w tym momencie może się jeszcze wydawać nieco sztuczna. Uzasadnimy ją w trakcie dalszej nauki.
oraz
oraz
W kolejnych przykładach przypomnimy, jak wykonujemy działania na potęgach o tej samej podstawie.
Pomnożymy liczby oraz .
Korzystając z definicji potęgi o wykładniku naturalnym, mamy:
.
Podzielimy:
liczbę przez
liczbę przez
Ponownie korzystamy z definicji potęgi o wykładniku naturalnym, skąd dostajemy:
Podniesiemy liczbę do potęgi trzeciej.
Znów, korzystając z definicji potęgi o wykładniku naturalnym, otrzymujemy:
.
W następnych przykładach przypomnimy, jak przekształcać wyrażenia, które dadzą się zapisać w postaci iloczynu lub ilorazu potęg o tych samych wykładnikach (tym razem podstawy potęg nie muszą być równe).
Obliczymy, ile cyfr ma zapis dziesiętny iloczynu .
Doprowadzimy podany iloczyn do postaci potęgi liczby :
.
Zatem zapis dziesiętny iloczynu ma cyfr.
Wykażemy, że iloraz jest liczbą całkowitą.
Przekształcamy zadany iloraz wykorzystując własności działań na potęgach:
.
Otrzymana liczba jest, oczywiście, całkowita (a jej zapis dziesiętny to ).
Uogólniając rozumowania z powyższych przykładów, można uzasadnić wzory podane poniżej.
Dla dowolnych liczb rzeczywistych i oraz dowolnych dodatnich liczb całkowitych i prawdziwe są wzory:
Zapis wielkich liczb z wykorzystaniem potęg liczby jest wygodny, ponieważ od razu informuje nas o tym, iloma zerami zakończony jest zapis dziesiętny danej liczby. W ten sposób możemy zapisać np. liczby używane w fizyce:
w szklance wody jest około cząsteczek
widoczna część Wszechświata ma objętość około kilometrów sześciennych
Ponieważ podstawowym systemem, w którym przeprowadzamy obliczenia jest system dziesiętny, więc do oszacowania rzędu obliczanych wielkości również stosuje się zapis z wykorzystaniem potęg liczby - jest to tzw. notacja wykładniczanotacja wykładnicza.
Jeśli liczba jest zapisana w postaci:
gdzie jest liczbą spełniającą nierówność , natomiast jest liczbą całkowitą, to mówimy, że liczba jest zapisana w notacji wykładniczej.
Mówimy wtedy, że liczba jest rzędu .
Magda tworzy model Układu Słonecznego, w którym Ziemia jest wielkości grejpfruta o średnicy . Jak duża powinna być w modelu Magdy kulka przedstawiająca Księżyc?
Obliczmy, ile razy średnica Ziemi jest większa od średnicy Księżyca:
.
Zatem aby proporcje w modelu zostały zachowane, średnica kulki będącej modelem Księżyca musi być razy mniejsza od średnicy grejpfruta, to znaczy powinna mieć około . Wobec tego model Księżyca powinien być wielkości piłeczki do ping‑ponga.
Wiedząc, że w modelu Magdy kulka przedstawiająca Ziemię jest wielkości grejpfruta obliczymy, w jakiej odległości od niej powinna znajdować się kulka wielkości piłeczki pingpongowej, która jest modelem Księżyca.
Obliczmy, ile razy odległość Ziemi od Księżyca jest większa od średnicy Ziemi:
.
A zatem piłeczka pingpongowa powinna być odległa od grejpfruta obrazującego Ziemię o około , tj. niemal o .
Astronomowie do opisywania odległości obiektów, zwłaszcza tych, które znajdują się w przestrzeni międzygwiezdnej, używają jednostki nazywanej parsekiem (w skrócie oznaczanym ). Przyjęto, że parsek to około .
Proxima Centauri, gwiazda najbliższa Słońcu, jest od niego oddalona o
Obliczymy, w jakiej odległości od kuli przedstawiającej Słońce powinien znajdować się w modelu Magdy model tej gwiazdy.
Obliczmy, ile razy odległość Słońca od Proximy Centauri jest większa od średnicy Ziemi:
Oznacza to, że gdyby Magda próbowała odnieść swój model do odległości obiektów z przestrzeni międzygwiezdnej, to odległość między Słońcem i Proximą Centauri byłaby wtedy w przybliżeniu równa
czyli około
Otrzymana odległość jest ponad
Odnotujmy na zakończenie ważne twierdzenie, z którego często korzystamy przy porównywaniu liczb rzeczywistych.
Dane są dwie liczby rzeczywiste
Porównamy liczby
Mamy:
a ponieważ
Wykażemy, że liczba
Mamy wykazać, że prawdziwe są dwie nierówności:
(1)
(2)
Przekształcamy równoważnie pierwszą nierówność:
Wynika stąd, że pierwsza nierównośc jest prawdziwa.
Teraz przekształcamy równoważnie drugą nierówność:
Na podstawie powyższego twierdzenia o porównywaniu potęg stwierdzamy, że:
ponieważ
, więc19 8 = 2 3 8 > 2 ,19 8 25 > 2 25
ponieważ
, więc2 > 1 ; ponadto2 16 > 1 16 = 1 , co oznacza, że2 9 > 512 > 296 .2 25 > 296
Wobec tego
czyli prawdziwa jest także druga nierówność.
W ten sposób udowodniliśmy, że liczba
Słownik
potęgą liczby rzeczywistej
Liczbę
jeśli liczba
Mówimy też wtedy, że liczba