Przeczytaj
Dwa okręgi mające dokładnie jeden punkt wspólny nazywamy stycznymi. Punkt wspólny nazywamy wówczas punktem styczności. Okręgi mogą być styczne zewnętrznie lub styczne wewnętrznie.
Przeanalizujemy sytuację, gdy okręgi są styczne wewnętrznie, czyli jeden okrąg leży wewnątrz koła ograniczonego drugim.
Dwa okręgi są styczne wewnętrznieDwa okręgi są styczne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy odległość środków okręgów jest równa różnicy promieni:
, gdy .
Jest to warunek konieczny i wystarczający styczności wewnętrznej dwóch okręgów.
Rozważmy dwa okręgi o środkachokręgi o środkach i promieniui promieniu oraz i promieniu . Jeżeli mamy dwa okręgi o równaniach i , to są one stycznie wewnętrznie, gdy .
Odległość dwóch punktów jest zawsze liczbą nieujemną; ponieważ nie możemy stwierdzić, która z danych liczb czy jest większa, zapisaliśmy różnicę promieni w wartości bezwzględnej.
Skorzystaliśmy ze wzoru na odległość dwóch punktów .
Sprawdzimy, czy okręgi o promieniach , , których odległość między środkami wynosi , są styczne wewnętrznie.
Rozwiązanie
Okręgi o promieniach , , których odległość między środkami wynosi , są styczne wewnętrznie bo , czyli zachodzi warunek konieczny i wystarczający styczności wewnętrznej dwóch okręgów .
Sprawdzimy, czy okręgi i są styczne wewnętrznie.
Rozwiązanie
Okrąg o równaniu ma środek w punkcie i promień .
Okrąg o równaniu ma środek w punkcie i promień .
Obliczamy odległość środków tych okręgów ze wzoru :
.
Sprawdzamy warunek i widzimy, że dla , i nie jest on spełniony bo .
Wyznaczymy długość promienia okręgu o środku w punkcie tak, aby był on styczny wewnętrznie do okręgu . Obliczymy współrzędne punktu styczności.
Rozwiązanie
Okrąg o równaniu ma środek w punkcie i promień .
Okrąg o równaniu ma środek w punkcie i promień .
Aby okręgi były styczne wewnętrznieokręgi były styczne wewnętrznie, musi być spełniony warunek .
Ponieważ i , to otrzymujemy równanie , co daje lub .
Ponieważ , to .
Aby znaleźć punkt wspólny okręgów, rozwiązujemy układ złożony z równań obu okręgów.
W tym celu zapisujemy równania w postaci:
.
Odejmujemy stronami od równania równanie i otrzymujemy
, wyznaczamy z tego równania :
więc .
Podstawiamy do np. pierwszego równania, otrzymując .
Dokonujemy przekształceń:
i po redukcji dochodzimy do równania kwadratowego .
Wyróżnik tego trójmianu wynosi .
Równanie ma jedno rozwiązanie .
Do równania podstawiamy :
.
Ilustracja sytuacji przedstawionej w zadaniu.
Promień okręgu o środku w punkcie wynosi , wtedy jest on styczny wewnętrznie do okręgu . Współrzędne punktu styczności wynoszą .
Wyznaczymy współrzędne środka okręgu o promieniu przechodzącego przez punkt i stycznego wewnętrznie do okręgu .
Rozwiązanie
Równanie okręgu doprowadzamy do postaci .
,
Stąd wnioskujemy, że środkiem okręgu jest punkt a promień ma długość .
Punkt oznaczmy przez . Wiemy, że .
Szukany okrąg ma spełniać dwa warunki:
ma przechodzić przez punkt ,
ma być styczny wewnętrznie do danego okręgu .
Z warunku :
Z warunku : .
Zatem ,
Otrzymujemy zatem układ równań:
Odejmujemy stronami od równania
Po przekształceniach:
ostatecznie mamy
Podstawmy
Poszukiwany okrąg ma środek w punkcie
Słownik
zbiór wszystkich punktów
dwa okręgi są styczne wewnętrznie, gdy odległość środków tych okręgów jest równa różnicy promieni