Przeczytaj
Warto przeczytać
Do króla przybiegli zwiadowcy.
- Miłościwy panie, trzy i pół kilometra od naszego zamku zgromadziły się wrogie wojska. Mają nową machinę bojową zwaną Straszliwym Taranem! Mury naszego zamku z pewnością nie wytrzymają uderzenia…
Król zamyślił się.
- Trzeba wystrzelić płonącym pociskiem z naszej wielkiej armaty – powiedział w końcu. – Spalimy Straszliwy Taran i będzie po kłopocie.
Armata stała na murach zamkowych, była wycelowana poziomo – tak się złożyło – prosto w stronę obozu wrogich wojsk. Zamek stał na wzgórzu, więc armata znajdowała się 300 m wyżej niż obóz.
- Ależ Panie – ośmielił się wtrącić doradca - skąd będzie wiadomo, z jaką prędkością wystrzelić pocisk, by trafił prosto do celu?
No właśnie. Czy jesteśmy w stanie ustalić, z jaką prędkością wystrzelić poziomo pocisk z armaty tak, by trafił tam, gdzie chcemy?
Zacznijmy od tego, jaki w ogóle ruch wykonuje taki pocisk? Ruch ten jest przykładem rzutu poziomego – czyli ruchu, w którym ciało porusza się z przyspieszeniem ziemskim i ma nadaną prędkość początkową skierowaną prostopadle do przyspieszenia ziemskiego, czyli poziomo.
Łatwo się przekonać – rzucając piłką lub jakimś innym przedmiotem - że tor ruchu w takim przypadku nie jest linią prostą. Mamy zatem do czynienia z ruchem odbywającym się na płaszczyźnie.
Jeśli ustawimy tak układ współrzędnych, by oś x była równoległa do wektora prędkości początkowej, a oś y skierowana pionowo do góry (Rys. 1.), okaże się, że współrzędna z wektora położeniapołożenia przez cały czas trwania ruchu będzie miała stałą wartość (na przykład równą zero – jeśli odpowiednio ustawimy układ współrzędnych) i w związku z tym nie będziemy brać jej pod uwagę przy opisie ruchu.
Uwzględniając zatem tylko dwie istotne współrzędne, możemy zapisać wektory przyspieszenia, prędkościprędkości początkowej i położenia początkowego w sposób następujący:
przyspieszenie: , gdzie to wartość przyspieszenia ziemskiego,
prędkość początkowa:
położenie początkowe przez: .
Widzimy, że przyspieszenie jest skierowane wzdłuż osi y, a zatem w kierunku osi x ciało nie będzie ani przyspieszać, ani zwalniać, czyli będzie poruszać się ze stałą prędkością. Zależność współrzędnej x wektora położenia ma więc postać
W kierunku osi y z kolei mamy do czynienia z ruchem o stałym przyspieszeniu oraz musimy uwzględnić to, że ciało znajduje się na wysokości H. Tym razem równanie zależności współrzędnej y od czasu jest następujące:
Rzut poziomy jest zatem złożeniem ruchu jednostajnego z ruchem jednostajnie przyspieszonym.
Wróćmy zatem do naszego problemu – jak dobrać prędkość początkową, aby pocisk armatni trafił w cel? Musimy przyjrzeć się, jak wygląda tor ruchu takiego pocisku. Jeśli wyznaczymy t z pierwszego równania i wstawimy do drugiego otrzymamy właśnie równanie toru:
Jest to równanie paraboli, której wykres znajduje się na rysunku (Rys. 2.):
gdzie to zasięg rzutu, czyli odległość, w jakiej ciało upadnie na Ziemię (ściślej: odległość od miejsca upadku od rzutu pionowego miejsca rozpoczęcia ruchu).
Wektor położenia ciała będzie miał wtedy współrzędne . Żeby wyznaczyć zasięg, musimy najpierw ustalić, kiedy – czyli dla jakiej wartości czasu – współrzędna będzie miała wartość 0, a następnie wyznaczyć, jaką wartość będzie miała wtedy współrzędna .
Z równania dostajemy
i wyznaczamy zasięg rzutu:
W przypadku obrońców zamku wiemy, że wysokość wynosi , zasięg to , a przyspieszenie ziemskie .
Przekształcając powyższe równanie dostaniemy
co, po wstawieniu wartości liczbowych, da nam prędkość około . Z taką prędkością obrońcy zamku muszą wystrzelić płonący pocisk z armaty, by spalić Straszliwego Tarana. Jest to wynik uzyskany przy założeniu braku oporów ruchu.
Słowniczek
(ang.: position) określa umiejscowienie ciała w układzie odniesienia.
(ang.: velocity) wielkość wektorowa określająca, jak szybko zmienia się położenie w czasie.
(ang.: displacement) zmiana położenia ciała.
(ang.: frame of reference) ciało, względem którego opisujemy ruch lub spoczynek innego ciała.