Funkcję liczbową $f:D\to \mathrm{ℝ}$, określoną w zbiorze $D$, nazywamy różnowartościową, gdy dla każdych dwóch argumentów $x_1$, $x_2\in D$ takich, że $x_1\ne x_2$ spełniony jest warunek $f\left(x_1\right)\ne f\left(x_2\right)$.

Zbadamy różnowartościowość funkcji $f\left(x\right)=4x-2$.

Rozwiązanie

Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, zatem $D=\mathrm{ℝ}$.

Weźmy dowolne argumenty $x_1$, $x_2\in D$ takie, że $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$.

Mamy: $4x_1-2=4x_2-2$, zatem $4x_1=4x_2$, stąd $x_1=x_2$, co oznacza, że funkcja jest różnowartościowa.

R1XgmabOxgD24

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią x od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano prostą o równaniu $y=4x-2$ biegnącą od minus nieskończoności przez punkt $\left(0;-3\right)$ do plus nieskończoności.

Zbadamy różnowartościowość funkcji $f\left(x\right)=\left|x\right|-3$.

Rozwiązanie

Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, $D=\mathrm{ℝ}$.

Weźmy dowolne $x_1$, $x_2\in D$ takie, że $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$

Mamy zatem: $\left|x_1\right|-3=\left|x_2\right|-3$, stąd: $\left|x_1\right|=\left|x_2\right|$, więc $x_1=x_2$ lub $x_1=-x_2$, co oznacza, że funkcja nie jest różnowartościowa, bo nie otrzymaliśmy tylko jednej pary liczb równych.

Wykres tej funkcji ilustruje, że $f\left(-3\right)=f\left(3\right)=0$, gdy $-3\ne 3$, co jest sprzeczne z definicją funkcji różnowartościowej.

RgHszlnTP6tEy

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią x od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji $y=\left|x\right|-3$ składający się z dwóch ukośnych półprostych. Od lewej mamy ukośną biegnącą od minus nieskończoności, przez punkt $\left(-3;0\right)$, o końcu w punkcie $\left(0;-3\right)$. Prawa ukośna ma początek w punkcie $\left(0;-3\right)$, biegnie przez punkt $\left(3;0\right)$ do plus nieskończoności.

Niech dana będzie funkcja $f\left(x\right)=2\sqrt{x-3}+5$. Zbadamy różnowartościowość tej funkcji.

Rozwiązanie

Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\left.⟨3,\infty \right)$.

Weźmy dowolne $x_1$, $x_2\in D$ takie, że $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$

Mamy: $2\sqrt{x_1-3}+5=2\sqrt{x_2-3}+5$, stąd $2\sqrt{x_1-3}=2\sqrt{x_2-3}$, co daje: $\sqrt{x_1-3}=\sqrt{x_2-3}$.

Obie strony równości podnosimy do kwadratu: $x_1-3=x_2-3$, zatem: $x_1=x_2$, co oznacza, że funkcja jest różnowartościowa.

R5sox0hWtScZ5

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią x od zera do dwunastu, oraz z pionową osią y od zera do dwunastu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji o równaniu $y=2\sqrt{x-3}+5$ w kształcie łuku. Początkiem wykresu funkcji jest w przybliżeniu punkt $\left(3;5\right)$ i biegnie do plus nieskończoności.

Zbadamy różnowartościowość funkcji $f\left(x\right)=\frac{x-1}{x+9}$.

Rozwiązanie

Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathrm{ℝ}\setminus \{-9\}$.

Weźmy dowolne $x_1$, $x_2\in D$ takie, że $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$.

Mamy $\frac{x_1-1}{x_1+9}=\frac{x_2-1}{x_2+9}$.

Przekształcając odpowiednio ułamek otrzymujemy: $\left(x_1-1\right)\left(x_2+9\right)=\left(x_1+9\right)\left(x_2-1\right)$, stąd $x_1{x}_2+9x_1-x_2-9=x_1{x}_2-x_1+9x_2-9$, po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy $10x_1=10x_2$, zatem $x_1=x_2$, co oznacza, że funkcja jest różnowartościowa.

RUVoH5Vlz5Y4h

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią x od minus szesnastu do czterech, oraz z pionową osią y od minus sześciu do dziesięciu. Na płaszczyźnie narysowano hiperbolę. Wykres ma asymptotę pionową o równaniu $x=-9$, oraz asymtpotę poziomą o równaniu $y=1$. Rówwnanie przedstawianego wykresu jest następujące $y=\frac{x-1}{x+9}$.

funkcja liczbowa, która dla różnych argumentów przyjmuje różne wartości