Reaq1RWAfXZTS

Ilustracja przedstawia płaszczyznę $\pi$ oraz przechodzącą przez nią prostą l. Na rysunku znajdują się dodatkowo dwie proste, jedna z nich- pozioma jest równoległa do płaszczyzny $\mathrm{\pi }$, a druga- pionowa jest prostopadła do płaszczyzny $\mathrm{\pi }$. W miejscu przecięcia się tych prostych zaznaczono kąt prosty. Pomiędzy prostą równoległą do płaszczyzny $\mathrm{\pi }$ a prostą l zaznaczono kąt alfa.

Kąt $\alpha$ jest kątem nachylenia prostej $l$ do płaszczyzny $\pi$.

R19sumqkqA9wO

Ilustracja przedstawia płaszczyznę na której znajduje się graniastosłup pochyły o podstawie czworokąta. Kąt pomiędzy krawędzią ściany bocznej graniastosłupa a płaszczyzną zaznaczono literą alfa. Z górnego wierzchołka tej krawędzi bocznej poprowadzono wysokość graniastosłupa, której drugi wierzchołek leży poza powierzchnią bryły. W miejscu przecięcia się wysokości z płaszczyzną narysowano dwie przecinające się prostopadłe do siebie proste, równoległe do płaszczyzny.

$\alpha$ – kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy

R1ZhT9Up45mbF

Ilustracja przedstawia płaszczyznę na której znajduje się graniastosłup pochyły o podstawie czworokąta. W graniastosłupie zaznaczono przekątną jego ściany bocznej. Liniami przerywanymi narysowano wysokość graniastosłupa, której jeden z wierzchołków leży poza powierzchnią bryły. W miejscu, w którym wysokość przecina płaszczyznę pod kątem prostym narysowano dwie przecinające się proste równoległe do płaszczyzny. Jedna z prostych jest przedłużeniem jednej z krawędzi podstawy graniastosłupa. Kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej a przedłużeniem krawędzi podstawy graniastosłupa jest podpisany literą beta.

$\beta$ – kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny podstawy

RxzAOqheXpWI3

Ilustracja przedstawia płaszczyznę na której znajduje się graniastosłup pochyły o podstawie czworokąta. W graniastosłupie zaznaczono przekątną graniastosłupa. Liniami przerywanymi narysowano wysokość graniastosłupa, której jeden z wierzchołków leży poza powierzchnią bryły. W miejscu, w którym wysokość przecina płaszczyznę pod kątem prostym narysowano dwie przecinające się proste równoległe do płaszczyzny. Jedna z prostych łączy się z wierzchołkiem podstawy, z której wychodzi przekątna graniastosłupa. Kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa a przerywaną linią wychodzącą z tego samego wierzchołka jest podpisany literą gamma.

$\gamma$ – kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy

RPGqnUovXyayL

Ilustracja przedstawia graniastosłup pochyły o podstawie czworokąta. Przez jedną ze ścian graniastosłupa przechodzi płaszczyzna w taki sposób, że ściana ta zawiera się w tej płaszczyźnie. W ścianie sąsiadującej do tej, która zawiera się w płaszczyźnie zaznaczono jej przekątną. Z wierzchołka, z którego wychodzi przekątna, ale nie należy on do płaszczyzny narysowano wysokość, prostopadłą to płaszczyzny. Z drugiego wierzchołka z którego wychodzi przekątna narysowano linię przerywaną łączącą się z wysokością w punkcie przecięcia się wysokości z płaszczyzną. Obie linie przerywane przecinają się na płaszczyźnie pod kątem prostym. Kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej a linią przerywaną nie będącą wysokością zaznaczono literą delta.

$\delta$ – kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do jednej z sąsiednich ścian bocznych

W graniastosłupie prostym na rysunku poniżej kąt $\alpha$ – nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy, jest kątem pomiędzy przekątną graniastosłupaprzekątna graniastosłupaprzekątną graniastosłupa a przekątną podstawy, natomiast kąt $\beta$ – nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny podstawy, jest kątem pomiędzy przekątną ściany bocznej a krawędzią podstawy.

R9QAeHCbGwdgj

Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty, którego podstawą jest czworokąt. W graniastosłupie zaznaczono dwa kąty. Pierwszy z nich to kąt pomiędzy przekątną podstawy a przekątną graniastosłupa, został on podpisany literą alfa. Drugi kąt podpisano literą beta i jest to kąt pomiędzy krawędzią podstawy a przekątną ściany bocznej.

1. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym wszystkie przekątne ścian bocznych mają tę samą długość, więc mamy jeden kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do podstawy $\left(\alpha \right)$. Podobnie wszystkie przekątne graniastosłupa są tej samej długości, więc wszystkie kąty nachylenia przekątnej graniastosłupa do podstawy mają tę samą miarę $\left(\beta \right)$.
   

   Ryfd9CwQeegPQ

   Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym zaznaczono dwa kąty. Pierwszy kąt zaznaczono pomiędzy krawędzią podstawy a przekątną ściany bocznej i podpisano literą alfa. Drugi kąt zaznaczono pomiędzy przekątną podstawy a przekątną graniastosłupa i podpisano literą beta.

   

2. W graniastosłupie prostym o podstawie rombu niebędącego kwadratem przekątne ścian bocznych mają tę samą długość, więc mamy jeden kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do podstawy $\left(\alpha \right)$. Przekątne graniastosłupa są różnej długości, więc kąty nachylenia przekątnych graniastosłupa do podstawy będą mieć różną miarę $\left(\beta ,\gamma \right)$.

   RsMQxstCrIMH7

   Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty, którego podstawą jest romb. W graniastosłupie zaznaczono trzy kąty. Pierwszy kąt podpisano literą alfa i jest to kąt pomiędzy krawędzią podstawy a przekątną ściany bocznej. Drugi z nich to kąt pomiędzy dłuższą przekątną podstawy a dłuższą przekątną graniastosłupa, został on podpisany literą beta. Trzeci z nich to kąt pomiędzy krótszą przekątną podstawy a krótszą przekątną graniastosłupa, został on podpisany literą gamma.

   

3. W graniastosłupie prostym o podstawie trapezu równoramiennego przekątne graniastosłupa są tej samej długości, więc kąty nachylenia przekątnych graniastosłupa do podstawy mają tę samą miarę $\left(\beta \right)$. Przekątne ścian bocznych są różnej długości – mamy więc trzy rodzaje kątów nachylenia przekątnych ścian bocznych do podstawy $\left(\alpha ,\gamma ,\delta \right)$.

   RktSaxmi1u4f1

   Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty, którego podstawą jest trapez. W graniastosłupie zaznaczono cztery kąty. Pierwszy kąt podpisano literą alfa i jest to kąt pomiędzy krawędzią krótszej podstawy a przekątną przylegającej do niej ściany bocznej. Drugi z nich to kąt pomiędzy przekątną podstawy a przekątną graniastosłupa, został on podpisany literą beta. Trzeci z nich to kąt pomiędzy krawędzią dłuższej podstawy a przekątną przylegającej do niej ściany bocznej, został on podpisany literą gamma. Czwarty kąt to kąt pomiędzy krawędzią podstawy, która jest ramieniem trapezu, a przekątną przylegającej do niej ściany bocznej.

   

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym na rysunku poniżej zaznaczone zostały trójkąty prostokątne, które zawierają kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej, dłuższej i krótszej przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy.

R1aOJEKSR4DJ9

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny. W graniastosłupie zaznaczono trzy kąty. Pierwszy kąt podpisano literą alfa i jest to kąt pomiędzy krótszą przekątną podstawy a krótszą przekątną graniastosłupa. Drugi z nich to kąt pomiędzy dłuższą przekątną podstawy a dłuższą przekątną graniastosłupa, został on podpisany literą beta. Trzeci z nich to kąt pomiędzy krawędzią podstawy a przekątną przylegającej do niej ściany bocznej, został on podpisany literą gamma.

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy jest trzykrotnie krótsza od wysokości. Obliczymy miarę kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do podstawy.

Rozwiązanie

Zróbmy rysunek pomocniczy:

R1auQYQPDrG9f

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny. W graniastosłupie zaznaczono przekątną ściany bocznej. Kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej a krawędzią podstawy podpisano literą alfa. Krawędź podstawy podpisano literą a. Krawędź ściany bocznej podpisano 3a. Kąt pomiędzy krawędzią ściany bocznej a krawędzią podstawy to kąt prosty.

Mamy: $tg\alpha =\frac{3a}{a}=3$. Stąd $\alpha \approx 72°$.

Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o jednej z przekątnych długości $6$. Krawędź boczna ma długość $5$. Przekątna ściany bocznej jest nachylona do podstawy pod kątem $45°$. Obliczymy miarę kąta nachylenia dłuższej przekątnej graniastosłupa do podstawy.

Rozwiązanie

RUwo25UEZKPGB

Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty, którego podstawą jest romb. Wierzchołki dolnej podstawy to: A, B, C, D, wierzchołki górnej podstawy to: F, G, H, I. W graniastosłupie zaznaczono przekątną ściany bocznej BF, kąt pomiędzy tą przekątną a krawędzią podstawy to 45 stopni. Krawędź ściany bocznej graniastosłupa ma długość pięć.

Trójkąt $FAB$ jest trójkątem równoramiennym i prostokątnym, czyli $\left|AB\right|=5$.

Obliczymy długość drugiej przekątnej podstawy.

R127QZjv23e7J

Ilustracja przedstawia romb A, B, C, D, w którym zaznaczono jego przekątne. Przekątne przecinają się w punkcie E. Trójkąt ABE jest trójkątem prostokątnym, którego przeciwprostokątna AB ma długość pięć, przyprostokątna BE ma długość trzy, a przyprostokątną AE oznaczono literą x.

Trójkąt $AEB$ jest prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że $x=4$.

A zatem dłuższa przekątna ma długość $8$.

RX7JBe79FCONN

Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty, którego podstawą jest romb. Wierzchołki dolnej podstawy to: A, B, C, D, wierzchołki górnej podstawy to: F, G, H, I. Krawędź ściany bocznej graniastosłupa ma długość pięć. Kolorem różowym zaznaczono krawędź podstawy AB. Przekątna podstawy AC ma długość osiem. Kąt pomiędzy przekątną podstawy AC a przekątną graniastosłupa CF podpisano literą alfa.

Szukamy miary kąta $\alpha$. Z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym mamy: $tg\alpha =\frac{5}{8}=0,625$. A stąd $\alpha \approx 32°$.

kąt pomiędzy prostą a jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę

odcinek łączący wierzchołki dwóch różnych podstaw graniastosłupa nie leżące na jednej ścianie