Podobnie jak w przypadku różnych języków na przestrzeni lat powstawały różne systemy liczbowe. Najbardziej znany i codziennie wykorzystywany jest dziesiętny system liczbowy, a więc taki, w którym do zapisywania liczb używamy 10 różnych cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Jest to jeden z wielu systemów pozycyjnych, czyli metod zapisywania liczb tak, by pozycja cyfry w ciągu oznaczała wielokrotność potęgi liczby będącej podstawąpodstawa systemu liczbowegopodstawą tego systemu. W przypadku dziesiętnego systemu liczbowego (ang. decimal numeral system) podstawą jest liczba 10, w związku z tym zapis „153” otrzymujemy obliczając sumę wartości na kolejnych pozycjach:

System dziesiętny a dwójkowy

Systemem używanym powszechnie w informatyce jest dwójkowy system liczbowy, nazywany również binarnym. Podobnie jak system dziesiętny, jest on systemem pozycyjnym. Do zapisania każdej liczby w tym systemie możemy użyć tylko dwóch cyfr: 0 i 1, a podstawą jest liczba 2.

Jak w takim razie zinterpretować „153” w systemie binarnym, skoro do dyspozycji mamy tylko dwie cyfry 0 i 1?

Musimy dokonać konwersji tej liczby pomiędzy dwoma systemami. Taką operację możemy porównać do tłumaczenia słowa z jednego języka na inny.

Funkcje wbudowane

Większość języków programowania posiada gotowe funkcje do przeprowadzania konwersji pomiędzy różnymi systemami liczbowymi. W języku Python możemy wykorzystać wbudowaną funkcję bin( ).

Wykorzystaj kod napisany poniżej i sprawdź, jakie wyniki otrzymasz dla różnych liczb.

n = 153			# Do zmiennej n przypisz liczbę 153
print(bin(n))	# Zapisz i wydrukuj liczbę w postaci binarnej

Wiemy już zatem, jak zaprezentować naszą liczbę w systemie binarnym:

Czy potrzebna jest nam zatem wiedza, jak dokonywać konwersji ręcznie? Wiedza ta może przydać się między innymi podczas programowania mikrokontrolerówmikrokontrolermikrokontrolerów, ale również posłuży nam jako podstawa do nauki bardziej skomplikowanych systemów liczbowych używanych w informatyce.

Konwersja

„Tłumaczenie” liczby dziesiętnej zaczynamy od poszukiwania największej potrzebnej wielokrotności podstawy systemu, czyli 2.

Wypiszmy kolejne potęgi liczby 2:

Widzimy zatem, że nasza liczba 153Indeks dolny (10)₍₁₀₎ znajduje się w następującym przedziale:

To oznacza, że żeby zapisać liczbę 153Indeks dolny (10),_(10), będziemy potrzebować aż 8 cyfr w systemie dwójkowym.

Analogiczne do systemu dziesiętnego musimy sprawdzić, jaka wielokrotność potęgi dwójki pojawi się na danej pozycji. W przypadku systemu dwójkowego zadanie jest ułatwione, ponieważ każda pozycja może przyjąć tylko dwie wartości: 0 i 1. Zaczynając od najwyżej wartości widzimy zatem, że:

Pierwszą cyfrą naszej liczby w systemie binarnym jest zatem 1. Odejmijmy tę wartość od początkowej liczby, żeby zobaczyć, jaka jest pozostała wartość, którą potrzebujemy przekonwertować.

Ponieważ w wartości 25 nie jesteśmy w stanie „zmieścić” kolejnej potęgi o wartości 64, ta pozycja przyjmie wartość 0. Ta sama sytuacja powtórzy się w przypadku następnej pozycji o wartości 32, więc ta pozycja również przyjmie wartość 0.

Kolejna potęga, czyli 2Indeks górny 4⁴ ma wartość 16, 25 jest większe od 16 więc:

Teraz odejmijmy tę wartość od 25 i otrzymamy:

W następnym kroku stwierdzamy, że 9 jest większe od kolejnej potęgi, czyli 2Indeks górny 3³, zatem wykonajmy znane nam już czynności:

Dokończmy obliczenia dla pozostałych cyfr:

Widzimy, że po zapisaniu cyfry na ostatniej pozycji pozostała wartość wyniosła zero. Oznacza to, że udało nam się poprawnie dokonać konwersji pomiędzy systemem dziesiętnym i dwójkowym. Wykonane operacje możemy zatem zapisać jako następującą sumę:

Optymalizacja

Skoro wykonywane obliczenia są powtarzalne, chcąc dokonać konwersji pisząc algorytm można wykorzystać pętlę. Możemy zauważyć, że wykonując obliczenia w przypadku liczby 153Indeks dolny (10)₍₁₀₎ dzieliliśmy je poprzez kolejne potęgi liczby 2, aby sprawdzić, czy się w nich „zmieszczą”. Przyjrzyjmy się zatem, jak wyglądałby początek konwersji, jeśli użyjemy tej metody:

Liczba w części całkowitej prawidłowo wskazuje wartości kolejnych pozycji w systemie binarnym. Wciąż mamy jednak część dziesiętną, która przechowuje wartościowe informacje. Dlaczego? Spójrzmy na poniższe działania zapisane w postaci ułamków prostych:

Możemy zauważyć, że część ułamkowa, będąca resztą z dzielenia, zawiera w sobie informację potrzebną nam w kolejnym kroku działania, a część dziesiętna zawiera kolejne cyfry rozwinięcia binarnego.

Do znajdowania kolejnych cyfr liczby w systemie dwójkowym możemy wykorzystać działanie modulo 2, czyli obliczanie reszty z dzielenia przez podstawę systemu liczbowego.

Nasz algorytm możemy zapisać przy pomocy następującego pseudokodu:

while n > 0 do
	wynik = n mod 2 + wynik
	n = n / 2

Gdzie n jest konwertowaną liczbą dziesiętną, mod operacją wyznaczania reszty z dzielenia, a znak „/” oznacza dzielenie całkowite.

Słownik