Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Warto przeczytać

Do króla przybiegli zwiadowcy.
- Miłościwy panie, trzy i pół kilometra od naszego zamku zgromadziły się wrogie wojska. Mają nową machinę bojową zwaną Straszliwym Taranem! Mury naszego zamku z pewnością nie wytrzymają uderzenia…
Król zamyślił się.
- Trzeba wystrzelić płonącym pociskiem z naszej wielkiej armaty – powiedział w końcu. – Spalimy Straszliwy Taran i będzie po kłopocie.
Armata stała na murach zamkowych, była wycelowana poziomo – tak się złożyło – prosto w stronę obozu wrogich wojsk. Zamek stał na wzgórzu, więc armata znajdowała się 300 m wyżej niż obóz.
- Ależ Panie – ośmielił się wtrącić doradca - skąd będzie wiadomo, z jaką prędkością wystrzelić pocisk, by trafił prosto do celu?

No właśnie. Czy jesteśmy w stanie ustalić, z jaką prędkością wystrzelić poziomo pocisk z armaty tak, by trafił tam, gdzie chcemy?

Zacznijmy od tego, jaki w ogóle ruch wykonuje taki pocisk? Ruch ten jest przykładem rzutu poziomego – czyli ruchu, w którym ciało porusza się z przyspieszeniem ziemskim i ma nadaną prędkość początkową skierowaną prostopadle do przyspieszenia ziemskiego, czyli poziomo.

Łatwo się przekonać – rzucając piłką lub jakimś innym przedmiotem - że tor ruchu w takim przypadku nie jest linią prostą. Mamy zatem do czynienia z ruchem odbywającym się na płaszczyźnie.

R1TawxGUuhkMc
Rys. 1. Ilustracja układu współrzędnych
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Jeśli ustawimy tak układ współrzędnych, by oś x była równoległa do wektora prędkości początkowej, a oś y skierowana pionowo do góry (Rys. 1.), okaże się, że współrzędna z wektora położeniapołożeniepołożenia przez cały czas trwania ruchu będzie miała stałą wartość (na przykład równą zero – jeśli odpowiednio ustawimy układ współrzędnych) i w związku z tym nie będziemy brać jej pod uwagę przy opisie ruchu.

Uwzględniając zatem tylko dwie istotne współrzędne, możemy zapisać wektory przyspieszenia, prędkościprędkośćprędkości początkowej i położenia początkowego w sposób następujący:

  • przyspieszenie: a = [ 0 ; g ] , gdzie  to wartość przyspieszenia ziemskiego,

  • prędkość początkowa: v 0 = [ v 0 ; 0 ]

  • położenie początkowe przez: r 0 = [ 0 ; H ] .

Widzimy, że przyspieszenie jest skierowane wzdłuż osi y, a zatem w kierunku osi x ciało nie będzie ani przyspieszać, ani zwalniać, czyli będzie poruszać się ze stałą prędkością. Zależność współrzędnej x wektora położenia ma więc postać

x(t)=v0t.

W kierunku osi y z kolei mamy do czynienia z ruchem o stałym przyspieszeniu oraz musimy uwzględnić to, że ciało znajduje się na wysokości H. Tym razem równanie zależności współrzędnej y od czasu jest następujące:

y(t)=12gt2+H.

Rzut poziomy jest zatem złożeniem ruchu jednostajnego z ruchem jednostajnie przyspieszonym.

Wróćmy zatem do naszego problemu – jak dobrać prędkość początkową, aby pocisk armatni trafił w cel? Musimy przyjrzeć się, jak wygląda tor ruchu takiego pocisku. Jeśli wyznaczymy t z pierwszego równania i wstawimy do drugiego otrzymamy właśnie równanie toru:

y ( x ) = g 2 v 0 2 x 2 + H .

Jest to równanie paraboli, której wykres znajduje się na rysunku (Rys. 2.):

R1ZFctBTMZEKD
Rys. 2. Tor ruchu pocisku wystrzelonego z wysokości H
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

gdzie to zasięg rzutu, czyli odległość, w jakiej ciało upadnie na Ziemię (ściślej: odległość od miejsca upadku od rzutu pionowego miejsca rozpoczęcia ruchu).

Wektor położenia ciała będzie miał wtedy współrzędne . Żeby wyznaczyć zasięg, musimy najpierw ustalić, kiedy – czyli dla jakiej wartości czasu – współrzędna będzie miała wartość 0, a następnie wyznaczyć, jaką wartość będzie miała wtedy współrzędna .

Z równania dostajemy

tk=2Hg

i wyznaczamy zasięg rzutu:

xz=x(tk)=v02Hg.

W przypadku obrońców zamku wiemy, że wysokość  wynosi , zasięg to , a przyspieszenie ziemskie .

Przekształcając powyższe równanie dostaniemy

v0=xz2Hg,

co, po wstawieniu wartości liczbowych, da nam prędkość około . Z taką prędkością obrońcy zamku muszą wystrzelić płonący pocisk z armaty, by spalić Straszliwego Tarana. Jest to wynik uzyskany przy założeniu braku oporów ruchu.

Słowniczek

położenie
położenie

(ang.: position) określa umiejscowienie ciała w układzie odniesienia.

prędkość
prędkość

(ang.: velocity) wielkość wektorowa określająca, jak szybko zmienia się położenie w czasie.

przemieszczenie
przemieszczenie

(ang.: displacement) zmiana położenia ciała.

układ odniesienia
układ odniesienia

(ang.: frame of reference) ciało, względem którego opisujemy ruch lub spoczynek innego ciała.

Aplikacje dostępne w
Pobierz aplikację ZPE - Zintegrowana Platforma Edukacyjna na androida