Przeczytaj
Koło na płaszczyźnie
Przypomnijmy definicję koła na płaszczyźnie.
Kołem o środku w punkcie i promieniu nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których odległości od punktu są mniejsze lub równe .
Na poniższym rysunku przedstawiono kołokoło o środku w punkcie i promieniu .
Jeżeli przez oznaczymy długość promienia koła, to obwód i pole koła wyrażamy za pomocą wzorów:
Średnica koła jest dwa razy większa od długości promienia koła , więc zachodzi zależność .
Obliczymy obwód i pole koła, jeżeli jego średnica ma długość .
Rozwiązanie:
Z treści zadania wiemy, że .
Ponieważ , zatem do wyznaczenia długości promienia rozwiązujemy równanie:
, czyli .
Zatem:
,
.
Ponieważ , zatem obwód i pole koła możemy zapisać za pomocą wzorów:
,
.
Obliczymy obwód i pole koła, jeżeli jego średnica ma długość .
Rozwiązanie:
Z treści zadania wiemy, że . Otrzymujemy więc:
,
.
Obliczymy:
a) pole koła o obwodzie ,
b) obwód koła o polu .
Rozwiązanie:
Ad a) Z zadania wynika, że .
Zatem , czyli .
Obliczamy pole koła:
.
Ad b) Z zadania wynika, że .
Zatem , czyli .
Obliczamy obwód koła:
.
Obliczymy obwód „czterolistnej koniczyny” z rysunku.
Zauważmy, że wystarczy obliczyć obwody dwóch kół.
Z rysunku możemy odczytać, że średnica jednego koła ma długość , zatem promień ma długość .
Szukany obwód wynosi:
.
Obliczymy, ile pełnych obrotów wykona koło rowerowe o średnicy cali podczas wyścigu Tour de Pologne na trasie . Do obliczeń przyjmiemy, że oraz .
Z zadania wynika, że:
.
Zatem obwód koła wynosi:
.
Po zamianie długości wyścigu z kilometrów na centymetry, mamy:
.
Zatem liczba obrotów, jaką musi wykonać koło rowerowe, wynosi:
.
Na trasie wyścigu koło rowerowe wykona pełnych obrotów.
Wyznaczymy pole pierścienia kołowego z rysunku:
Do wyznaczenia pola pierścienia kołowego wystarczy obliczyć pole koła o średnicy , a następnie odjąć od niego pole koła o promieniu , czyli .
Wprowadźmy oznaczenia:
oraz .
Zatem:
,
.
Pole pierścienia kołowego wynosi:
.
Obliczymy, o ile procent zmieni się pole koła, jeżeli jego średnicę wydłużymy o .
Wprowadźmy oznaczenia:
– średnica koła przed wydłużeniem,
– pole koła o średnicy ,
– średnica koła po wydłużeniu,
– pole koła o średnicy .
Zatem:
.
Ponieważ pole stanowi pola , zatem pole koła po zwiększeniu jego średnicy o zwiększyło się o .
Który wariant zamówienia pizzy jest bardziej opłacalny?
: duża pizza o promieniu za ,
: mała pizza o promieniu za .
Wprowadźmy oznaczenia:
,
.
Zatem
,
.
Zauważmy, że , a cena dużej pizzy jest razy większa od ceny małej pizzy, zatem bardziej opłacalny jest zakup dużej pizzy.
Słownik
zbiór punktów płaszczyzny odległych o nie więcej niż ustaloną długość od punktu nazywanego środkiem koła