Przeczytaj

Długość wektora

Przypomnijmy, że długość wektoradługość wektoradługość wektora to odległość jego początku od końca.

Rozważmy trzy przykłady różniące się położeniem początku i końca wektora względem zera na osi. W każdym z nich wyznaczymy długości danych wektorów.

Początek i koniec wektora mają współrzędne dodatnie

Przykład 1

Początek i koniec wektora mają współrzędne dodatnie. Niech $A = (3, 5)$ , $B = (7, 5)$ .

R1L0BrFps5Jm5

Rysunek przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do ośmiu z zaznaczonymi punktami A o współrzędnej 3,5 oraz B o współrzędnej 7,5. Pod osią narysowana jest pozioma klamra od punktu A do punktu B. Klamra opisana jest cyfrą 4, czyli długością fragmentu osi między punktami A i B.

Wówczas długość wektora $\vec{A B}$ można obliczyć następująco $|\vec{A B}| = 7, 5 - 3, 5 = 4$ .

Oczywiście $|\vec{A B}| = |\vec{B A}|$ . Zauważmy ponadto, że $|\vec{A B}| = |3, 5 - 7, 5| = |- 4| = 4$ .

Początek i koniec wektora mają współrzędne o różnych znakach

Przykład 2

Początek i koniec wektora mają współrzędne o różnych znakach. Niech $A = (- 2)$ , $B = (3, 5)$ .

R1ZscMoMgHLZs

Rysunek przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do ośmiu z zaznaczonymi punktami A o współrzędnej minus 2 oraz B o współrzędnej 3,5. Pod osią narysowana jest pozioma klamra od punktu A do punktu B. Klamra opisana jest liczbą 5,5, czyli długością fragmentu osi między punktami A i B.

Wówczas długość wektora $\vec{A B}$ można obliczyć następująco $|\vec{A B}| = 3, 5 + 2 = 5, 5 = 3, 5 - (- 2)$ . Oczywiście $|\vec{A B}| = |\vec{B A}|$ . Zauważmy ponadto, że $|\vec{A B}| = |- 2 - 3, 5| = |- 5, 5| = 5, 5$ .

Początek i koniec wektora mają współrzędne ujemne

Przykład 3

Początek i koniec wektora mają współrzędne ujemne. Niech $A = (- 4, 5)$ , $B = (- 1, 5)$ .

R1cBLTifZjjd6

Rysunek przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do ośmiu z zaznaczonymi punktami A o współrzędnej minus 4,5 oraz B o współrzędnej minus 1,5. Pod osią narysowana jest pozioma klamra od punktu A do punktu B. Klamra opisana jest liczbą 3, czyli długością fragmentu osi między punktami A i B.

Wówczas długość wektoradługość wektoradługość wektora $\vec{A B}$ można obliczyć następująco $|\vec{A B}| = - 1, 5 + 4, 5 = 3 = - 1, 5 - (- 4, 5)$ . Oczywiście $|\vec{A B}| = |\vec{B A}|$ . Zauważmy ponadto, że $|\vec{A B}| = |- 4, 5 - (- 1, 5)| = |- 3| = 3$ .

Ważne!

Zwróćmy uwagę, że niezależnie od tego jak względem zera położone są początek $A = (x_{1})$ i koniec $B = (x_{2})$ wektora $\vec{A B}$ , aby wyznaczyć jego długość wystarczy obliczyć wartość bezwzględną różnicy współrzędnych końca i początku tego wektora, czyli $|\vec{A B}| = |x_{2} - x_{1}| = |x_{1} - x_{2}|$ .

Długość wektora na osi

Równoważnie możemy powiedzieć, że długość wektora na osidługość wektora na osidługość wektora na osi jest równa wartości bezwzględnej jego współrzędnej, czyli dla $\vec{u} = [a]$ mamy $\vec{|u|} = [a]$ . Oczywiście długość wektora zerowego jest równa zero.

Przykład 4

Wyznaczymy punkt $B$ , aby wektor $\vec{A B}$ , gdzie $B = (3)$ , miał długość $5$ .

Niech $A = (a)$ . Wówczas $|\vec{A B}| = |3 - a| = 5$ . Z definicji wartości bezwzględnej wynika, że $3 - a = 5$ lub $3 - a = - 5$ , czyli $a = - 2$ lub $a = 8$ . Zatem istnieją dwa punkty spełniające warunki zadania $A_{1} = - 2$ i $A_{2} = 8$ .

RqsfcbaqPwUHh

Rysunek przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do ośmiu z zaznaczonymi punktami A 1 o współrzędnej minus 2, B o współrzędnej 3 oraz A 2 o współrzędnej 8. Z punktu A 1 do punktu B narysowana jest żółta strzałka z grotem skierowanym w stronę punktu B. Pod osią narysowana jest pozioma klamra od punktu A 1 do punktu B. Klamra opisana jest liczbą 5, czyli długością wektora A 1 B. Z punktu A 2 do punktu B narysowana jest niebieska strzałka z grotem skierowanym w stronę punktu B. Pod osią narysowana jest pozioma klamra od punktu B do punktu A 2. Klamra opisana jest liczbą 5, czyli długością wektora A 2 B.

Zauważmy ponadto, że wektory $\vec{A_{1} B}$ i $\vec{A_{2} B}$ są wektorami przeciwnymi.

Przykład 5

Dla $A = 2 m$ , $B = (m - 1)$ wyznaczymy takie wartości parametru $m$ , aby wektor $\vec{A B}$ miał długość $3$ .

Aby wektor $\vec{A B}$ miał długość $3$ wystarczy, aby był spełniony warunek

$\vec{A B} = |(m - 1) - 2 m| = 3$

$|- m - 1| = 3$

$- m - 1 = 3$ lub $- m - 1 = - 3$

$m = - 4$ lub $m = 2$

Dla $m = - 4$ mamy $A = (- 8)$ , $B = (- 5)$ , zaś dla $m = 2$ mamy $A = (4)$ , $B = (1)$ .

Słownik

długość wektora

odległość początku wektora od jego końca

długość wektora na osi

wartość bezwzględna współrzędnej wektora

Wprowadzenie

Infografika