Przeczytaj
Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję postaci , przy założeniu, że , oraz .
Funkcjami logarytmicznymi są na przykład funkcje określone wzorami , .
Funkcja wykładnicza określona wzorem oraz funkcja logarytmiczna określona wzorem są funkcjami wzajemnie odwrotnymi.
Wykresem funkcji logarytmicznejfunkcji logarytmicznej jest krzywa, która przechodzi przez punkt .
Wykres funkcji przedstawia się następująco:
Własności funkcji logarytmicznejfunkcji logarytmicznej :
dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich ,
zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych ,
miejscem zerowym jest liczba ,
jest różnowartościowa,
nie jest parzysta i nie jest nieparzysta.
Monotoniczność funkcji logarytmicznejfunkcji logarytmicznej :
dla funkcja jest malejąca,
dla funkcja jest rosnąca.
Na poniższym wykresie przedstawiono wykresy dwóch funkcji logarytmicznych określonych wzorami:
Wykres funkcji przedstawia funkcję malejącą, a wykres funkcji przedstawia funkcję rosnącą.
Wyznaczymy dziedzinę funkcji określonej wzorem .
Wykorzystamy założenia logarytmu, z których otrzymujemy nierówność
.
Rozwiązaniem nierówności jest zbiór .
Do wykresu funkcji logarytmicznej określonej wzorem należy punkt o współrzędnych . Wyznaczymy wartość współczynnika .
Współrzędne punktu podstawiamy do wzoru funkcji i otrzymujemy równanie:
.
Z definicji logarytmu mamy, że .
Czyli lub .
Ponieważ dla funkcji logarytmicznej , stąd .
Określimy dziedzinę funkcji logarytmicznej .
Z założeń funkcji logarytmicznej wynika, że , oraz .
Układamy warunki do dziedziny funkcji.
.
Rozwiązaniami powyższych nierówności są zbiory:
,
,
.
Dziedziną podanej funkcji jest zbiór .
Dana jest funkcja logarytmiczna określona wzorem . Wartość funkcji dla argumentu wynosi . Wyznaczymy wartość parametru .
Wartość funkcji dla wynosi , zatem
, czyli
, więc .
Wyznaczymy wartości parametrów i we wzorze funkcji logarytmicznej , jeżeli do wykresu tej funkcji należą punkty i .
W celu wyznaczenia parametrów i podstawiamy współrzędne punktów i do wzoru funkcji , co sprowadza się do układu równań:
Układ ten zapisujemy w prostszej postaci:
.
Rozwiązaniem układu równań jest para liczb .
Zatem wzór funkcji ma postać: .
Słownik
funkcja postaci , gdzie , oraz
funkcja oznaczana jako , spełniająca warunek