Przeczytaj

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Definicja: układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układem równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy koniunkcję dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Układ taki przyjmuje postać:

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

gdzie $a_{1}$ i $b_{1}$ oraz $a_{2}$ i $b_{2}$ nie są równocześnie równe zero. W powyższym układzie $x$ oraz $y$ oznaczają niewiadome, $a_{1}$ , $a_{2}$ , $b_{1}$ oraz $b_{2}$ - współczynniki przy niewiadomych odpowiednio $x$ oraz $y$ , natomiast $c_{1}$ i $c_{2}$ nazywamy wyrazami wolnymi.

rozwiązanie układu równań

Definicja: rozwiązanie układu równań

Rozwiązaniem takiego układu równań jest każda para liczb spełniających jednocześnie każde równanie danego układu równań.

Taki układ równań może mieć jedno rozwiązanie, niekończenie wiele rozwiązań lub może nie mieć rozwiązania.

równoważne układy równań

Definicja: równoważne układy równań

Dwa układy równań liniowych nazywamy równoważnymi, gdy mają ten sam zbiór rozwiązań.

równoważny układ równań

Twierdzenie: równoważny układ równań

Jeśli z jednego układu równań wyznaczymy jedną niewiadomą i otrzymane wyrażenie podstawimy do drugiego równania, to układ równań złożony z pierwszego równania i tak przekształconego drugiego równania jest równoważnyrównoważny danemu.

Ważne!

Rozwiazywanie układów równań metodą podstawianiametoda podstawianiametodą podstawiania polega na:

wyznaczeniu dowolnej niewiadomej z dowolnego równania,
podstawieniu tak uzyskanego wyrażenia do drugiego z równań w miejsce wyznaczonej niewiadomej,
rozwiązaniu otrzymanego równania z jedną niewiadomą,
podstawieniu otrzymanej wartości niewiadomej do pierwszego równania.

Przed rozwiązaniem równania, warto zastanowić się, którą z niewiadomych wyznaczyć. Ma to wpływ na stopień trudności rozwiązywanego równania z jedną niewiadomą.

Przykład 1

Rozwiążemy układ równań liniowychukład równań liniowych metodą postawiania.

$\{\begin{cases} 2 x + 3 y = - 1 \\ x + 2 y = 0 \end{cases}$

Rozwiązanie

Wybieramy niewiadomą, którą możemy najłatwiej wyznaczyć. W tym układzie równań taką niewiadomą jest $x$ w drugim równaniu.

$\{\begin{cases} 2 x + 3 y = - 1 \\ x = - 2 y \end{cases}$

Podstawiamy wyznaczone wyrażenie do pierwszego równania w miejsce niewiadomej $x$ .

$\{\begin{cases} 2 (- 2 y) + 3 y = - 1 \\ x = - 2 y \end{cases}$

Rozwiązujemy pierwsze równanie.

$\{\begin{cases} - 4 y + 3 y = - 1 \\ x = - 2 y \end{cases}$

$\{\begin{cases} - y = - 1 \\ x = - 2 y \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 1 \\ x = - 2 y \end{cases}$

Otrzymaną wartość $y$ podstawiamy do drugiego równania.

$\{\begin{cases} y = 1 \\ x = - 2 \cdot 1 \end{cases}$

Obliczamy wartość niewiadomej $x$ .

$\{\begin{cases} y = 1 \\ x = - 2 \end{cases}$

Otrzymaliśmy parę liczb, będącą rozwiązaniem układu równań. (Sprawdź)

Przykład 2

Korzystając z metody postawiania, rozwiążemy układ równań liniowych.

$\{\begin{cases} - 15 x + 3 y = 21 \\ - 2 y + 5 x = - 4 \end{cases}$

Rozwiązanie

Wybieramy niewiadomą, którą możemy najłatwiej wyznaczyć. W tym układzie nie ma niewiadomej, którą możemy wyznaczyć wykonując jedno przekształcenie. Łatwo jednak zauważyć, że w pierwszym równaniu wszystkie współczynniki są podzielne przez $3$ , a zatem możemy z tego równania wyznaczyć niewiadomą $y$ .

$\{\begin{cases} 3 y = 15 x + 21 ∣ : 3 \\ - 2 y + 5 x = - 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 5 x + 7 \\ - 2 y + 5 x = - 4 \end{cases}$

Podstawiamy wyznaczone wyrażenie do drugiego równania w miejsce niewiadomej $y$ .

$\{\begin{cases} y = 5 x + 7 \\ - 2 (5 x + 7) + 5 x = - 4 \end{cases}$

Rozwiązujemy drugie równanie.

$\{\begin{cases} y = 5 x + 7 \\ - 10 x - 14 + 5 x = - 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 5 x + 7 \\ - 5 x = 10 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 5 x + 7 \\ x = - 2 \end{cases}$

Otrzymaną wartość $x$ podstawiamy do pierwszego równania.

$\{\begin{cases} y = 5 \cdot (- 2) + 7 \\ x = - 2 \end{cases}$

Obliczamy wartość niewiadomej $y$ .

$\{\begin{cases} y = - 3 \\ x = - 2 \end{cases}$

Otrzymaliśmy parę liczb, będącą rozwiązaniem układu równań.

Przykład 3

Zauważmy, że układ równań liniowych z Przykładu 2 możemy rozwiązać metodą podstawienia wykorzystując inne podstawienie.

$\{\begin{cases} - 15 x + 3 y = 21 \\ - 2 y + 5 x = - 4 \end{cases}$

Rozwiązanie

Dzielimy obie strony pierwszego równania przez $3$ .

$\{\begin{matrix} - 15 x + 3 y = 21 ∣ : 3 \\ - 2 y + 5 x = - 4 \end{matrix}$

$\{\begin{cases} - 5 x + y = 7 \\ - 2 y + 5 x = - 4 \end{cases}$

Możemy zauważyć, że w każdym z równań występuje wyrażenie $5 x$ . A zatem wyznaczamy to właśnie wyrażenie np. z drugiego równania.

$\{\begin{matrix} - 5 x + y = 7 \\ 5 x = 2 y - 4 \end{matrix}$

Podstawiamy wyznaczone wyrażenie do pierwszego równania w miejsce wyrażenia $5 x$ .

$\{\begin{cases} - (2 y - 4) + y = 7 \\ 5 x = 2 y - 4 \end{cases}$

Rozwiązujemy pierwsze równanie.

$\{\begin{cases} - 2 y + 4 + y = 7 \\ 5 x = 2 y - 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} - y = 3 \\ 5 x = 2 y - 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = - 3 \\ 5 x = 2 y - 4 \end{cases}$

Otrzymaną wartość $y$ podstawiamy do drugiego równania i rozwiązujemy równanie z niewiadomą $x$ .

$\{\begin{matrix} y = - 3 \\ 5 x = 2 \cdot (- 3) - 4 \end{matrix}$

$\{\begin{cases} y = - 3 \\ 5 x = - 10 ∣ : 5 \end{cases}$

Otrzymaliśmy parę liczb, będącą rozwiązaniem układu równań.

$\{\begin{cases} y = - 3 \\ x = - 2 \end{cases}$

Przykład 4

Rozwiążemy kolejny układ równań liniowych.

$\{\begin{cases} \frac{x + 3 y}{2} - \frac{2 x - y}{3} = 2 \\ 4 (x - 2) + 5 (2 - y) = 7 x \end{cases}$

Rozwiązanie

Aby móc zastosować metodę podstawiania, musimy doprowadzić układ równań do najprostszej postaci. Możemy w tym celu pomnożyć obie strony pierwszego równania przez $6$ (wspólny mianownik ułamków występujących w równaniu).

$\{\begin{cases} 3 (x + 3 y) - 2 (2 x - y) = 2 \cdot 6 \\ 4 (x - 2) + 5 (2 - y) = 7 x \end{cases}$

Teraz w każdym z równań usuwamy nawiasy, redukujemy wyrazy podobne i porządkujemy układ.

$\{\begin{cases} 3 x + 9 y - 4 x + 2 y = 12 \\ 4 x - 8 + 10 - 5 y = 7 x \end{cases}$

$\{\begin{cases} - x + 11 y = 12 \\ - 3 x - 5 y = - 2 \end{cases}$

Możemy teraz zastosować metodę postawiania, wyznaczając z pierwszego równania niewiadomą $x$ .

$\{\begin{cases} - x + 11 y = 12 \\ - 3 x - 5 y = - 2 \end{cases}$

$\{\begin{matrix} x = 11 y - 12 \\ - 3 (11 y - 12) - 5 y = - 2 \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} x = 11 y - 12 \\ - 33 y + 36 - 5 y = - 2 \end{matrix}$

$\{\begin{cases} x = 11 y - 12 \\ - 38 y = - 38 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 11 y - 12 \\ y = 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = - 1 \\ y = 1 \end{cases}$

Otrzymaliśmy parę liczb $\{\begin{cases} x = - 1 \\ y = 1 \end{cases}$ , będącą rozwiązaniem tego układu równań.

Przykład 5

Rozwiążemy układ równań.

$\{\begin{cases} \sqrt{3} x + 3 \sqrt{2} y = 10 \sqrt{2} \\ \sqrt{2} x + y = 7 \end{cases}$

Rozwiązanie

Zastosujemy metodę podstawiania. Wyznaczymy $y$ z drugiego równania i otrzymane wyrażenie podstawimy do pierwszego równania w miejsce niewiadomej $y$ .

$\{\begin{cases} \sqrt{3} x + 3 \sqrt{2} y = 10 \sqrt{2} \\ y = 7 - \sqrt{2} x \end{cases}$

$\{\begin{cases} \sqrt{3} x + 3 \sqrt{2} (7 - \sqrt{2} x) = 10 \sqrt{2} \\ y = 7 - \sqrt{2} x \end{cases}$

$\{\begin{cases} \sqrt{3} x + 21 \sqrt{2} - 6 x = 10 \sqrt{2} \\ y = 7 - \sqrt{2} x \end{cases}$

$\{\begin{cases} (\sqrt{3} - 6) x = - 11 \sqrt{2} ∣ : (\sqrt{3} - 6) \\ y = 7 - \sqrt{2} x \end{cases}$

$\{\begin{array}{r} x = \frac{- 11 \sqrt{2}}{\sqrt{3} - 6} \\ y = 7 - \sqrt{2} x \end{array}$

Usuwamy niewymierność z mianownika w otrzymanym rozwiązaniu.

$\{\begin{cases} x = \frac{- 11 \sqrt{2} \cdot (\sqrt{3} + 6)}{(\sqrt{3} - 6) (\sqrt{3} + 6)} \\ y = 7 - \sqrt{2} x \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{- 11 \sqrt{2} \cdot (\sqrt{3} + 6)}{3 - 36} \\ y = 7 - \sqrt{2} x \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{- 11 \sqrt{2} \cdot (\sqrt{3} + 6)}{- 33} \\ y = 7 - \sqrt{2} x \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3} + 6)}{3} \\ y = 7 - \sqrt{2} x \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{\sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3} \\ y = 7 - \sqrt{2} x \end{cases}$

Obliczamy wartość niewiadomej $y$ .

$\{\begin{cases} x = \frac{\sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3} \\ y = 7 - \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3} \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{\sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3} \\ y = 7 - \frac{2 \sqrt{3} + 12}{3} \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{\sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3} \\ y = \frac{9 - 2 \sqrt{3}}{3} \end{cases}$

Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb niewymiernych $\{\begin{cases} x = \frac{\sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3} \\ y = \frac{9 - 2 \sqrt{3}}{3} \end{cases}$ .

Przykład 6

Rozwiążemy układ równań.

$\{\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 5 \\ \frac{3}{x} - \frac{2}{y} = 4 \end{cases}$

Rozwiązanie

Tym razem zastosujemy najpierw podstawienie $\{\begin{cases} a = \frac{1}{x} \\ b = \frac{1}{y} \end{cases}$ i otrzymamy układ równań

$\{\begin{cases} 2 a + b = 5 \\ 3 a - 2 b = 4 \end{cases}$ .

Stosujemy teraz metodę podstawiania: wyznaczamy $b$ z pierwszego równania i postawiamy otrzymaną wartość do drugiego równania. Następnie rozwiązujemy układ równań liniowych z niewiadomymi $a$ i $b$ .

$\{\begin{cases} b = 5 - 2 a \\ 3 a - 2 (5 - 2 a) = 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} b = 5 - 2 a \\ 3 a - 10 + 4 a = 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} b = 5 - 2 a \\ 7 a = 14 \end{cases}$

$\{\begin{cases} b = 5 - 2 a \\ a = 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} b = 1 \\ a = 2 \end{cases}$

A więc wracając do początkowego podstawienia otrzymujemy:

$a = \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ oraz $b = \frac{1}{y} = 1 \Rightarrow y = 1$ .

Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb $\{\begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ y = 1 \end{cases}$ .

Przykład 7

Zbadamy liczbę rozwiązań układu równań $\{\begin{cases} m x + 3 y = 12 \\ 2 x + m y = 10 \end{cases}$ w zależności od parametru $m$ .

Rozwiązanie

Możemy wyznaczyć $x$ z drugiego równania

$\{\begin{matrix} m x + 3 y = 12 \\ x = \frac{10 - m y}{2} \end{matrix}$

$\{\begin{cases} m x + 3 y = 12 \\ x = 5 - \frac{m}{2} y \end{cases}$

Podstawiamy $x = 5 - \frac{m}{2} y$ do pierwszego równania i wyznaczamy wartość $y$ w zależności od parametru $m$ .

$\{\begin{cases} m (5 - \frac{m}{2} y) + 3 y = 12 \\ x = 5 - \frac{m}{2} y \end{cases}$

$\{\begin{cases} 5 m - \frac{m^{2}}{2} y + 3 y = 12 ∣ \cdot 2 \\ x = 5 - \frac{m}{2} y \end{cases}$

$\{\begin{cases} 10 m - m^{2} y + 6 y = 24 \\ x = 5 - \frac{m}{2} y \end{cases}$

$\{\begin{cases} (6 - m^{2}) y = 24 - 10 m \\ x = 5 - \frac{m}{2} y \end{cases}$

W tym miejscu dzielimy obie strony pierwszego równania przez $(6 - m^{2})$ , więc musimy założyć, że $m \neq \sqrt{6}$ i $m \neq - \sqrt{6}$ . Zauważmy, że jeśli $m = \sqrt{6}$ lub $m = - \sqrt{6}$ , to w pierwsze równanie przyjmie postać $0 = 24 \pm 10 \sqrt{6} \neq 0$ . Tym samym dla rozważanych wartości parametru $m$ równanie nie ma rozwiązań.

Wyznaczymy rozwiązania w pozostałych przypadkach.

$\{\begin{cases} y = \frac{24 - 10 m}{6 - m^{2}} \\ x = 5 - \frac{m}{2} y \end{cases}$

Otrzymaną wartość $y$ podstawiamy w odpowiednie miejsce do drugiego równania.

$\{\begin{cases} y = \frac{24 - 10 m}{6 - m^{2}} \\ x = 5 - \frac{m}{2} \cdot \frac{24 - 10 m}{6 - m^{2}} \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = \frac{24 - 10 m}{6 - m^{2}} \\ x = 5 - \frac{m (12 - 5 m)}{6 - m^{2}} \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = \frac{24 - 10 m}{6 - m^{2}} \\ x = \frac{5 (6 - m^{2})}{6 - m^{2}} - \frac{m (12 - 5 m)}{6 - m^{2}} \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{30 - 12 m}{6 - m^{2}} \\ y = \frac{24 - 10 m}{6 - m^{2}} \end{cases}$

Taki układ równań:

nie ma rozwiązania dla $m = - \sqrt{6}$ lub $m = \sqrt{6}$
ma dokładnie jedno rozwiązanie postaci $\{\begin{cases} x = \frac{30 - 12 m}{6 - m^{2}} \\ y = \frac{24 - 10 m}{6 - m^{2}} \end{cases}$ dla $m \neq - \sqrt{6}$ i $m \neq \sqrt{6}$ .

Słownik

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

układ równań postaci $\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}$

równoważne układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi

układy równań, które mają ten sam zbiór rozwiązań

metoda podstawiania

metoda polegająca na wyznaczeniu dowolnej niewiadomej z dowolnego równania i podstawieniu tak uzyskanego wyrażenia do drugiego z równań w miejsce wyznaczonej niewiadomej

Wprowadzenie

Animacja

Słownik