Przeczytaj
Przypomnijmy wiadomości o okręguokręgu.
Okrąg to zbiór punktów płaszczyzny, które są równo oddalone od jednego wybranego punktu, zwanego środkiem okręgu.
Popatrzmy na poniższy obrazek i przypomnijmy, jakie ważne pojęcia z nim się wiążą.
Rozwiązanie
Jeżeli za środek okręgu przyjmiemy punkt , to odległość tego środka od dowolnego punktu okręgu jest równa promieniowipromieniowi :
(, , ).
Odcinek łączący dwa punkty okręgu, przechodzący przez jego środek nazywamy średnicą okręgu. Średnica okręguŚrednica okręgu jest jednocześnie najdłuższą cięciwą i jej długość jest równa : .
Cięciwa okręguCięciwa okręgu to dowolny odcinek łączący dwa punkty leżące na okręgu (na naszej ilustracji przykładowa cięciwa to odcinek ).
Prosta zawierająca cięciwę to sieczna okręgusieczna okręgu; ma ona dwa punkty wspólne z okręgiem (np. prosta przechodząca przez punkty i czy też prosta przechodząca przez punkty i ).
Prosta, która ma tylko jeden punkt wspólny z okręgiem, to styczna do okręgustyczna do okręgu. Z każdego punktu leżącego na zewnątrz okręgu można poprowadzić dwie styczne do tego okręgu (w naszym przykładzie to prosta przechodząca przez punkty i oraz prosta przechodząca przez punkty i ).
Punkty i to punkty styczności. Odcinki i są równe.
Promień poprowadzony ze środka okręgu do punktu styczności jest prostopadły do stycznej w tym punkcie.
Jaką wspólną ważną własność mają okręgi? Jak ją odkryć?
Rozwiązanie
W każdym okręgu stosunek długości okręgu do jego średnicy równa się tej samej liczbie niewymiernej , której najbardziej popularne i najczęściej używane przybliżenie to .
Liczba to najsłynniejsza stała w matematyce; powinien ją znać każdy uczeń kończący szkołę podstawową. Historia tej liczby oraz historia określania coraz większej liczby cyfr w jej rozwinięciu dziesiętnym (czyli znajdowania coraz dokładniejszych jej przybliżeń) jest bogata i fascynująca. Możemy przeczytać o niej wiele w różnych źródłach. My skupmy się teraz na pytaniu: jak odkryć tę ważną własność okręgu?
Można przeprowadzić eksperyment matematyczny: zmierzyć (np. nitką, którą później rozwiniemy wzdłuż linii z podziałką) dowolny okrągły przedmiot, potem znaleźć jego średnicę (podpowiedź jak to zrobić w poniższym rysunku, gdzie dwie proste prostopadłe mogą być wyznaczone np. przez naroże stołu):
i podzielić dwie liczby przez siebie. Oczywiście pamiętajmy, że wykonanie jednego eksperymentu, czy też wykonanie wielu eksperymentów przez wielu uczniów nie stanowi dowodu, ale pozwala postawić hipotezę dotyczącą stosunku długości okręgu do jego średnicy.
Czy istnieją okręgi w szczególny sposób związane z innymi figurami geometrycznymi?
Rozwiązanie
Tak. Chyba najbardziej znanym przykładem jest tutaj okrąg dziewięciu punktów, czyli okrągokrąg, który przechodzi przez dziewięć charakterystycznych punktów dowolnego trójkąta. Punktami tymi są: środki boków, spodki trzech wysokości oraz punkty dzielące na połowy trzy odcinki, które łączą wierzchołki tego trójkąta z jego ortocentrum, czyli punktem przecięcia jego wysokości:
Bardzo ciekawa jest historia odkrycia tego okręgu. W roku Karl Wilhelm Feuerbach, którego nazwiskiem nazywa się czasem okrąg dziewięciu punktów, zauważył, że sześć charakterystycznych punktów trójkąta – środki boków oraz spodki wysokości – leżą na wspólnym okręgu. Krótko potem matematyk Olry Terquem niezależnie udowodnił istnienie takiego okręgu i jako pierwszy zauważył, że leżą na nim również środki odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum. Jako pierwszy użył on nazwy „okrąg dziewięciu punktów”.
Czy na powierzchniach innych niż płaszczyzna też istnieją okręgi?
Rozwiązanie
Tak, na przykład na powierzchni kuli też można skonstruować okręgi. Przekrój kuli płaszczyzną przechodzącą przez jej środek, wyznacza na jej powierzchni okrąg wielki. Inne przekroje wyznaczają na jej powierzchni okręgi o promieniach mniejszych niż promień kuli, jak obrazuje to poniższy rysunek.
Okręgi widzimy też na globusie, który jest modelem kuli ziemskiej. Przykładem okręgu wielkiego jest równik, okręgów małych – równoleżniki:
Każdy okrąg na sferze można przedstawić jako okrąg równoleżnikowy. Wystarczy zmienić położenie równika tak, żeby jego płaszczyzna była równoległa do płaszczyzny wyznaczonej przez wybrany okrąg.
Długość i średnicę okręgu równoleżnikowego, leżącego na szerokości geograficznej można obliczyć za pomocą wzorów:
gdzie oznacza długość promienia sfery.
Patrząc na zakrzywienie sfery możemy jednak zadać sobie kolejne pytanie: Jak możemy szukać prostej na powierzchni zakrzywionej, jeśli tam nie ma nic prostego – wszystko jest krzywe?
Rozważmy sytuację: Mamy dwa różne punkty na płaszczyźnie: i . Wiemy, że najkrótsza droga między nimi, to droga zawarta w prostej przechodzącej przez nie. Czy, gdy będziemy przedłużać w nieskończoność końce linii, w której zawarta jest najkrótsza droga między dwoma punktami, końce tej linii spotkają się gdziekolwiek?
Rozwiązanie
Odpowiedź jest prosta. Nie, ponieważ „długość” prostej jest nieskończona.
Wyobraźmy sobie teraz taką sytuację na sferze i odpowiedzmy na powyższe pytanie.
Załóżmy, że pinezki wbite w kulę styropianową reprezentują punkty na sferze. Gumka recepturka o kolorze niebieskim przedstawia najkrótszą drogę między tymi punktami, czerwona – najdłuższą. Obserwujemy, że utworzyły one łuki. Gdy zaczniemy teraz wydłużać „drogę”, między dwoma punktami w obu kierunkach, to te „przedłużenia” spotkają się, tworząc jej dopełnienie do pełnego okręgu.
Łącząc dwa dowolone punkty na sferze wydłużyliśmy linię i otrzymaliśmy okrąg wielki.
Przez okrąg wielki uznajemy sferyczną prostąsferyczną prostą. Wzdłuż tej prostej mierzymy odległości na sferze.
Skoro wiemy, czym jest prosta sferyczna, przejdziemy teraz do definicji trójkąta sferycznegotrójkąta sferycznego.
Trójkąt sferyczny to część powierzchni kuli, zawarta między trzema łukami kół wielkich przecinających się parami.
Długość boku trójkąta sferycznego, to długość krótszego łuku koła wielkiego przechodzącego przez jego dwa wierzchołki. Odległość między tymi punktami nazywamy odległością sferyczną. Odległość sferyczna może być mierzona bezpośrednio przez kąt wewnętrzny mierzony w stopniach. Ponadto w trójkącie sferycznym nie może być dwóch boków, których długości byłyby większe niż połowa okręgu (większe od ).
Na sferze suma kątów wewnętrznych trójkąta jest zawsze większa od .
Słownik
zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie, których odległość od ustalonego punktu (zwanego środkiem okręgu), jest równa zadanej odległości (zwanej promieniem okręgu)
odległość punktu okręgu od jego środka
cięciwa przechodząca przez środek okręgu
odcinek łączący dwa punkty leżące na okręgu
prosta mająca z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny
prosta przecinająca okrąg w dwóch punktach
okrąg wielki na sferze
część powierzchni kuli, zawarta między trzema łukami kół wielkich przecinających się parami