Obliczymy wartości wyrażeń:

${\displaystyle 0,4^{\frac{1}{2}}\cdot {1000}^{\frac{1}{2}}={\left(\mathrm{0,4}\cdot 1000\right)}^{\frac{1}{2}}={400}^{\frac{1}{2}}=20}$

${\displaystyle {12}^{\frac{2}{3}}\cdot {18}^{\frac{2}{3}}={\left(12\cdot 18\right)}^{\frac{2}{3}}={\left(3\cdot 2^2\cdot 2\cdot 3^2\right)}^{\frac{2}{3}}={\left(2^3\cdot 3^3\right)}^{\frac{2}{3}}={\left({\left(2\cdot 3\right)}^3\right)}^{\frac{2}{3}}=}$

${\displaystyle =6^{3\cdot \frac{2}{3}}=6^2=36}$

${\displaystyle {\left(\frac{2}{3}\right)}^{\frac{4}{3}}:{\left(\frac{9}{4}\right)}^{\frac{4}{3}}={\left(\frac{2}{3}:\frac{9}{4}\right)}^{\frac{4}{3}}={\left(\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{9}\right)}^{\frac{4}{3}}={\left(\frac{8}{27}\right)}^{\frac{4}{3}}={\left(\frac{2}{3}\right)}^4=\frac{16}{81}}$

Przekształcimy wyrażenia:

${\displaystyle {\left(2^{\frac{1}{2}}+3^{\frac{1}{2}}\right)}^2=\left(2^{\frac{1}{2}}+3^{\frac{1}{2}}\right)\left(2^{\frac{1}{2}}+3^{\frac{1}{2}}\right)=2^{\frac{1}{2}}·\left(2^{\frac{1}{2}}+3^{\frac{1}{2}}\right)+3^{\frac{1}{2}}·\left(2^{\frac{1}{2}}+3^{\frac{1}{2}}\right)=}$

${\displaystyle =2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{2}}+3^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{2}}+3^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{2}}=}$

${\displaystyle =2+2^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{2}}+3=5+2\cdot 2^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{2}}=5+2\cdot 6^{\frac{1}{2}}=5+2\sqrt{6}}$

${\displaystyle {\left(5^{\mathrm{1,5}}-3^{\mathrm{1,5}}\right)}^2=\left(5^{\mathrm{1,5}}-3^{\mathrm{1,5}}\right)\left(5^{\mathrm{1,5}}-3^{\mathrm{1,5}}\right)=}$

${\displaystyle =5^{\mathrm{1,5}}·\left(5^{\mathrm{1,5}}-3^{\mathrm{1,5}}\right)-3^{\mathrm{1,5}}·\left(5^{\mathrm{1,5}}-3^{\mathrm{1,5}}\right)=}$

${\displaystyle =5^{\mathrm{1,5}}\cdot 5^{\mathrm{1,5}}-5^{\mathrm{1,5}}\cdot 3^{\mathrm{1,5}}-3^{\mathrm{1,5}}\cdot 5^{\mathrm{1,5}}+3^{\mathrm{1,5}}\cdot 3^{\mathrm{1,5}}=}$

${\displaystyle =5^3-5^{\mathrm{1,5}}\cdot 3^{\mathrm{1,5}}-5^{\mathrm{1,5}}\cdot 3^{\mathrm{1,5}}+3^3=125-2\cdot {15}^{\mathrm{1,5}}+27=152-2\cdot {15}^{\mathrm{1,5}}=}$

${\displaystyle =152-2\cdot {15}^{\frac{3}{2}}=152-2\cdot {\left(\sqrt{15}\right)}^3=152-2\cdot 15\sqrt{15}=152-30\sqrt{15}}$

Potęgi o równych podstawach, które są liczbami dodatnimi różnymi od $1$, są równe dokładnie wtedy, gdy mają równe wykładniki.

Wyznaczymy liczbę $x$, dla której $2^x\cdot 3^x=36$.

Korzystając z własności potęgowania możemy równanie przekształcić do postaci:

${\left(2\cdot 3\right)}^x=36$

$6^x=6^2$

Na mocy twierdzenia o równości potęgtwierdzenie o równości potęgtwierdzenia o równości potęg możemy zauważyć, że $x=2$.

Wyznaczymy liczbę $x$, dla której ${\displaystyle \frac{3^x\cdot {15}^x}{5^x}=3}$.

Korzystając z własności potęgowania, możemy równanie przekształcić do postaci:

${\displaystyle \frac{{\left(3\cdot 15\right)}^x}{5^x}=3}$

${\displaystyle {\left(\frac{3\cdot 15}{5}\right)}^x=3}$

$9^x=3$

${\displaystyle 9^x=9^{\frac{1}{2}}}$

Na mocy twierdzenia o równości potęg możemy zauważyć, że ${\displaystyle x=\frac{1}{2}}$.

Obliczymy stosując prawa działań na potęgach:

${\displaystyle 5^{12}\cdot 2^{10}:{10}^{10}=5^2\cdot 5^{10}\cdot 2^{10}:{10}^{10}=5^2\cdot {\left(5\cdot 2\right)}^{10}:{10}^{10}=25\cdot {10}^{10}:{10}^{10}=}$

${\displaystyle =25\cdot {\left(10:10\right)}^{10}=25\cdot 1^{10}=25}$

${\displaystyle {\left(3^{10}\right)}^2:6^{19}\cdot 2^{18}=3^{20}:6^{19}\cdot 2^{18}=\frac{3^{20}\cdot 2^{18}}{6^{19}}=\frac{3^2\cdot 3^{18}\cdot 2^{18}}{6\cdot 6^{18}}=}$

${\displaystyle =\frac{9}{6}\cdot {\left(\frac{3\cdot 2}{6}\right)}^{18}=\frac{3}{2}\cdot 1^{18}=\mathrm{1,5}}$

Obliczymy stosując prawa działań na potęgach:

$8^{-7}:{\left(\mathrm{1,6}\right)}^{-7}:5^{-6}={\left(8:\mathrm{1,6}\right)}^{-7}:5^{-6}=5^{-7}:5^{-6}=5^{-7-\left(-6\right)}=5^{-7+6}=5^{-1}=\frac{1}{5}$

${\left(\mathrm{0,5}\right)}^{-6}\cdot 2^{-6}+{\left(\mathrm{0,125}\right)}^{-5}\cdot 2^{-15}={\left(\mathrm{0,5}\cdot 2\right)}^{-6}+{\left(\mathrm{0,125}\right)}^{-5}\cdot {\left(2^3\right)}^{-5}=$

$=1^{-6}+{\left(\mathrm{0,125}\right)}^{-5}\cdot 8^{-5}=1+{\left(\mathrm{0,125}\cdot 8\right)}^{-5}=$

$=1+1^{-5}=1+1=2$

Rozwiążemy równanie $3^x-2^x=7\cdot 3^{x-2}-2^{x-2}$.

Możemy wykonać kolejne przekształcenia:

$3^x-2^x=7\cdot 3^{x-2}-2^{x-2}$

Od obu stron równania odejmujemy $7\cdot 3^{x-2}$, do obu stron równania dodajemy $2^x$:

$3^x-7\cdot 3^{x-2}=2^x-2^{x-2}$

Korzystamy ze wzoru na iloczyn potęg o tych samych podstawach, aby zamienić $3^x=3^2\cdot 3^{x-2}$ oraz $2^x=2^2\cdot 2^{x-2}$:

$3^2\cdot 3^{x-2}-7\cdot 3^{x-2}=2^2\cdot 2^{x-2}-2^{x-2}$

$9\cdot 3^{x-2}-7\cdot 3^{x-2}=4\cdot 2^{x-2}-2^{x-2}$

Wykonujemy redukcję wyrazów podobnych:

$2\cdot 3^{x-2}=3\cdot 2^{x-2}$

Dzielimy obie strony równania przez $3$ oraz przez $3^{x-2}$:

${\displaystyle \frac{2}{3}=\frac{2^{x-2}}{3^{x-2}}}$

Korzystamy ze wzoru na iloraz potęg o tych samych wykładnikach:

${\displaystyle {\left(\frac{2}{3}\right)}^1={\left(\frac{2}{3}\right)}^{x-2}}$

Korzystamy z twierdzenia o równości potęg:

$1=x-2$

$x=3$

własność potęgowania, która orzeka, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ oraz dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi równość ${\left(a\cdot b\right)}^x=a^x\cdot b^x$; jeżeli rozważamy potęgi o wykładnikach całkowitych, wówczas podstawy potęg mogą być dowolnymi liczbami różnymi od zera

własność potęgowania, która orzeka, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ oraz dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi równość ${\left(a:b\right)}^x=a^x:b^x$; jeżeli rozważamy potęgi o wykładnikach całkowitych, wówczas podstawy potęg mogą być dowolnymi liczbami różnymi od zera

(inaczej: różnowartościowość funkcji wykładniczej) jeżeli potęgi o równych podstawach, które są liczbami dodatnimi i różnymi od $1$, są równe, to ich wykładniki również są równe; zatem dla liczby $a>0$ i $a\ne 1$, jeżeli $a^x=a^y$, to $x=y$