Na wstępie przypomnimy definicję potęgi o wykładniku naturalnym.

potęga o wykładniku naturalnym
Definicja: potęga o wykładniku naturalnym

Potęgą liczby rzeczywistej awykładniku naturalnympotęga liczby rzeczywistej o wykładniku naturalnymPotęgą liczby rzeczywistej awykładniku naturalnym n2 nazywamy liczbę:

an=a·a·...·an  czynników.

Liczbę a nazywamy podstawą potęgi. Ponadto przyjmujemy, że dla każdej liczby rzeczywistej:

a1=a

oraz dla a0:

a0=1.

Konwencja, według której dla a0 liczba a0 jest równa 1, w tym momencie może się jeszcze wydawać nieco sztuczna. Uzasadnimy ją w trakcie dalszej nauki.

Przykład 1
  1. 104=10·10·10·10=10000

  2. -123=-12·-12·-12=-18

  3. 81=8 oraz -11=-1

  4. 70=1 oraz -20=1

W kolejnych przykładach przypomnimy, jak wykonujemy działania na potęgach o tej samej podstawie.

Przykład 2

Pomnożymy liczby 104 oraz 107.

Korzystając z definicji potęgi o wykładniku naturalnym, mamy:

10 4 10 7 = 10 10 10 10 4  czynniki 10 10 10 10 10 10 10 7  czynników = 10 4 + 7 = 10 11 .

Przykład 3

Podzielimy:

  1. liczbę 57 przez 53

  2. liczbę 71410 przez 72025

Ponownie korzystamy z definicji potęgi o wykładniku naturalnym, skąd dostajemy:

  1. 5753=53·5453=54

  2. 7141072025=7141071410·7615=17615

Przykład 4

Podniesiemy liczbę 25 do potęgi trzeciej.

Znów, korzystając z definicji potęgi o wykładniku naturalnym, otrzymujemy:

253=25·25·25=25·3=215.

W następnych przykładach przypomnimy, jak przekształcać wyrażenia, które dadzą się zapisać w postaci iloczynu lub ilorazu potęg o tych samych wykładnikach (tym razem podstawy potęg nie muszą być równe).

Przykład 5

Obliczymy, ile cyfr ma zapis dziesiętny iloczynu 45·510.

Doprowadzimy podany iloczyn do postaci potęgi liczby 10:

45·510=225·510=210·510=1010=10000000000.

Zatem zapis dziesiętny iloczynu 45·510 ma 11 cyfr.

Przykład 6

Wykażemy, że iloraz 12145:7610 jest liczbą całkowitą.

Przekształcamy zadany iloraz wykorzystując własności działań na potęgach:

12145:7610=4945·6710=49545·610710=725225·2·310710=

=710210·210·310710=310.

Otrzymana liczba jest, oczywiście, całkowita (a jej zapis dziesiętny to 59049).

Uogólniając rozumowania z powyższych przykładów, można uzasadnić wzory podane poniżej.

bg‑gray1
Ważne!

Dla dowolnych liczb rzeczywistych ab oraz dowolnych dodatnich liczb całkowitych mn prawdziwe są wzory:

an·am=an+m,
anm=anm,
anam=an-m, gdzie a0nm,
anam=1am-n, gdzie a0n<m,
an·bn=a·bn,
an:bn=anbn=abn, gdzie b0.

Zapis wielkich liczb z wykorzystaniem potęg liczby 10 jest wygodny, ponieważ od razu informuje nas o tym, iloma zerami zakończony jest zapis dziesiętny danej liczby. W ten sposób możemy zapisać np. liczby używane w fizyce:

  1. w szklance wody jest około 1025 cząsteczek

  2. widoczna część Wszechświata ma objętość około 1080 kilometrów sześciennych

Ponieważ podstawowym systemem, w którym przeprowadzamy obliczenia jest system dziesiętny, więc do oszacowania rzędu obliczanych wielkości również stosuje się zapis z wykorzystaniem potęg liczby 10 - jest to tzw. notacja wykładniczanotacja wykładniczanotacja wykładnicza.

notacja wykładnicza
Definicja: notacja wykładnicza

Jeśli liczba x jest zapisana w postaci:

x=m·10k,

gdzie m jest liczbą spełniającą nierówność 1m<10, natomiast k jest liczbą całkowitą, to mówimy, że liczba x jest zapisana w notacji wykładniczej.

Mówimy wtedy, że liczba x jest rzędu 10k.

Przykład 7

Magda tworzy model Układu Słonecznego, w którym Ziemia jest wielkości grejpfruta o średnicy 15 cm. Jak duża powinna być w modelu Magdy kulka przedstawiająca Księżyc?

R1VEjkeweaGSc

Obliczmy, ile razy średnica Ziemi jest większa od średnicy Księżyca:

1,3·1073,5·106=1,33,5·107106=1335·10=130353,7.

Zatem aby proporcje w modelu zostały zachowane, średnica kulki będącej modelem Księżyca musi być 3,7 razy mniejsza od średnicy grejpfruta, to znaczy powinna mieć około 4 cm. Wobec tego model Księżyca powinien być wielkości piłeczki do ping‑ponga.

Przykład 8

Wiedząc, że w modelu Magdy kulka przedstawiająca Ziemię jest wielkości grejpfruta obliczymy, w jakiej odległości od niej powinna znajdować się kulka wielkości piłeczki pingpongowej, która jest modelem Księżyca.

Obliczmy, ile razy odległość Ziemi od Księżyca jest większa od średnicy Ziemi:

3,8·1081,3·107=380 000 00013 000 000=3801329.

A zatem piłeczka pingpongowa powinna być odległa od grejpfruta obrazującego Ziemię o około 29·15=435 cm, tj. niemal o 4,5 m.

Astronomowie do opisywania odległości obiektów, zwłaszcza tych, które znajdują się w przestrzeni międzygwiezdnej, używają jednostki nazywanej parsekiem (w skrócie oznaczanym pc). Przyjęto, że 1 parsek to około 31·1012 km.

Przykład 9

Proxima Centauri, gwiazda najbliższa Słońcu, jest od niego oddalona o 1,3 parseka.
Obliczymy, w jakiej odległości od kuli przedstawiającej Słońce powinien znajdować się w modelu Magdy model tej gwiazdy.

Obliczmy, ile razy odległość Słońca od Proximy Centauri jest większa od średnicy Ziemi:

1,3·31·1012·1031,3·107=31·108.

Oznacza to, że gdyby Magda próbowała odnieść swój model do odległości obiektów z przestrzeni międzygwiezdnej, to odległość między Słońcem i Proximą Centauri byłaby wtedy w przybliżeniu równa

31 10 8 15   c m = 465 10 8   c m = 465 10 6   m = 465 10 3   k m ,

czyli około 465000 km.

Otrzymana odległość jest ponad 11 razy większa od długości równika Ziemi.

Odnotujmy na zakończenie ważne twierdzenie, z którego często korzystamy przy porównywaniu liczb rzeczywistych.

o porównywaniu potęg liczb rzeczywistych o tych samych wykładnikach
Twierdzenie: o porównywaniu potęg liczb rzeczywistych o tych samych wykładnikach

Dane są dwie liczby rzeczywiste a0b0 oraz liczba naturalna n1. Wówczas:

a<b wtedy i tylko wtedy, gdy an<bn.
Przykład 10

Porównamy liczby 320230.

Mamy:

320=3210=910230=2310=810,

a ponieważ 9>8, więc

320=3210=910>230=2310=810.

Przykład 11

Wykażemy, że liczba 1927+8271925+825 jest większa od 360 i mniejsza od 361.

Mamy wykazać, że prawdziwe są dwie nierówności:

(1) 1927+8271925+825<361,

(2) 1927+8271925+825> 360.

Przekształcamy równoważnie pierwszą nierówność:

1927+8271925+825<361

1927+8271925+825<361=192

1927+827<192·1925+825

1927+827<1927+192·825

827<192·825

82<192

64<361.

Wynika stąd, że pierwsza nierównośc jest prawdziwa.

Teraz przekształcamy równoważnie drugą nierówność:

19 27 + 8 27 19 25 + 8 25 > 360 1927+827>3601925+825

1927-360·1925>360·825-827

1925·192-360>825·360-82

1925·361-360>825·360-64

1925·1>825·296

1925825>296

19825>296.

Na podstawie powyższego twierdzenia o porównywaniu potęg stwierdzamy, że:

  • ponieważ 198=238>2, więc 19825>225,

  • ponieważ 2>1, więc 216>116=1; ponadto 29>512>296, co oznacza, że 225>296.

Wobec tego

19825>225>296,

czyli prawdziwa jest także druga nierówność.

W ten sposób udowodniliśmy, że liczba 1927+8271925+825 jest większa od 360 i mniejsza od 361.

Słownik

potęga liczby rzeczywistej o wykładniku naturalnym
potęga liczby rzeczywistej o wykładniku naturalnym

potęgą liczby rzeczywistej a o wykładniku naturalnym n2 nazywamy liczbę an=a·a·...·an czynników.
Liczbę a nazywamy podstawą potęgi. Ponadto przyjmujemy, że dla każdej liczby rzeczywistej a1=a oraz dla a0: a0=1

notacja wykładnicza
notacja wykładnicza

jeśli liczba x jest zapisana w postaci x=m·10k, gdzie m jest liczbą spełniającą nierówność 1m<10, natomiast k jest liczbą całkowitą, to mówimy, że liczba x jest zapisana w notacji wykładniczej.
Mówimy też wtedy, że liczba x jest rzędu 10k