Przeczytaj
Na początek przypomnijmy, co to jest równanie liniowe i jak się je rozwiązuje.
Równaniem liniowym (lub równaniem stopnia) z niewiadomą nazywamy równanie, które da się zapisać w postaci:
gdzie oraz to ustalone liczby rzeczywiste.
Liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania, jeśli po jej podstawieniu w miejsce niewiadomej otrzymujemy prawdziwą równość.
Rozpatrzmy równanie . Rozstrzygniemy, która z liczb:
, , czy
jest jego rozwiązaniem.
Rozwiązanie
Zauważmy, że:
,
,
,
.
Zatem liczba jest rozwiązaniem tego równania.
Aby wyznaczyć wszystkie rozwiązania równania z jedną niewiadomą, przekształcamy je metodą przekształceń równoważnych, czyli takich, które nie zmieniają zbioru rozwiązań tego równania.
Dane równanie przekształcamy równoważnie, gdy:
do obu stron równania dodajemy (lub odejmujemy) to samo wyrażenie;
mnożymy (lub dzielimy) obie strony równania przez tę samą liczbę różną od zera;
pozbywamy się nawiasów, stosując prawo rozdzielności mnożenia (w szczególności - wzory skróconego mnożenia).
Przeniesienia wyrażenia z jednej strony równania na drugą dokonujemy ze zmianą znaku, co odpowiada odjęciu od obu stron równania tego samego wyrażenia. Jest to więc przekształcenie równoważne.
Rozwiążemy równanie .
Rozwiązanie
Najpierw pozbywamy się nawiasów, stosując prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania:
.
Następnie do obu stron dodajemy wyrażenie :
,
od obu stron odejmujemy liczbę :
,
i ostatecznie dzielimy obie strony równania przez :
.
Oznacza to, że dane równanie ma jedno rozwiązanie, .
Podobne przekształcenia, choć z jedną bardzo znaczącą różnicą, stosować można także w rozwiązywaniu nierówności z jedną niewiadomą.
Najprostszą z nich jest tzw. nierówność stopnia, zwana też nierównością liniową.
Nierównością liniową z niewiadomą nazywamy nierówność, którą można zapisać w jednej z następujących postaci:
gdzie oraz to ustalone liczby rzeczywiste.
Liczba rzeczywista jest rozwiązaniem nierówności z jedną niewiadomą , jeśli po podstawieniu tej liczby w miejsce , otrzymujemy nierówność prawdziwą. Mówimy też wtedy, że liczba ta spełnia daną nierówność. Zbiór wszystkich liczb, które są rozwiązaniem danej nierówności, nazywamy zbiorem rozwiązań tej nierówności.
Sprawdzimy, czy liczba spełnia nierówność .
Rozwiązanie
Sprawdzamy, że:
.
Zatem liczba spełnia nierówność .
Aby rozwiązać nierówność (czyli znaleźć zbiór jej rozwiązań), możemy dodawać do obu jej stron lub odejmować od obu jej stron to samo wyrażenie.
Zauważmy, że jeżeli do obu stron prawdziwej nierówności
dodamy jednocześnie dwie liczby: przeciwną do liczby oraz przeciwną do liczby :
to otrzymamy nierówność prawdziwą
,
którą możemy zapisać w postaci
.
Wobec tego gdy obie strony prawdziwej nierówności:
pomnożymy przez , to po jednoczesnej zmianie zwrotu nierówności otrzymamy prawdziwą nierówność:
.
Należy więc pamiętać, że:
mnożąc lub dzieląc obie strony nierówności przez tę samą liczbę dodatnią, pozostawiamy zwrot nierówności bez zmian;
mnożąc lub dzieląc obie strony nierówności przez tę samą liczbę ujemną, należy zmienić zwrot nierówności na przeciwny.
Pamiętając tę ważną zasadę, możemy już zacząć rozwiązywać nierówności liniowe.
Rozwiążemy nierówność .
Rozwiązanie
Przekształcamy ją równoważnie następująco:
Najpierw od obu stron nierówności odejmujemy liczbę :
.
Następnie dzielimy obie strony przez , zmieniając przy tym zwrot nierówności:
.
Zbiorem rozwiązań rozpatrywanej nierówności jest więc przedział nieograniczonyprzedział nieograniczony .
Rozwiążemy nierówność .
Rozwiązanie
Mnożymy obie strony nierówności przez ( najmniejsza wspólna wielokrotnośćnajmniejsza wspólna wielokrotność liczb znajdujących się w mianownikach ułamków), a następnie przekształcamy równoważnie:
.
Zatem zbiorem rozwiązań danej nierówności jest przedział .
Słownik
najmniejsza liczba różna od zera, która jest jednocześnie wielokrotnością każdej rozważanej liczby
zbiór wszystkich liczb większych (większych bądź równych, mniejszych bądź równych lub mniejszych) od danej liczby