Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją prezentującą okręgi styczne wewnętrznie, a następnie rozwiąż zadania i porównaj z odpowiedziami.

R1bQHYhOlUdmI

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DWGh7DpDL

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącego okręgów stycznych wewnętrznie na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Polecenie 2

Sprawdź, czy okręgi ${(x - 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 49$ i ${(x + 2)}^{2} + {(y + 8)}^{2} = 4$ są styczne wewnętrznie.

Okrąg o równaniu ${(x - 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 49$ ma środek w punkcie $O_{1} = (1, - 4)$ i promień $r_{1} = 7$ .

Okrąg o równaniu ${(x + 2)}^{2} + {(y + 8)}^{2} = 4$ ma środek w punkcie $O_{2} = (- 2, - 8)$ i promień $r_{2} = 2$ .

Aby okręgi były styczne wewnętrznie, musi być spełniony warunek $|O_{1} O_{2}| = | r_{2} - r_{1} |$ .

Ponieważ $|O_{1} O_{2}| = \sqrt{{(- 2 - 1)}^{2} + (- 8 - (- 4))^{2}} = \sqrt{{(- 3)}^{2} + (- 4)^{2}} = \sqrt{25} = 5$ i $r_{1} = 7$ , $r_{2} = 2$ , to spełniony jest warunek konieczny i wystarczający styczności wewnętrznej dwóch okręgów:

$|r_{2} - r_{1}| = |2 - 7| = 5 = |O_{1} O_{2}|$ .

Polecenie 3

Okręgi ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16$ i ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ są styczne wewnętrznie; oblicz współrzędne punktu styczności.

Aby znaleźć współrzędne punktu styczności, rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16 (1) \\ {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1 (2) \end{cases}$ .

W tym celu odejmujemy stronami od równania $(1)$ równanie $(2)$ i otrzymujemy ${(x + 1)}^{2} - {(x - 2)}^{2} = 15$ .

Po przekształceniach:

$x^{2} + 2 x + 1 - (x^{2} - 4 x + 4) = 15$

$6 x - 3 = 15$ otrzymujemy $x = 3$ .

Podstawiając $x = 3$ do np. pierwszego równania: ${(3 + 1)}^{2} + y^{2} = 16$ , otrzymujemy $y = 0$ .

Punkt styczności ma współrzędne: $x = 3$ , $y = 0$ .

Przeczytaj

Sprawdź się