Przeczytaj

Funkcja logarytmiczna

Definicja: Funkcja logarytmiczna

Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję postaci $f (x) = \log_{a} x$ , przy założeniu, że $a > 0$ , $a \neq 1$ oraz $x > 0$ .

Funkcjami logarytmicznymi są na przykład funkcje określone wzorami $f (x) = \log_{2} x$ , $f (x) = \log_{\frac{1}{3}} x$ .

Ważne!

Funkcja wykładnicza określona wzorem $f (x) = a^{x}$ oraz funkcja logarytmiczna określona wzorem $f (x) = \log_{a} x$ są funkcjami wzajemnie odwrotnymi.

Wykresem funkcji logarytmicznejfunkcja logarytmicznafunkcji logarytmicznej jest krzywa, która przechodzi przez punkt $(1, 0)$ .

Wykres funkcji $f (x) = \log_{2} x$ przedstawia się następująco:

R7IohG4xbrjIY

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do jedenastu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do czterech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres rosnącej funkcji fx=log2x. Wykres przecina oś X w pukcie o współrzędnych: 1;0. Oś Y jest asymptotą pionową funkcji logarytmicznej.

Własności funkcji logarytmicznejfunkcja logarytmicznafunkcji logarytmicznej $f (x) = \log_{a} x$ :

dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich $x \in ℝ_{+}$ ,
zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych $ℝ$ ,
miejscem zerowym jest liczba $x = 1$ ,
jest różnowartościowa,
nie jest parzysta i nie jest nieparzysta.

Monotoniczność funkcji logarytmicznejfunkcja logarytmicznafunkcji logarytmicznej $f (x) = \log_{a} x$ :

dla $a \in (0, 1)$ funkcja jest malejąca,
dla $a \in (1, \infty)$ funkcja jest rosnąca.

Na poniższym wykresie przedstawiono wykresy dwóch funkcji logarytmicznych określonych wzorami:

$f (x) = \log_{\frac{1}{3}} x$
$g (x) = \log_{3} x$

Wykres funkcji $f$ przedstawia funkcję malejącą, a wykres funkcji $g$ przedstawia funkcję rosnącą.

R17Jo5Ux7IDqd

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do jedenastu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie narysowane są wykresy funkcji gx=log3x oraz funkcji do niej symetrycznej względem osi X, to jest wykres funkcji fx=log13x. Zaznaczono punkt przecięcia obu wykresów. Punkt ten ma współrzędne 1;0. Oś Y jest asymptotą pionową obu funkcji.

Przykład 1

Wyznaczymy dziedzinę funkcji określonej wzorem $f (x) = \log_{3} (2 x^{2} - x - 1)$ .

Wykorzystamy założenia logarytmu, z których otrzymujemy nierówność

$2 x^{2} - x - 1 > 0$ .

Rozwiązaniem nierówności jest zbiór $x \in (- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (1, \infty)$ .

Przykład 2

Do wykresu funkcji logarytmicznej określonej wzorem $f (x) = \log_{a} (x - 3)$ należy punkt o współrzędnych $(5, 2)$ . Wyznaczymy wartość współczynnika $a$ .

Współrzędne punktu podstawiamy do wzoru funkcji i otrzymujemy równanie:

$\log_{a} 2 = 2$ .

Z definicji logarytmu mamy, że $a^{2} = 2$ .

Czyli $a = \sqrt{2}$ lub $a = - \sqrt{2}$ .

Ponieważ dla funkcji logarytmicznej $a > 0$ , stąd $a = \sqrt{2}$ .

Przykład 3

Określimy dziedzinę funkcji logarytmicznej $f (x) = \log_{x^{2} - 1} (2 x - 3)$ .

Z założeń funkcji logarytmicznej wynika, że $a > 0$ , $a \neq 1$ oraz $x > 0$ .

Układamy warunki do dziedziny funkcji.

$x^{2} - 1 > 0$ $\land$ $x^{2} - 1 \neq 1$ $\land$ $2 x - 3 > 0$ .

Rozwiązaniami powyższych nierówności są zbiory:

$x \in (- \infty, - 1) \cup (1, \infty)$ ,

$x \in ℝ ∖ \{- \sqrt{2}, \sqrt{2}\}$ ,

$x \in (\frac{3}{2}, \infty)$ .

Dziedziną podanej funkcji jest zbiór $x \in (\frac{3}{2}, \infty)$ .

Przykład 4

Dana jest funkcja logarytmiczna określona wzorem $f (x) = \log_{\frac{1}{5}} (x^{2} - 11) + m$ . Wartość funkcji dla argumentu $6$ wynosi $3$ . Wyznaczymy wartość parametru $m$ .

Wartość funkcji $f$ dla $x = 6$ wynosi $3$ , zatem

$3 = \log_{\frac{1}{5}} 25 + m$ , czyli

$3 = - 2 + m$ , więc $m = 5$ .

Przykład 5

Wyznaczymy wartości parametrów $m$ i $n$ we wzorze funkcji logarytmicznej $f (x) = \log_{3} (m x + n)$ , jeżeli do wykresu tej funkcji należą punkty $K = (- 1, 2)$ i $L = (1, 1)$ .

W celu wyznaczenia parametrów $m$ i $n$ podstawiamy współrzędne punktów $K$ i $L$ do wzoru funkcji $f$ , co sprowadza się do układu równań:

$\{\begin{cases} 2 = \log_{3} (- m + n) \\ 1 = \log_{3} (m + n) \end{cases}$

Układ ten zapisujemy w prostszej postaci:

$\{\begin{cases} - m + n = 9 \\ m + n = 3 \end{cases}$ .

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb $\{\begin{cases} m = - 3 \\ n = 6 \end{cases}$ .

Zatem wzór funkcji $f$ ma postać: $f (x) = \log_{3} (- 3 x + 6)$ .

Słownik

funkcja logarytmiczna

funkcja postaci $f (x) = \log_{a} x$ , gdzie $a > 0$ , $a \neq 1$ oraz $x > 0$

funkcja odwrotna

funkcja $g : f (X) \to ℝ$ oznaczana jako $f^{- 1}$ , spełniająca warunek $f^{- 1} (y) = x \Leftrightarrow f (x) = y$

Wprowadzenie

Animacja

Słownik