Warto przeczytać

Jedną z form energii mechanicznej jest energia potencjalnaEnergia potencjalnaenergia potencjalna ciała. Wynika ona ze wzajemnego oddziaływania ciał i jest zależna od ich położenia względem siebie. Ze względu na to, jakie oddziaływanie opisuje, dodaje się jeszcze do jej nazwy dodatkowy człon i mówi na przykład o energii potencjalnej elektrycznej, energii potencjalnej sprężystości czy energii potencjalnej grawitacji. I to właśnie tej ostatniej chcielibyśmy się dokładnie przyjrzeć.

Wartość energii potencjalnej grawitacji zależna jest od masy oddziaływujących ze sobą ciał oraz od odległości między nimi. Wyraża się ona wzorem:

gdzie:

$E_p$ – energia potencjalna grawitacji [J],

$m$ – masa ciała [kg],

$M$ – masa źródła pola grawitacyjnegoPole grawitacyjnepola grawitacyjnego [kg],

$r$ – odległość pomiędzy środkami ciał [m].

Zastanówmy się, jak zmienia się energia potencjalnaEnergia potencjalnaenergia potencjalna ciała przy jego przemieszczaniu się w przestrzeni kosmicznej. Zacznijmy od prostego przypadku, a mianowicie ruchu planety dookoła Słońca. Jeśli rozpatrzymy założenie, które przyjął Kopernik w swojej teorii heliocentrycznej (Rys. 1.) i potraktujemy tor ruchu planety jako okrąg, wówczas zauważymy, że jej energia potencjalna nie zmienia się, gdyż odległość pomiędzy środkiem planety, a Słońcem oraz ich masy pozostaną stałe.

RHSDIzWKsgMCu

Rys. 1. Zdjęcie jest reprodukcją strony rękopisu Mikołaja Kopernika z dzieła pod tytułem „O obrotach ciał niebieskich”. Tekst zapisano na stronie w całości po łacinie. Na środku strony reprodukcja prezentuje rysunek przedstawiający wyobrażenie Mikołaja Kopernika o budowie Układu Słonecznego. W centrum rysunku Mikołaj Kopernik umieścił Słońce, a wokół niego widoczne orbity poszczególnych planet w postaci czarnych, współśrodkowych okręgów. Orbity poszczególnych planet są opisane nazwami łacińskimi.

A jak będzie wyglądała zmiana energii, jeśli przyjmiemy za Keplerem, że planety krążą dookoła Słońca po elipsach (Rys. 2.)?

RJ9SL1dVqN9hq

Rys. 2. Rysunek przedstawia schemat ruchu planety po orbicie eliptycznej wokół Słońca. Orbitę narysowano czarną linią w postaci poziomej elipsy. Czarnymi liniami prostymi, poziomą i pionową, zaznaczono długą i krótką oś elipsy. Punkty elipsy, wysunięte najbardziej w lewo i prawo oddalone kolejno najmniej i najbardziej od położenia Słońca opisano, jako peryhelium (po lewej) i aphelium (po prawej). Słońce pokazano w postaci żółtego okręgu w lewym ognisku elipsy. Planetę pokazano w postaci niebieskiego punktu na obwodzie elipsy w jej prawej, górnej części. Odległość pomiędzy Słońcem i planetą zaznaczono czarnym odcinkiem prostym i opisano jako promień wodzący.

Możemy zauważyć, że wartość energii potencjalnej grawitacji przyjmuje najmniejszą wartość w punkcie leżącym najbliżej Słońca (zwanym peryhelium), gdyż w tym miejscu – odległość pomiędzy planetą a Słońcem jest najmniejsza. W miarę oddalania się od tego punktu energia potencjalna rośnie po to, by w aphelium (punkcie oddalonym najbardziej) osiągnąć wartość największą. Zmiana ta odbywa się kosztem energii kinetycznej.

Pozostaje jeszcze wyjaśnienie, dlaczego we wzorze pojawia się minus. Otóż jest to konsekwencją przyjęcia hipotetycznie poprawnego założenia, że w odległości $r=\infty$ ciała ze sobą nie oddziałują. Energia potencjalna zwiększa się zatem wraz z odległością od źródła pola tak, by w nieskończonej odległości osiągnąć wartość zero.

Wiemy już, jak zmienia się energia w przypadku okrążania danego ciała niebieskiego. Pozostaje jeszcze zastanowić się, co się stanie, gdy zaczniemy odsuwać ciało w stronę nieskończoności. Wyobraźmy sobie, że ciało przesuniemy z punktu A znajdującego się w odległości $r_1$ od źródła pola grawitacyjnego do punktu B znajdującego się w odległości $r_2$ (Rys. 3.). Jak zmieni się jego energia potencjalna grawitacji?

R1WAJaXD9XLoy

Rys. 3. Rysunek przedstawia ciało centralne o masie wielka litera M w postaci czerwonego koła. Do koła dochodzą promieniście czarne linie proste z kierunków poziomych, pionowych i skierowanych po skosem, pod kątem czterdziestu pięciu stopni do osi pionowych i poziomych. Obrazują linie sił grawitacyjnych i skierowane są do ciała centralnego. Na linii biegnącej z góry i z prawej pokazano dwa punkty, czarny opisany wielką literą B bardziej oddalony od ciała centralnego i czerwony opisany wielką literą A o masie małe m, którego odległość od ciała centralnego jest dwa razy mniejsza niż ciała wielka litera B.

Zmianę energii potencjalnej przy przesuwaniu ciała z punktu A do punktu B można wyznaczyć odejmując wartości energii w tych punktach (warto pamiętać, że im bliżej powierzchni danej planety znajduje się ciało, tym jego energia potencjalna jest mniejsza):

Analizując powyższe zależności, należy jeszcze zwrócić uwagę na bardzo ważną kwestię. Otóż zmiana energii potencjalnej nie zależy od toru ruchu, po jakim będziemy przesuwali ciało, a jedynie od doboru punktów: początkowego i końcowego.

RKF4Kz0JhTT1h

Rys. 4. Rysunek przedstawia ciało o masie opisanej wielką literą M prezentowanego w postaci dużego czerwonego koła. Po prawej stronie u góry od ciała wielka litera M znajdują się dwa punkty leżące na prostej, do której należałby również środek ciała wielka litera M. Punkty te symbolizują położenie ciała o masie opisanej mała literą m. Punkt czerwony opisany wielką litera A znajduje się bliżej ciała wielka litera M niż czarny punkt opisany wielka literą B. Oba punkty A i B  połączono czarną linią prostą, na której grotem strzałki zaznaczono kierunek od punktu B do punktu A. Odcinek prosty symbolizuje najkrótszą drogę pomiędzy nimi. Poniżej po prawej i powyżej po lewej od odcinka prostego pokazano jeszcze dwie nieregularne zakrzywione, hipotetyczne drogi, po których mogłoby dojść do przemieszczenia pomiędzy punktami B i A.

Słowniczek