Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Bardzo często obok wzoru opisującego funkcję, zapisana jest jej dziedzina. W jaki sposób postępujemy, gdy mamy tylko wzór funkcji? Jak wówczas określamy jej dziedzinę? Odpowiedzi na powyższe pytania uzyskasz, analizując poniższe  przykłady.

Pamiętamy, że przez dziedzinę funkcji zapisanej za pomocą wzoru, rozumiemy zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których są wykonalne wszystkie działania zapisane we wzorze funkcji. Oznacza to, że dziedziną funkcji liczbowej jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których można obliczyć wartość funkcji.

Przykład 1

Wyznaczymy dziedziny następujących funkcji:

a) fx=-2x+5,

b) fx=x3-8x2-5,

c) fx=x+7,

d) fx=2x-8.

Rozwiązanie:

Ad. a)

W zbiorze liczb rzeczywistych możemy każdą liczbę pomnożyć przez -2 oraz do każdej liczby rzeczywistej możemy dodać liczbę 5.

Z tego faktu możemy wywnioskować, że dziedziną funkcji fx=-2x+5 jest zbiór .

Zapisujemy to Df=.

Ad. b)

Dowolną liczbę rzeczywistą można podnieść do sześcianu i odjąć od niej liczbę 8. Dzielenie jest możliwe tylko wtedy, gdy dzielnik jest liczbą różną od 0.

Jest to możliwe wtedy, gdy x2-50.

Otrzymujemy: x25 wtedy, gdy x5x-5.

Czyli dziedziną funkcji fx=x3-8x2-5 jest zbiór -5, 5.

Możemy to zapisać: Df=-5, 5.

Ad. c)

We wzorze opisującym funkcję, znajduje się pierwiastek kwadratowy.

Wiemy, że pierwiastek kwadratowy istnieje tylko z liczby nieujemnej.

Stąd wnioskujemy, że wartość funkcji f możemy obliczyć tylko wtedy, gdy spełniona jest nierówność x+70, czyli x-7.

Dziedziną funkcji fx=x+7 jest przedział -7, .

Możemy to zapisać: Df=-7, .

Ad. d)

W mianowniku ułamka mamy wyrażenie umieszczone pod znakiem pierwiastka kwadratowego. Wiemy, że pierwiastek kwadratowy istnieje tylko z liczby nieujemnej.

Pierwiastek kwadratowy umieszczony jest w mianowniku ułamka.  Wiadomo, że dzielenie przez 0 jest niewykonalne w zbiorze liczb rzeczywistych.

W celu wyznaczenia dziedziny funkcji f, należy rozwiązać nierówność x-8>0, czyli x>8.

Dziedziną funkcji fx=2x-8 jest przedział 8, .

Możemy to zapisać: Df=8, .

Określając dziedzinę funkcji, należy pamiętać, że:

  • pierwiastek stopnia parzystego można obliczać tylko z liczb nieujemnych,

  • mianownik ułamka musi być zawsze liczbą różną od zera.

Przykład 2

Wyznaczymy dziedzinę funkcji:

a) fx=4-x+7x+5,

b) fx=7-xx+3,

c) fx=2x+4+5x-4,

d) x=x+2x2+4x+4.

Rozwiązanie:

Ad. a)

W celu wyznaczenia dziedziny funkcji fx=4-x+7x+5, należy rozważyć dwa warunki, które musi jednocześnie spełnić liczba x:

4-x0 i  x+50.

Zbiorem rozwiązań nierówności 4-x0 jest przedział -, 4.

Jednocześnie x-5.

Zapisujemy  dziedzinę funkcji fx=4-x+7x+5 w postaci sumy przedziałów -, -5-5, 4.

Zatem: Df=-, -5-5, 4.

Ad. b)

Podobnie, jak w podpunkcie a),  należy rozważyć dwa warunki, które musi  jednocześnie spełnić liczba x :

7-x0 i  x+30.

Zatem dziedziną funkcji fx=7-xx+3 jest suma przedziałów -, -3-3, 7.

Możemy to zapisać: Df=-, -3-3, 7.

Ad. c)

Wzór funkcji zapisany jest w postaci sumy dwóch ułamków. W mianownikach tych ułamków zapisane są wyrażenia pod pierwiastkami kwadratowymi. Liczba x musi spełniać jednocześnie dwa warunki:

x+4>0 i x-4>0.

Możemy je zapisać: x>-4 oraz x>4.

Zatem dziedziną funkcji fx=2x+4+5x-4 jest przedział 4, .

Stąd Df=4, .

Ad. d)

Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji fx=x+2x2+4x+4, należy rozpatrzyć dwa warunki, które musi spełnić jednocześnie liczba x:

x+20 i x2+4x+40.

Rozwiązaniem nierówności pierwszej jest przedział -2, .

Drugi warunek możemy zapisać, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

x+220 , stąd  x-2.

Zatem dziedziną funkcji fx=x+2x2+4x+4 jest przedział -2, .

Dziedzinę funkcji f możemy również zapisać: Df=-2, .

Czy wpływ na dziedzinę funkcji mają tylko pierwiastki kwadratowe i mianowniki ułamków?

Kolejne przykłady pozwolą odpowiedzieć na powyższe pytanie.

Przykład 3

Wyznacz dziedzinę funkcjidziedzina funkcji liczbowejdziedzinę funkcji:

a) fx=log26-2x,

b) fx=logx-33x-6.

Rozwiązanie:

Ad. a)

Z definicji logarytmu wiemy, że aby obliczyć wartość logarytmu, liczba logarytmowana musi być liczbą rzeczywistą dodatnią.

Wartość funkcji f możemy obliczyć tylko wtedy, gdy spełniona jest nierówność

6-2x>0, czyli x<3.

Dziedziną funkcji fx=log26-2x jest przedział -, 3.

Stąd Df=-, 3.

Ad. b)

Podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią i różną od 1.

W celu wyznaczenia dziedziny funkcji f, musimy rozpatrzeć warunki dotyczące zarówno podstawy logarytmu, jak i liczby logarytmowanej. Dla przejrzystości rachunków, wyznaczymy oba zbiory osobno, a następnie wyznaczymy  dziedzinę funkcji.

Najpierw zajmijmy się określeniem dziedziny ze względu na założenia podstawy logarytmu. Mamy zatem

x-3>0     x-31, co daje nam

x>3     x4.

Zapiszemy rozwiązanie za pomocą przedziałów x3,44,.

Teraz zajmijmy się warunkiem dotyczącym liczby logarytmowanej, która musi być nieujemną liczbą rzeczywistą. Zapiszemy

3x-6>03x>6x>2.

Zatem ze względu na liczbę logarytmowaną x2,.

Zauważmy, że założenia podstawy logarytmu dają nam węższy zbiór, dla którego funkcja ma sens. Dziedzina całej funkcji jest iloczynem obu wyżej wyznaczonych zbiorów. Jako, że pierwszy zbiór zawiera się w drugim, to z rachunku zbiorów wynika, że  Df=3,44,.

Podsumujmy dotychczasowe informacje dotyczące sposobu wyznaczania dziedziny funkcji opisanej za pomocą wzoru:

  1. Jeżeli we wzorze funkcji występuje ułamek, to wyrażenie zapisane w mianowniku musi być zawsze różne od zera.

  2. Jeżeli we wzorze funkcji występuje pierwiastek kwadratowy w liczniku, to wyrażenie podpierwiastkowe musi być zawsze większe lub równe zeru; jeśli w mianowniku, to musi być większe od zera.

  3. Jeżeli we wzorze funkcji występuje logarytm o znanej podstawie, to wyrażenie logarytmowane musi być zawsze większe od zera.

  4. Jeżeli we wzorze funkcji występuje logarytm i w podstawie logarytmu jest argument, to wyrażenie zapisane w podstawie logarytmu musi być zawsze liczbą dodatnią i różną od jedności.

Słownik

dziedzina funkcji liczbowej
dziedzina funkcji liczbowej

zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których można obliczyć wartość funkcji