Przeczytaj
Jeżeli mówimy o monotoniczności funkcji, to określamy przedziały, w których funkcja jest rosnąca, malejąca, stała, niemalejąca lub nierosnąca.
Funkcja jest rosnąca, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów rosną jej wartości.
Funkcja jest malejąca, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów wartości jej maleją.
Funkcja jest stała, jeżeli dla wszystkich argumentów przyjmuje stałą, tę samą wartość.
Funkcja jest nierosnąca, jeżeli jej wartości nie rosną wraz ze wzrostem argumentów.
Funkcja jest niemalejąca, jeżeli jej wartości nie maleją wraz ze wzrostem argumentów.
Przy określaniu monotoniczności funkcji na podstawie wykresu, będziemy podawać maksymalne przedziały, w których funkcja rośnie, maleje, jest stała, nierosnąca lub niemalejąca.
Wyznaczymy maksymalne przedziały monotoniczności funkcji, na podstawie jej wykresu.
funkcja jest rosnąca w przedziale ,
funkcja jest malejąca w przedziale oraz ,
funkcja jest stała w przedziale ,
funkcja jest nierosnąca w przedziale ,
funkcja jest niemalejąca w przedziale .
Możemy znaleźć przykłady funkcji, które są rosnące, malejące bądź stałe w całej swojej dziedzinie. A także takich, które są monotoniczne tylko w przedziałach. Mówimy wtedy, że funkcja jest przedziałami monotoniczna.
Określimy przedziały monotoniczności funkcji na podstawie wykresu.
Funkcja przedstawiona na wykresie nie jest malejąca w całej swojej dziedzinie, ale jest malejąca w przedziałach oraz .
Każda funkcja rosnąca jest funkcją niemalejącą.
Każda funkcja malejąca jest funkcją nierosnącą.
Oprócz określania przedziałów monotoniczności funkcjimonotoniczności funkcji możemy również szkicować wykresy funkcji, które są monotoniczne w określonych przedziałach na podstawie podanych warunków.
Naszkicujemy wykres funkcji , która spełnia warunki:
funkcja jest malejąca w przedziale i w przedziale ,
funkcja jest rosnąca w przedziale .
Wykres można przedstawić następująco:
W niektórych przypadkach, mając podanych kilka punktów, które należą do wykresu funkcji, możemy stwierdzić, że nie jest to funkcja monotoniczna w całej swojej dziedzinie.
Sprawdzimy, czy do wykresu funkcji malejącej mogą należeć punkty ze zbioru:
.
Te punkty nie mogą należeć do wykresu funkcji malejącej, ponieważ:
Oznaczmy jako zadaną funkcję. Wtedy mamy:
, ale .
Ponieważ nie zachodzi warunek, że jeśli , to , zatem punkty nie mogą należeć do wykresu funkcji malejącej.
Słownik
własność funkcji, która określa zmianę wartości tej funkcji wraz ze wzrostem argumentów