Warto przeczytać

Zgodnie z zasadą zachowania pędu, w układzie izolowanym całkowity pęd tego układu pozostaje stały. Pęd $\overrightarrow{p}$ jest wielkością fizyczną, równą iloczynowi masy ciała $m$ i jego prędkości $\overrightarrow{v}$:

Kierunek i zwrot wektora pędu jest zgodny z kierunkiem i zwrotem wektora prędkości. W treści zasady zachowania pędu mowa jest o układzie izolowanym. Układem takim nazywamy pewien układ ciał, oddziałujących wzajemnie ze sobą, ale nie oddziałujących z otoczeniem. Oznacza to, że na ciała wchodzące w skład układu nie działają żadne siły zewnętrzne.

Wyobraźmy sobie układ dwóch ciał o masach $m_{1}$ i $m_{2}$, które poruszają się z prędkościami ${\overrightarrow{v}}_1$ i ${\overrightarrow{v}}_2$. Pędy tych ciał możemy zapisać jako:

Jeżeli ciała te tworzą układ izolowany, to całkowity pęd układu ${\overrightarrow{p}}_c$ jest sumą pędów wszystkich jego elementów. W analizowanym przypadku:

Wartość całkowitego pędu układu jest niezmienna nawet wtedy, gdy na ciała będą działać siły wewnętrzne pochodzące od elementów układu. Nie oznacza to jednak, że pędy poszczególnych elementów układu izolowanego nie mogą ulec zmianie. Przeanalizujmy przykład.

Przykład 1.

Wyobraźmy sobie stację kosmiczną, znajdującą się bardzo daleko od Ziemi i innych ciał niebieskich. Duża odległość sprawia, że wpływ siły grawitacyjnej pochodzącej od obiektów posiadających masę jest zaniedbywalny. W pewnej chwil stacja kosmiczna uległa awarii, wobec czego jeden z astronautów musiał wyjść na zewnątrz stacji, w celu dokonania naprawy. Masa astronauty jest równa $m_{a}$ = 70 kg. Astronauta zabrał ze sobą skrzynkę z narzędziami, której masa wynosiła $m_{s}$ = 3 kg. Po dokonaniu naprawy, astronauta na chwilę puścił się uchwytu umieszczonego na obudowie stacji i zauważył, że znajduje się w odległości $L$ = 5 m od uchwytu. Astronauta, chcąc wrócić na stację, wyrzucił skrzynkę z narzędziami w kierunku przeciwnym do stacji, nadając jej prędkość w chwili wyrzutu $v_{s}$ = 3 m/s (Rys. 1.). Wyznaczmy czas, po którym astronauta złapie uchwyt.

RtKF8BrqPAOB8

Rys. 1. Na ilustracji widoczny jest astronauta w postaci czarnego ludzika, którego ręce wyciągnięta są w prawo. Nad astronautą opisana jest jego masa równa siedemdziesiąt kilogramów zapisana w postaci mała litera m z indeksem dolnym mała litera a równa się siedemdziesiąt małe litery kg. Po prawej stronie od astronauty znajduje się szary, pionowo ustawiony walec z niebieskim fragmentem. Oznacza od stację kosmiczną. Odległość pomiędzy astronautą i stacją kosmiczną oznaczona jest poziomą, dwustronna czarna strzałką, nad którą widnieje napis wielka litera L równa się pięć mała litera m. Oznacza to, że odległość pomiędzy astronautą a stacją kosmiczną wynosi pięć metrów. Po lewej stronie astronauty widoczny jest w postaci szarego prostokąta plecak, który astronauta wyrzucił w celu powrotu na stację. Masa prostokąta równa trzy kilogramy opisana jest poniżej szarego prostokąta, jako mała litera m z indeksem dolnym s równa się trzy i małe litery kg. Plecak wyrzucony został z prędkością wyrzutu równą trzy metry na sekundę. Ilustruje to poziomy wektor prędkości skierowany w lewo, narysowany w postaci czarnej strzałki. Obok wektora widnieje napis mała litera v z indeksem dolnym mała litera s równa się trzy i mała litera m ukośnik mała litera s. Zgodnie z zasadą zachowania pędu, astronauta w momencie wyrzutu powinien uzyskać pewną prędkość w skierowaną przeciwnie do wyrzucanego plecaka, a zatem w kierunku stacji kosmicznej Obok astronauty widoczny jest zapis mała litera v z indeksem dolnym mała litera a równa się znak zapytania, co oznacza, ze wartość tej prędkości jest nieznana.

Początkowo astronauta i skrzynka z narzędziami znajdują się w stałej odległości od uchwytu, a zatem ich prędkość początkowa jest równa 0.

Wynika z tego, że również wartość pędu początkowego jest równa 0.

Zgodnie z zasadą zachowania pędu, pęd układu nie ulegnie zmianie po wyrzuceniu przez astronautę skrzyni. Pęd końcowy układu możemy zapisać jako sumę pędów astronauty i skrzynki z narzędziami.

Korzystając z powyższego równania możemy wyznaczyć prędkość astronauty.

Przechodząc do wartości, możemy wyznaczyć:

Czas, po którym pokona on drogę $L$ = 5 m, możemy wyznaczyć z równania:

Przeanalizujmy jeszcze jeden przykład - zderzenie niesprężystezderzenie niesprężystezderzenie niesprężyste wózków na torze powietrznym. Ze względu na brak tarcia oraz fakt, że siła grawitacji działająca na wózki jest zrównoważona przez siłę nadmuchu powietrza, układ ten możemy potraktować jako układ izolowany.

Przykład 2.

Na torze powietrznym dochodzi do zderzenia niesprężystegozderzenie niesprężystezderzenia niesprężystego dwóch wózków wyposażonych w zderzaki wykonane z plasteliny. Masy wózków są równe $m_{1}$ = 200 g i $m_{2}$ = 150 g. Wózki przed zderzeniem poruszały się z prędkościami początkowymi $v_{1}^{p}$ = 1 m/s oraz $v_{2}^{p}$ = 0,2 m/s w tym samym kierunku, a zwroty wektorów ich prędkości były takie same. Po zderzeniu wózki złączyły się i poruszały się z pewną prędkością końcową $v_{12}^{k}$, którą wyznaczymy. Zauważmy, że wektory prędkości wózków przed i po zderzeniu mają ten sam kierunek i zwrot, możemy więc pominąć zapis wektorowy.

Wykonajmy rysunek pomocniczy (Rys. 2.):

R1X1IsqTx259k

Rys. 2. Na ilustracji widoczne są dwa oddalone od siebie klocki w postaci prostokątów niebieskiego większego i mniejszego szarego. Klocki umieszczone są na poziomej powierzchni narysowanej w postaci czarnej, poziomej linii. Niebieski większy klocek znajduje się po lewej stronie a mniejszy szary po prawej. Nad niebieskim klockiem widnieje jego masa równa dwieście gramów zapisana w postaci mała litera m z indeksem dolnym jeden równa się dwieście mała litera g. Ze środka tego klocka wychodzi pozioma czarna strzałka skierowana w prawo symbolizująca wektor prędkości początkowej, którego wartość jest równa jeden metr na sekundę. Oznaczono to napisem obok strzałki mała litera v z indeksem dolnym jeden i indeksem górnym mała litera p równa się jeden mała litera m ukośnik mała litera s. Masa szarego klocka jest równa sto pięćdziesiąt gramów co zapisano nad nim w postaci mała litera m z indeksem dolnym dwa równa się sto pięćdziesiąt mała litera g. Ze środka szarego klocka wychodzi pozioma czarna strzałka skierowana w prawo symbolizująca wektor prędkości początkowej, którego wartość jest równa dwie dziesiąte metra na sekundę. Oznaczono to napisem obok strzałki mała litera v z indeksem dolnym dwa i indeksem górnym mała litera p równa się dwie dziesiąte mała litera m ukośnik mała litera s. Strzałka przy szarym klocku jest krótsza niż przy klocku niebieskim.

Przed zderzeniem pędy poszczególnych wózków są równe:

Całkowita wartość pędu początkowego układu wynosi zatem:

Po zderzeniu złączone wózki poruszały się z taką samą prędkością $v_{12}^{k}$ (Rys. 3.).

R1UluowFjpHpg

Rys. 3. Na ilustracji widoczne są dwa stykające się klocki w postaci prostokątów niebieskiego większego i mniejszego szarego. Klocki umieszczone są na poziomej powierzchni narysowanej w postaci czarnej, poziomej linii. Niebieski większy klocek znajduje się po lewej stronie a mniejszy szary po prawej. Nad niebieskim klockiem widnieje jego masa równa dwieście gramów zapisana w postaci mała litera m z indeksem dolnym jeden równa się dwieście mała litera g. Masa szarego klocka jest równa sto pięćdziesiąt gramów co zapisano nad nim w postaci mała litera m z indeksem dolnym dwa równa się sto pięćdziesiąt mała litera g. Ze środka układu dwóch stykających się klocków wychodzi czarna strzałka oznaczająca wektor prędkości końcowej poruszających się wspólnie elementów. Strzałka jest czarna, pozioma i skierowana w prawo. Obok strzałki widnieje napis mała litera v z indeksem dolnym dwanaście i indeksem górnym mała litera k równa się znak zapytania.

Wartość pędu końcowego układu zapisujemy jako:

Na podstawie zasady zachowania pędu możemy stwierdzić równość pędów początkowego i końcowego.

Wynika z tego, że:

Wykorzystując dane zawarte w treści zadania, wyznaczamy szukaną prędkość po zderzeniu:

Słowniczek