Przeczytaj
Zadania optymalizacyjne z jednej strony wymagają za każdym razem indywidualnego podejścia, z drugiej mają pewien powtarzający się schemat postępowania.
Uzależnienie wszystkich potrzebnych wymiarów od jednej zmiennej
Wyznaczenie funkcji opisującej badaną wielkość (w tym materiale objętość bryły)
Wyznaczenie dziedziny otrzymanej funkcji
Obliczenie pochodnej otrzymanej funkcji
Wyznaczenie miejsc zerowych pochodnej
Uzasadnienie maksimum/minimum funkcji
Obliczenie największej/najmniejszej wartości funkcji
W stożek o promieniu podstawy i wysokości wpisano drugi stożek w taki sposób, że jego wierzchołek znajduje się w środku podstawy danego stożka (zobacz rysunek). Wyznaczymy największą możliwą objętość wpisanego stożka.
Rozwiązanie
Oznaczmy:
– promień dużego stożka,
– wysokość dużego stożka,
– promień wpisanego stożka,
– wysokość wpisanego stożka.
Z powyższych oznaczeń możemy zauważyć, że jeśli oraz , to . Trójkąty oraz są podobne (cecha KKK). Z podobieństwa
, tj. .
Wyliczając z powyższego równania otrzymujemy:
.
Zapiszmy wzór na objętość wpisanego stożka
.
Podstawiając wyliczoną wcześniej wielkość do wzoru opisującego objętość stożka otrzymujemy funkcję zmiennej :
.
Długości boków muszą być dodatnie, więc dziedziną jest
.
Wyznaczmy pochodną stosując wzór na pochodną iloczynu dwóch funkcjipochodną iloczynu dwóch funkcji
.
Uprościmy
.
Aby wyznaczyć miejsce zerowe pochodnej wystarczy znaleźć miejsca zerowe funkcji kwadratowej, która występuje w nawiasie.
W tym przypadku , więc i .
Wyliczając otrzymujemy oraz . Drugie miejsce zerowe nie należy do dziedziny.
Naszkicujemy wykres pochodnej.
Aby wyznaczyć ekstremum stworzymy tabelę, przedziały w tabeli są zależne od dziedziny oraz punktów, dla których pochodna się zeruje.
MAX |
Funkcja osiąga największą wartość dla . Zatem objętość stożka wpisanego jest możliwie największa, gdy promień wynosi . Wyznaczymy największą objętość .
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego wynosi . Wyznaczymy krawędź podstawy wiedząc, że jego objętość jest największa z możliwych.
Rozwiązanie
Oznaczmy:
– krawędź podstawy graniastosłupa,
– wysokość graniastosłupa.
W podstawie znajduje się sześciokąt. Możemy go podzielić na trójkątów równobocznych. Pole jednego trójkąta równobocznego wynosi . Zatem . Pole powierzchni całkowitej możemy zapisać . Podstawiając
.
Mamy zatem
.
Długości krawędzi muszą być dodatnie zatem . Mianownik jest większy od zera dlatego wystarczy by licznik też był dodatni zatem . Stąd . Dziedziną jest zbiór
.
Wyznaczymy wzór na objętość graniastosłupa
.
Podstawiając otrzymujemy
.
Wyznaczymy pochodną stosując wzór na pochodną iloczynu dwóch funkcjipochodną iloczynu dwóch funkcji
.
Miejscem zerowej pochodnej jest (drugie rozwiązanie jest ujemne więc pomijamy, ponieaż nie należy do dziedziny). Wyznaczone miejsce zerowe należy do dziedziny.
Naszkicujemy wykres funkcji.
Następnie wyznaczymy tabelkę.
MAX |
Funkcja osiąga największą wartość dla , zatem objętość graniastosłupa jest możliwie największa, gdy długość krawędzi podstawy wynosi .
Dany jest trapez równoramienny taki, że można w niego wpisać okrąg oraz suma miar podstaw wynosi . Dokonano obrotu trapezu wokół dłuższej podstawy. Wiedząc, że objętość otrzymanej bryły jest największa z możliwych wyznacz tą objętość.
Rozwiązanie
Oznaczmy:
– krótsza podstawa trapezu,
– dłuższa podstawa trapezu,
– ramię trapezu.
Z twierdzenia o czworokącie opisanym na okręgutwierdzenia o czworokącie opisanym na okręgu otrzymujemy .
Naszkicujemy figurę po obrocie.
Z rysunku możemy zauważyć, że po obrocie otrzymaliśmy dwa identyczne stożki oraz walec. Wyznaczymy wspólny promień podstawy tych brył z twierdzenia Pitagorasa
.
Kontunuując obliczenia
.
Otrzymujemy . Z treści zadania wiemy, że . Wyznaczając w zależności od otrzymujemy . Stąd otrzymujemy dziedzinę:
.
Zapiszmy wzory na objętości opierając się rysunkiem:
– objętość walca,
– objętość stożka.
Zauważmy, że , więc .
Ponadto
Objętość otrzymanej bryły wynosi , podstawiając wyznaczone wielkości do wzorów otrzymujemy:
.
Tym samym uzyskaliśmy funkcję zmiennej opisującą objętość otrzymanej bryły w zależności od krótszej podstawy trapezu.
Kontynuując
.
Wyznaczymy pochodną
.
Miejscem zerowym pochodnej jest oraz . Pierwsze miejsce zerowe nie należy do dziedziny, natomiast drugie należy.
Naszkicujemy wykres pochodnej.
Stworzymy tabelę.
MAX |
Zatem objętość naszej bryły jest możliwie największa, gdy krótsza podstawa trapezu ma długość . Wyznaczymy objętość .
Stożek został opisany na kuli o promieniu . Wiedząc, że objętość stożka jest najmniejsza z możliwych wyznaczymy tą objętość.
Rozwiązanie
Naszkicujmy przekrój osiowy.
Z treści zadania wynika, że . Możemy zaobserować, że trójkąty oraz są podobne (cecha KKK). Z podobieństwa mamy
, więc .
Z twierdzenia Pitagorasa . Podstawiając do wcześniej wyprowadzonego wzoru otrzymujemy, że
.
Podnosząc obustronnie do kwadratu oraz wyznaczając otrzymujemy
.
Wyznaczmy dziedzinę
.
Wyznaczymy wzór na objętość stożka . Po podstawieniu za wcześniej wyznaczonego wyrażenia otrzymujemy funkcję zmiennej opisującą objętość otrzymanego stożka.
.
Po przekształceniach otrzymujemy
.
Wyznaczymy pochodną
.
Aby wyznaczyć miejsce zerowe pochodnej, wystarczy licznik przyrównać do zera. Otrzymujemy oraz . Pierwsze miejsce zerowe nie należy do dziedziny.
Naszkicujemy wykres pochodnej.
Stworzymy tabelę.
MIN |
Zatem rozważany stożek osiąga najmniejszą objętość dla . Wyznaczymy najmniejszą objętość .
Słownik
jeśli obie funkcje , są różniczkowalne, to pochodną iloczynu tych funkcji obliczamy według wzoru:
czworokąt wypukły można opisać na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków są sobie równe