Potęgą liczby rzeczywistej $a$ o wykładniku naturalnympotęga liczby rzeczywistej o wykładniku naturalnymPotęgą liczby rzeczywistej $a$ o wykładniku naturalnym $n\ge 2$ nazywamy liczbę:

Liczbę $a$ nazywamy podstawą potęgi. Ponadto przyjmujemy, że dla każdej liczby rzeczywistej:

oraz dla $a\ne 0$:

1. ${10}^4=10·10·10·10=10000$

2. ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^3=\left(-\frac{1}{2}\right)·\left(-\frac{1}{2}\right)·\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{8}$

3. $8^1=8$ oraz ${\left(-1\right)}^1=-1$

4. $7^0=1$ oraz ${\left(-2\right)}^0=1$

Pomnożymy liczby ${10}^4$ oraz ${10}^7$.

Korzystając z definicji potęgi o wykładniku naturalnym, mamy:

${10}^4\cdot {10}^7=\underset{4 \mathrm{czynniki}}{\underbrace{10\cdot 10\cdot 10\cdot 10}}\cdot \underset{7 \mathrm{czynników}}{\underbrace{10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10}}={10}^{4+7}={10}^{11}$.

Podzielimy:

1. liczbę $5^7$ przez $5^3$

2. liczbę $7^{1410}$ przez $7^{2025}$

Ponownie korzystamy z definicji potęgi o wykładniku naturalnym, skąd dostajemy:

1. $\frac{5^7}{5^3}=\frac{5^3·5^4}{5^3}=5^4$

2. $\frac{7^{1410}}{7^{2025}}=\frac{7^{1410}}{7^{1410}·7^{615}}=\frac{1}{7^{615}}$

Podniesiemy liczbę $2^5$ do potęgi trzeciej.

Znów, korzystając z definicji potęgi o wykładniku naturalnym, otrzymujemy:

${\left(2^5\right)}^3=2^5·2^5·2^5=2^{5·3}=2^{15}$.

Obliczymy, ile cyfr ma zapis dziesiętny iloczynu $4^5·5^{10}$.

Doprowadzimy podany iloczyn do postaci potęgi liczby $10$:

$4^5·5^{10}={\left(2^2\right)}^5·5^{10}=2^{10}·5^{10}={10}^{10}=10000000000$.

Zatem zapis dziesiętny iloczynu $4^5·5^{10}$ ma $11$ cyfr.

Wykażemy, że iloraz ${\left(12\frac{1}{4}\right)}^5:{\left(\frac{7}{6}\right)}^{10}$ jest liczbą całkowitą.

Przekształcamy zadany iloraz wykorzystując własności działań na potęgach:

${\left(12\frac{1}{4}\right)}^5:{\left(\frac{7}{6}\right)}^{10}={\left(\frac{49}{4}\right)}^5·{\left(\frac{6}{7}\right)}^{10}=\frac{{49}^5}{4^5}·\frac{6^{10}}{7^{10}}=\frac{{\left(7^2\right)}^5}{{\left(2^2\right)}^5}·\frac{{\left(2·3\right)}^{10}}{7^{10}}=$

$=\frac{7^{10}}{2^{10}}·\frac{2^{10}·3^{10}}{7^{10}}=3^{10}$.

Otrzymana liczba jest, oczywiście, całkowita (a jej zapis dziesiętny to $59049$).

Jeśli liczba $x$ jest zapisana w postaci:

gdzie $m$ jest liczbą spełniającą nierówność $1\le m<10$, natomiast $k$ jest liczbą całkowitą, to mówimy, że liczba $x$ jest zapisana w notacji wykładniczej.

Mówimy wtedy, że liczba $x$ jest rzędu ${10}^k$.

Magda tworzy model Układu Słonecznego, w którym Ziemia jest wielkości grejpfruta o średnicy $15 \mathrm{cm}$. Jak duża powinna być w modelu Magdy kulka przedstawiająca Księżyc?

R1VEjkeweaGSc

Na ilustracji przedstawiono Ziemię oraz Księżyć, oraz zaznaczono odległość między nimi równą $3,8\times {10}^8$ m. Zaznaczono średnicę Ziemi, która wynosi $1,3\times {10}^7$ m, oraz średnicę Księżyca równą $3,5\times {10}^6$ m.

Obliczmy, ile razy średnica Ziemi jest większa od średnicy Księżyca:

$\frac{1,3·{10}^7}{3,5·{10}^6}=\frac{1,3}{3,5}·\frac{{10}^7}{{10}^6}=\frac{13}{35}·10=\frac{130}{35}\approx 3,7$.

Zatem aby proporcje w modelu zostały zachowane, średnica kulki będącej modelem Księżyca musi być $3,7$ razy mniejsza od średnicy grejpfruta, to znaczy powinna mieć około $4 \mathrm{cm}$. Wobec tego model Księżyca powinien być wielkości piłeczki do ping‑ponga.

Wiedząc, że w modelu Magdy kulka przedstawiająca Ziemię jest wielkości grejpfruta obliczymy, w jakiej odległości od niej powinna znajdować się kulka wielkości piłeczki pingpongowej, która jest modelem Księżyca.

Obliczmy, ile razy odległość Ziemi od Księżyca jest większa od średnicy Ziemi:

$\frac{3,8·{10}^8}{1,3·{10}^7}=\frac{380 000 000}{13 000 000}=\frac{380}{13}\approx 29$.

A zatem piłeczka pingpongowa powinna być odległa od grejpfruta obrazującego Ziemię o około $29·15=435 \mathrm{cm}$, tj. niemal o $4,5 \mathrm{m}$.

Proxima Centauri, gwiazda najbliższa Słońcu, jest od niego oddalona o $1,3$ parseka.
Obliczymy, w jakiej odległości od kuli przedstawiającej Słońce powinien znajdować się w modelu Magdy model tej gwiazdy.

Obliczmy, ile razy odległość Słońca od Proximy Centauri jest większa od średnicy Ziemi:

$\frac{1,3·31·{10}^{12}·{10}^3}{1,3·{10}^7}=31·{10}^8$.

Oznacza to, że gdyby Magda próbowała odnieść swój model do odległości obiektów z przestrzeni międzygwiezdnej, to odległość między Słońcem i Proximą Centauri byłaby wtedy w przybliżeniu równa

$31\cdot {10}^8\cdot 15\mathrm{c}\mathrm{m}=465\cdot {10}^8\mathrm{c}\mathrm{m}=465\cdot {10}^6\mathrm{m}=465\cdot {10}^3\mathrm{k}\mathrm{m}$,

czyli około $465000 \mathrm{km}$.

Otrzymana odległość jest ponad $11$ razy większa od długości równika Ziemi.

Dane są dwie liczby rzeczywiste $a\ge 0$ i $b\ge 0$ oraz liczba naturalna $n\ge 1$. Wówczas:

Porównamy liczby $3^{20}$ i $2^{30}$.

Mamy:

$3^{20}={\left(3^2\right)}^{10}=9^{10}$ i $2^{30}={\left(2^3\right)}^{10}=8^{10}$,

a ponieważ $9>8$, więc

$3^{20}={\left(3^2\right)}^{10}=9^{10}>2^{30}={\left(2^3\right)}^{10}=8^{10}$.

Wykażemy, że liczba $\frac{{19}^{27}+8^{27}}{{19}^{25}+8^{25}}$ jest większa od $360$ i mniejsza od $361$.

Mamy wykazać, że prawdziwe są dwie nierówności:

(1) $\frac{{19}^{27}+8^{27}}{{19}^{25}+8^{25}}<361$,

(2) $\frac{{19}^{27}+8^{27}}{{19}^{25}+8^{25}}> 360$.

Przekształcamy równoważnie pierwszą nierówność:

$\frac{{19}^{27}+8^{27}}{{19}^{25}+8^{25}}<361$

$\frac{{19}^{27}+8^{27}}{{19}^{25}+8^{25}}<361={19}^2$

${19}^{27}+8^{27}<{19}^2·\left({19}^{25}+8^{25}\right)$

${19}^{27}+8^{27}<{19}^{27}+{19}^2·8^{25}$

$8^{27}<{19}^2·8^{25}$

$8^2<{19}^2$

$64<361$.

Wynika stąd, że pierwsza nierównośc jest prawdziwa.

Teraz przekształcamy równoważnie drugą nierówność:

$\frac{{19}^{27}+8^{27}}{{19}^{25}+8^{25}}>360$ ${19}^{27}+8^{27}>360\cdot \left({19}^{25}+8^{25}\right)$

${19}^{27}-360·{19}^{25}>360·8^{25}-8^{27}$

${19}^{25}·\left({19}^2-360\right)>8^{25}·\left(360-8^2\right)$

${19}^{25}·\left(361-360\right)>8^{25}·\left(360-64\right)$

${19}^{25}·1>8^{25}·296$

$\frac{{19}^{25}}{8^{25}}>296$

${\left(\frac{19}{8}\right)}^{25}>296$.

Na podstawie powyższego twierdzenia o porównywaniu potęg stwierdzamy, że:

• ponieważ $\frac{19}{8}=2\frac{3}{8}>2$, więc ${\left(\frac{19}{8}\right)}^{25}>2^{25}$,

• ponieważ $2>1$, więc $2^{16}>1^{16}=1$; ponadto $2^9>512>296$, co oznacza, że $2^{25}>296$.

Wobec tego

${\left(\frac{19}{8}\right)}^{25}>2^{25}>296$,

czyli prawdziwa jest także druga nierówność.

W ten sposób udowodniliśmy, że liczba $\frac{{19}^{27}+8^{27}}{{19}^{25}+8^{25}}$ jest większa od $360$ i mniejsza od $361$.

potęgą liczby rzeczywistej $a$ o wykładniku naturalnym $n\ge 2$ nazywamy liczbę $a^n=\underset{n \mathrm{czynników}}{\underbrace{a·a·...·a}}$.
Liczbę $a$ nazywamy podstawą potęgi. Ponadto przyjmujemy, że dla każdej liczby rzeczywistej $a^1=a$ oraz dla $a\ne 0$: $a^0=1$

jeśli liczba $x$ jest zapisana w postaci $x=m·{10}^k$, gdzie $m$ jest liczbą spełniającą nierówność $1\le m<10$, natomiast $k$ jest liczbą całkowitą, to mówimy, że liczba $x$ jest zapisana w notacji wykładniczej.
Mówimy też wtedy, że liczba $x$ jest rzędu ${10}^k$