Wyznaczymy maksymalne przedziały monotoniczności funkcji, na podstawie jej wykresu.

Rxm7VqmbKziUu

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do ośmiu oraz z pionową osią Y od minus trzech do sześciu. Wykres funkcji składa się z pięciu połączonych ze sobą odcinków. Odcinek pierwszy jest ukośny, a jego końce znajdują się w zamalowanych punktach $\left(-7;6\right)$ i $\left(-3;-2\right)$. Odcinek drugi jest ukośny, a jego końce znajdują się w zamalowanych punktach $\left(-3;-2\right)$ i $\left(-2;2\right)$. Odcinek trzeci jest poziomy, a jego końce znajdują się w zamalowanych punktach $\left(-2;2\right)$ i $\left(4;2\right)$. Odcinek czwarty jest ukośny, a jego końce znajdują się w zamalowanych punktach $\left(4;2\right)$ i $\left(5;0\right)$. Odcinek piąty jest ukośny, a jego końce znajdują się w zamalowanych punktach $\left(5;0\right)$ i $\left(8;-3\right)$.

• funkcja jest rosnąca w przedziale $⟨-3,-2⟩$,

• funkcja jest malejąca w przedziale $⟨-7,-3⟩$ oraz $⟨4,8⟩$,

• funkcja jest stała w przedziale $⟨-2,4⟩$,

• funkcja jest nierosnąca w przedziale $⟨-2,8⟩$,

• funkcja jest niemalejąca w przedziale $⟨-3,4⟩$.

Określimy przedziały monotoniczności funkcji na podstawie wykresu.

R1CYJS2YJiD7B

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus siedmiu do siedmiu i od minus trzech do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z dwóch łuków. Łuk pierwszy znajduje się w trzeciej i w czwartej ćwiartce. Jest on wybrzuszony w kierunku punktu $\left(2;0\right)$, a jego nieskończone ramiona wypłaszczają się: lewe w stronę ujemnej półosi OX i prawe do prostej zadanej równaniem x równa się dwa. Łuk drugi znajduje się w pierwszej ćwiartce. Jest on wybrzuszony w kierunku punktu $\left(2;0\right)$, a jego nieskończone ramiona wypłaszczają się: lewe do prostej zadanej równaniem x równa się dwa, a prawe do dodatniej półosi OX.

Funkcja przedstawiona na wykresie nie jest malejąca w całej swojej dziedzinie, ale jest malejąca w przedziałach $\left(-\infty ,2\right)$ oraz $\left(2,\infty \right)$.

Naszkicujemy wykres funkcji $f:\left(-3,5\right)\to \mathrm{ℝ}$, która spełnia warunki:

• funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $(-3,-1⟩$ i w przedziale  $⟨3,5)$,

• funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $⟨-1,3⟩$.

Wykres można przedstawić następująco:

RijUFsbkgqsfK

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do sześciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z trzech połączonych ze sobą odcinków. Pierwsza część wykresu to odcinek lewostronnie otwarty ograniczony z lewej strony niezamalowanym punktem $\left(-3;\frac{3}{2}\right)$Łuk drugi znajduje się w pierwszej ćwiartce. Jest on wybrzuszony w kierunku punktu $\left(2;0\right)$, a jego nieskończone ramiona wypłaszczają się: lewe do prostej zadanej równaniem x równa się dwa, a prawe do dodatniej półosi OX. Prawy koniec odcinka znajduje się w zamalowanym punkcie $\left(-1;-2\right)$. Drugą składową wykresu jest ukośny odcinek o końcach w zamalowanych punktach $\left(-1;-2\right)$ i $\left(3;3\right)$. Trzecią składową wykresu jest ukośny odcinek prawostronnie otwarty o lewym końcu w punkcie $\left(3;3\right)$ i ograniczony z prawej strony niezamalowanym punktem $\left(5;\frac{3}{2}\right)$.

Sprawdzimy, czy do wykresu funkcji malejącej mogą należeć punkty ze zbioru:

$\left\{\left(-5,3\right),\left(-4,2\right),\left(-2,1\right),\left(1,2\right),\left(3,-1\right)\right\}$.

Te punkty nie mogą należeć do wykresu funkcji malejącej, ponieważ:

Oznaczmy $f$ jako zadaną funkcję. Wtedy mamy:

$-2<1$, ale $f\left(-2\right)=1<f\left(1\right)=2$.

Ponieważ nie zachodzi warunek, że jeśli $x_1<x_2$, to $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$, zatem punkty nie mogą należeć do wykresu funkcji malejącej.

własność funkcji, która określa zmianę wartości tej funkcji wraz ze wzrostem argumentów