Przeczytaj

Koło na płaszczyźnie

Przypomnijmy definicję koła na płaszczyźnie.

koło

Definicja: koło

Kołem o środku w punkcie $O$ i promieniu $r$ nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których odległości od punktu $O$ są mniejsze lub równe $r$ .

Na poniższym rysunku przedstawiono kołokołokoło o środku w punkcie $O$ i promieniu $r$ .

R11tz3lbsocPQ

Ilustracja przedstawia koło o środku w punkcie O i o promieniu r. Obszar ograniczony obwodem koła jest zaznaczony kolorem.

Jeżeli przez $r$ oznaczymy długość promienia koła, to obwód $l$ i pole $P$ koła wyrażamy za pomocą wzorów:

RnATQcoxsT6Mc

Ilustracja koło, w którym wykreślono promień r oraz średnicę d. Obok rysunku zapisano dwa wzory. Wzór na obwód koła: l równa się dwa pi razy r. Wzór na pole koła: P równa się pi raz r indeks górny dwa koniec indeksu.

Średnica $d$ koła jest dwa razy większa od długości promienia koła $r$ , więc zachodzi zależność $d = 2 r$ .

Przykład 1

Obliczymy obwód i pole koła, jeżeli jego średnica ma długość $12 cm$ .

Rozwiązanie:

Z treści zadania wiemy, że $d = 12 cm$ .

Ponieważ $d = 2 r$ , zatem do wyznaczenia długości promienia $r$ rozwiązujemy równanie:

$2 r = 12$ , czyli $r = 6 cm$ .

Zatem:

$l = 2 π \cdot 6 cm = 12 π cm$ ,

$P = π \cdot {(6 cm)}^{2} = 36 π {cm}^{2}$ .

Ponieważ $r = \frac{d}{2}$ , zatem obwód i pole koła możemy zapisać za pomocą wzorów:

$l = 2 π \cdot r = 2 π \cdot \frac{d}{2} = π \cdot d$ ,

$P = π \cdot {(\frac{d}{2})}^{2} = π \cdot \frac{d^{2}}{4}$ .

Przykład 2

Obliczymy obwód i pole koła, jeżeli jego średnica ma długość $10 cm$ .

Rozwiązanie:

Z treści zadania wiemy, że $d = 10 cm$ . Otrzymujemy więc:

$l = π \cdot 10 cm = 10 π cm$ ,

$P = π \cdot {(\frac{10}{2} cm)}^{2} = 25 π {cm}^{2}$ .

Przykład 3

Obliczymy:

a) pole koła o obwodzie $30 π$ ,

b) obwód koła o polu $144 π$ .

Rozwiązanie:

Ad a) Z zadania wynika, że $l = 30 π$ .

Zatem $2 π \cdot r = 30 π$ , czyli $r = 15$ .

Obliczamy pole koła:

$P = π \cdot 15^{2} = 225 π$ .

Ad b) Z zadania wynika, że $P = 144 π$ .

Zatem $π \cdot r^{2} = 144 π$ , czyli $r = 12$ .

Obliczamy obwód koła:

$l = 2 π \cdot 12 = 24 π$ .

Przykład 4

Obliczymy obwód „czterolistnej koniczyny” z rysunku.

R168q6eXygOHN

Ilustracja przedstawia kwadrat o bokach równych sześć narysowany linią przerywaną. Wewnątrz kwadratu narysowano figurę w kształcie czterolistnej koniczyny. Jej wierzchołki pokrywają się z wierzchołkami kwadratu. Każdy z czterech listków składa się z dwóch łuków zwróconych ku sobie. Zaznaczono kolorem wnętrze liści.

Zauważmy, że wystarczy obliczyć obwody dwóch kół.

Z rysunku możemy odczytać, że średnica jednego koła ma długość $6$ , zatem promień ma długość $3$ .

Szukany obwód wynosi:

$l = 2 \cdot 2 π \cdot 3 = 12 π$ .

Przykład 5

Obliczymy, ile pełnych obrotów wykona koło rowerowe o średnicy $28$ cali podczas wyścigu Tour de Pologne na trasie $891, 3 km$ . Do obliczeń przyjmiemy, że $1 cal = 2, 54 cm$ oraz $π = 3, 14$ .

Z zadania wynika, że:

$d = 28 cal = 28 \cdot 2, 54 cm = 71, 12 cm$ .

Zatem obwód koła wynosi:

$l = π \cdot 71, 12 cm = 3, 14 \cdot 71, 12 cm = 223, 3168 cm$ .

Po zamianie długości wyścigu z kilometrów na centymetry, mamy:

$891, 3 km = 89130000 cm$ .

Zatem liczba obrotów, jaką musi wykonać koło rowerowe, wynosi:

$89130000 : 223, 3168 \approx 399120$ .

Na trasie wyścigu koło rowerowe wykona $399120$ pełnych obrotów.

Przykład 6

Wyznaczymy pole pierścienia kołowego z rysunku:

RhGpg6lJUMhRj

Ilustracja przedstawia pierścień, czyli obszar między większym a mniejszym okręgiem, a okręgi te są współśrodkowe. Zaznaczono kolorem obszar pierścienia, czyli obszar wewnątrz dużego okręgu i na zewnątrz małego okręgu. Promień małego okręgu ma długość 2 centymetry, a średnica dużego okręgu ma długość 12 centymetrów.

Do wyznaczenia pola pierścienia kołowego wystarczy obliczyć pole koła o średnicy $12$ , a następnie odjąć od niego pole koła o promieniu $2$ , czyli $P = P_{1} - P_{2}$ .

Wprowadźmy oznaczenia:

$r_{1} = \frac{12}{2} cm = 6 cm$ oraz $r_{2} = 2 cm$ .

Zatem:

$P_{1} = π \cdot 6^{2} = 36 π {cm}^{2}$ ,

$P_{2} = π \cdot 2^{2} = 4 π {cm}^{2}$ .

Pole pierścienia kołowego wynosi:

$P = 36 π {cm}^{2} - 4 π {cm}^{2} = 32 π {cm}^{2}$ .

Przykład 7

Obliczymy, o ile procent zmieni się pole koła, jeżeli jego średnicę wydłużymy o $20 %$ .

Wprowadźmy oznaczenia:

$d_{1}$ – średnica koła przed wydłużeniem,

$P_{1}$ – pole koła o średnicy $d_{1}$ ,

$d_{2}$ – średnica koła po wydłużeniu,

$P_{2}$ – pole koła o średnicy $d_{2}$ .

Zatem:

$d_{2} = 120 % \cdot d_{1} = 1, 2 d_{1}$

$P_{1} = π \cdot {(\frac{d_{1}}{2})}^{2} = \frac{{d_{1}}^{2}}{4} π$

$P_{2} = π \cdot {(\frac{d_{2}}{2})}^{2} = π \cdot {(\frac{1, 2 d_{1}}{2})}^{2} = π \cdot \frac{9}{25} {d_{1}}^{2}$

$\frac{P_{2}}{P_{1}} = \frac{π \cdot \frac{9 {d_{1}}^{2}}{25}}{π \cdot \frac{{d_{1}}^{2}}{4}} = \frac{36}{25} = 144 %$ .

Ponieważ pole $P_{2}$ stanowi $144 %$ pola $P_{1}$ , zatem pole koła po zwiększeniu jego średnicy o $20 %$ zwiększyło się o $44 %$ .

Przykład 8

Który wariant zamówienia pizzy jest bardziej opłacalny?

RgoNXlqpiCfLc

Ilustracja przedstawia dwie pizze z lewej strony większą, z prawej mniejszą.

$I$ : duża pizza o promieniu $50 cm$ za $38 zł$ ,

$II$ : mała pizza o promieniu $25 cm$ za $19 zł$ .

Wprowadźmy oznaczenia:

$r_{1} = 50 cm$ ,

$r_{2} = 25 cm$ .

Zatem

$P_{1} = π \cdot {(50 cm)}^{2} = 2500 π {cm}^{2}$ ,

$P_{2} = π \cdot {(25 cm)}^{2} = 625 π {cm}^{2}$ .

Zauważmy, że $P_{1} = 4 \cdot P_{2}$ , a cena dużej pizzy jest $2$ razy większa od ceny małej pizzy, zatem bardziej opłacalny jest zakup dużej pizzy.

Słownik

koło

zbiór punktów płaszczyzny odległych o nie więcej niż ustaloną długość od punktu nazywanego środkiem koła

Wprowadzenie

Gra edukacyjna

Koło na płaszczyźnie

Słownik