Przeczytaj

Niech $B_{1}$ , $B_{2}$ , $\dots$ , $B_{n}$ będzie układem wzajemnie wykluczających się zdarzeń należących do tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych, z których przynajmniej jedno musi zajść. Prawdopodobieństwo zajścia każdego z tych zdarzeń niech będzie dodatnie.

Niech $A$ oznacza zdarzenie o dodatnim prawdopodobieństwie, które może zajść wyłącznie z jednym ze zdarzeń $B_{1}$ , $B_{2}$ , $\dots$ , $B_{n}$ .

Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe wynika, że jeśli $A \subset Ω$ i $B \subset Ω$ oraz:

$P (B) > 0$ to $P (A \cap B) = P (A ∖ B) \cdot P (B)$ ,

$P (A) > 0$ to $P (A \cap B) = P (B ∖ A) \cdot P (A)$ .

Korzystając z powyższego dla zdarzeń $A$ i $B_{i}$ , gdzie $i = 1$ , $2$ , $\dots$ , $n$ , możemy zapisać równość:

P (B_{i} ∖ A) \cdot P (A) = P (A ∖ B_{i}) \cdot P (B_{i})

I przekształcić tę równość równoważnie.

P (B_{i} ∖ A) = \frac{P (A ∖ B_{i}) \cdot P (B_{i})}{P (A)}

Do prawej strony równości stosujemy wzór na prawdopodobieństwo całkowite.

P (B_{i} ∖ A) = \frac{P (A ∖ B_{i}) \cdot P (B_{i})}{P (A ∖ B_{1}) \cdot P (B_{1}) + \dots + P (A ∖ B_{n}) \cdot P (B_{n})}

Otrzymaną zależność nazywamy wzorem Bayesa.

Prawdopodobieństwo $P (B_{i})$ nazywane jest czasem prawdopodobieństwem a priori, a prawdopodobieństwo $P (B_{i} ∖ A)$ nazywamy prawdopodobieństwem a posteriori, gdyż określa ono szansę zajścia zdarzenia $B_{i}$ po zaobserwowaniu zajścia zdarzenia $A$ . Wzór Bayesawzór BayesaWzór Bayesa stosujemy więc głównie wtedy, gdy znamy wynik doświadczenia i pytamy o jego przebieg.

Sformułujemy wzór Bayesa w postaci najczęściej używanej – ograniczymy się tylko do trzech zdarzeń $A$ , $B_{1}$ , $B_{2}$ .

Wzór Bayesa, reguła Bayesa

Twierdzenie: Wzór Bayesa, reguła Bayesa

Niech $Ω$ będzie zbiorem wszystkich wyników pewnego doświadczenia, a $B_{1} \subset Ω$ , $B_{2} \subset Ω$ zdarzeniami o dodatnich prawdopodobieństwach, takimi że $B_{1} \cup B_{2} = Ω$ oraz $B_{1} \cap B_{2} = \emptyset$ . Wówczas dla dowolnego zdarzenia $A \subset Ω$ o dodatnim prawdopodobieństwie, prawdziwy jest wzór:

P (B_{1} ∖ A) = \frac{P (B_{1}) \cdot P (A ∖ B_{1})}{P (A ∖ B_{1}) \cdot P (B_{1}) + P (A ∖ B_{2}) \cdot P (B_{2})}

Przykład 1

Niech $B$ będzie zdarzeniem – dana osoba nosi okulary, $A$ niech będzie zdarzeniem – dana osoba ma zielone oczy. Wtedy zdarzenie $B ∖ A$ – osoba nosząca okulary wśród osób mających zielone oczy, zdarzenie $A ∖ B$ – osoba mająca zielone oczy wśród osób noszących okulary.

Po zbadaniu pewnej grupy osób stwierdzono, że dla tej grupy osób $P (A) = 0, 1$ , $P (B) = 0, 2$ i $P (B ∖ A) = 0, 6$ . Obliczymy $P (A ∖ B)$ .

Korzystamy ze wzoru Bayesa.

$P (A ∖ B) = \frac{P (B ∖ A) \cdot P (A)}{P (B)}$

$P (A ∖ B) = \frac{0, 6 \cdot 0, 1}{0, 2} = 0, 3$ .

Przykład 2

Matematykę lubi co piąty uczeń klasy pierwszej, co czwarty uczeń klasy drugiej i co drugi uczeń klasy trzeciej. Z grupy uczniów składającej się z $10$ uczniów klasy pierwszej, $10$ uczniów klasy drugiej i $10$ uczniów klasy trzeciej wybrano jedną osobę.

Obliczymy prawdopodobieństwo, że wybrana osoba lubi matematykę.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że był to uczeń klasy drugiej, jeżeli wiadomo, że wybrana osoba lubi matematykę?

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na tym, że wybrany uczeń jest z klasy pierwszej,
$B$ – zdarzenia polegające na tym, że wybrany uczeń jest z klasy drugiej,
$C$ – zdarzenie polegające na tym, że wybrany uczeń jest klasy trzeciej,
$M$ – zdarzenie polegające na tym, że wybrany uczeń lubi matematykę.

Zauważmy, że zdarzenia $A$ , $B$ , $C$ tworzą zupełny układ zdarzeń oraz $A \cup B \cup C = Ω$ . Możemy więc zastosować twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym.

$P (M) = P (A) \cdot P (M ∖ A) + P (B) \cdot P (M ∖ B) + P (C) \cdot P (M ∖ C)$

$P (M) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{19}{60}$

Ponieważ $P (M) > 0$ , to możemy zastosować twierdzenie Bayesa.

$P (B ∖ M) = \frac{P (B) \cdot P (M ∖ B)}{P (A) \cdot P (M ∖ A) + P (B) \cdot P (M ∖ B) + P (C) \cdot P (M ∖ C)}$

$P (B ∖ M) = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{5}{19}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że wybrana osoba lubi matematykę jest równe $\frac{19}{60}$ . Prawdopodobieństwo, że wybrana osoba była uczniem klasy drugiej, jeżeli wiadomo, że wybrana osoba lubi matematykę jest równe $\frac{5}{19}$ .

Przykład 3

W biegach przełajowych startują zawodnicy tylko z dwóch klubów. Zawodnicy z klubu Niezwyciężeni stanowią $30 %$ wszystkich zawodników, a pozostali zawodnicy są z klubu Niepokonani. Wśród Niezwyciężonych jest połowa kobiet, a wśród Niepokonanych tylko $10 %$ to kobiety. W sposób losowy ze wszystkich zawodników wybrano jedną osobę, okazało się, że jest to kobieta. Obliczymy prawdopodobieństwo, że jest ona zawodniczką z klubu Niezwyciężeni.

Oznaczmy:
$A$ – wybrana osoba to kobieta,
$B_{1}$ – wybrana osoba jest z klubu Niezwyciężeni,
$B_{2}$ – wybrana osoba jest z klubu Niepokonani.

Na podstawie treści zadania możemy zapisać:

$P (B_{1}) = 0, 3$

$P (B_{2}) = 1 - 0, 3 = 0, 7$

$P (A ∖ B_{1}) = 0, 5$

$P (A ∖ B_{2}) = 0, 1$

Korzystamy ze wzoru Bayesa.

$P (B_{1} ∖ A) = \frac{P (B_{1}) \cdot P (A ∖ B_{1})}{P (A ∖ B_{1}) \cdot P (B_{1}) + P (A ∖ B_{2}) \cdot P (B_{2})}$

$P (B_{1} ∖ A) = \frac{0, 3 \cdot 0, 5}{0, 5 \cdot 0, 3 + 0, 1 \cdot 0, 7} = \frac{0, 15}{0, 22} \approx 0, 68$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo tego, że wylosowana kobieta jest zawodniczką z klubu Niezwyciężeni jest równe około $0, 68$ .

Przykład 4

Na pierwszym klombie rośnie $99$ bratków i jedna stokrotka. Na drugim klombie rośnie $99$ stokrotek i jeden bratek. Rzucamy kostką do gry. Jeśli wypadnie trójka, Anka zrywa kwiat z pierwszego klombu. W pozostałych przypadkach zrywa kwiat z drugiego klombu. Nie znamy wyniku rzutu kostką, ale wiemy, że Anka zerwała bratek. Wyznaczymy prawdopodobieństwo tego, że Anka zerwała kwiat z pierwszego klombu.

Oznaczmy:
$B$ – zdarzenie polegające na tym, że Anka zerwała bratek,
$A$ – zdarzenie polegające na zerwaniu kwiatu z pierwszego klombu,
$C$ – zdarzenie polegające na zerwaniu kwiatu z drugiego klombu.

Wtedy:

$P (A) = \frac{1}{6}$ , $P (C) = \frac{5}{6}$ – wybór klombu

$P (B ∖ A) = \frac{99}{100}$ , $P (B ∖ C) = \frac{1}{100}$ – wybór bratka

Chcemy obliczyć $P (A ∖ B)$ .

Korzystamy ze wzoru Bayesa.

$P (A ∖ B) = \frac{P (B ∖ A) \cdot P (A)}{P (B ∖ A) \cdot P (A) + P (B ∖ C) \cdot P (C)}$

$P (A ∖ B) = \frac{\frac{99}{100} \cdot \frac{1}{6}}{\frac{99}{100} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{100} \cdot \frac{5}{6}} = \frac{\frac{33}{200}}{\frac{104}{600}} = \frac{99}{104}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo tego, że Anka zerwała kwiat z pierwszego klombu jest równe $\frac{99}{104}$ .

Przykład 5

Test na obecność pewnego wirusa daje wynik pozytywny z prawdopodobieństwem $0, 84$ , a negatywny z prawdopodobieństwem $0, 16$ , jeśli wirus jest w organizmie.

Jeśli wirusa w organizmie nie ma, prawdopodobieństwo wyniku pozytywnego jest równe $0, 04$ . Zakłada się, że $1 %$ populacji zarażonych jest tym wirusem. Obliczymy prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba jest istotnie zarażona wirusem, jeżeli wiadomo, że test dał wynik pozytywny.

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na tym, że test dał wynik pozytywny,
$B_{1}$ – zdarzenie polegające na tym, że wirus jest w organizmie,
$B_{2}$ – zdarzenie polegające na tym, że wirusa nie ma w organizmie,

Korzystając z treści zadania, zapisujemy odpowiednie prawdopodobieństwa.

$P (B_{1}) = 0, 01$

$P (B_{2}) = 0, 99$

$P (A ∖ B_{1}) = 0, 84$

$P (A ∖ B_{2}) = 0, 04$

Wyznaczone liczby podstawiamy do wzoru Bayesa.

$P (B_{1} ∖ A) = \frac{P (A ∖ B_{1}) \cdot P (B_{1})}{P (A ∖ B_{1}) \cdot P (B_{1}) + P (A ∖ B_{2}) \cdot P (B_{2})}$

$P (B_{1} ∖ A) = \frac{0, 84 \cdot 0, 01}{0, 84 \cdot 0, 01 + 0, 99 \cdot 0, 04} = 0, 175$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana osoba jest istotnie zarażona wirusem, jeżeli test dał wynik pozytywny, jest równe $0, 175$ .

Słownik

wzór Bayesa

niech $Ω$ będzie zbiorem wszystkich wyników pewnego doświadczenia, a $B_{1} \subset Ω$ , $B_{2} \subset Ω$ zdarzeniami o dodatnich prawdopodobieństwach, takimi że $B_{1} \cup B_{2} = Ω$ oraz $B_{1} \cap B_{2} = \emptyset$ ; wówczas dla dowolnego zdarzenia $A \subset Ω$ o dodatnim prawdopodobieństwie, prawdziwy jest wzór:

P (B_{1} ∖ A) = \frac{P (B_{1}) \cdot P (A ∖ B_{1})}{P (A ∖ B_{1}) \cdot P (B_{1}) + P (A ∖ B_{2}) \cdot P (B_{2})}

Wprowadzenie

Animacja

Słownik