O godzinie $16:10$ z miejscowości $A$ wyruszył pociąg osobowy i podąża do stacji $B$. O godzinie $17:40$ ze stacji $B$, położonej w odległości $68,5 \mathrm{km}$ od stacji $A$ wyruszył pociąg towarowy poruszający się z prędkością $20 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$. Pociąg osobowy jechał początkowo z prędkością $25 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$, a po $30$ min jazdy zwiększył prędkość o $5 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$. Maszynista pociągu osobowego dowiedział się, że po tym samym torze podąża pociąg towarowy i skierował pociąg na boczny tor, dopiero, gdy pociągi były w odległości $1 \mathrm{km}$ od siebie. O której to było godzinie?

Rozwiązanie:

Oznaczmy:
$x$ – czas (w $\mathrm{h}$), w ciągu którego jechał pociąg osobowy do momentu, gdy maszynista dowiedział się, że po tym samym torze podąża pociąg towarowy.

Zauważmy, że początkowo pociąg osobowy jechał z prędkością $25 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$, a po $30$ minutach, czyli po $0,5$ godziny jechał z prędkością $\left(25+5\right) \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}=30 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.

Zatem przejechał w tym czasie drogę długości $\left[25·0,5+30·\left(x-0,5\right)\right] \mathrm{km}$.

Pociąg towarowy jechał z prędkością $20 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ i wyjechał o godzinie $17:40$, czyli do momentu, gdy maszynista pociągu osobowego dowiedział się, że po tym samym torze podąża pociąg towarowy, jechał o $1,5 \mathrm{h}$, czyli $\left(17,40-16,10=1,30\right)$ krócej niż pociąg osobowy. Przejechał więc drogę długości $\left(x-1,5\right)·20 \mathrm{km}$.

R1VGaBAFr4ZFg

Ilustracja przedstawia płaski teren porośnięty trawą. Po środku biegnie linia kolejowa po której jadą w swoją stronę dwa pociągi. Cały odcinek torów o końcach A oraz B ma sześćdziesiąt osiem i pół kilometra. Odległość między zbliżającymi się do siebie pociągami to jeden kilometr.

Układamy i rozwiązujemy równanie, wynikające z powyższych rozważań.

Pociąg osobowy jechał $2$ godziny, zatem do godziny $18:10$.

Odpowiedź:

O godzinie $18:10$ maszynista pociągu osobowego dowiedział się, że po tym samym torze podąża pociąg towarowy.

Z Sydney wylatuje samolot $A$ i leci do Los Angeles z prędkością $900 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$. W tym samym momencie z Los Angeles startuje samolot $B$ i leci do Sydney z prędkością $2100 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$. W jakiej odległości od miejsca startu samolot $A$ minie samolot $B$, jeżeli odległość między Sydney a Los Angeles wynosi $18000 \mathrm{km}$?

Rozwiązanie:

Oznaczmy:
$s \mathrm{km}$ – długość drogi przebytej przez samolot $A$ do chwili spotkania z samolotem $B$,
$\frac{s}{900} \mathrm{h}$ – czas, w ciągu którego samolot $A$ przebył drogę długości $s \mathrm{km}$,
$\left(18000-s\right) \mathrm{km}$ – długość drogi przebytej przez samolot $B$ do chwili spotkania z samolotem $A$,
$\frac{18000-s}{2100} \mathrm{h}$ – czas, w ciągu którego samolot $B$ przebył drogę długości $s \mathrm{km}$.

Samoloty wystartowały równocześnie, więc do momentu spotkania leciały tak samo długo. Stąd:

Mnożymy równanie „na krzyż” i wyznaczamy $x$.

Odpowiedź:

Samolot $A$ minie samolot $B$ w odległości $5400 \mathrm{km}$ od miejsca startu.

Z Zielonej Polany i Czarnej Polany wyszli naprzeciw siebie dwaj turyści – Jurek i Bogdan. Panowie minęli się po upływie $72$ minut. Pan Jurek przybył do Zielonej Polany godzinę wcześniej niż pan Bogdan przyszedł do Czarnej Polany. Z jaką prędkością poruszał się pan Bogdan, jeżeli odległość między miejscowościami wynosiła $12 \mathrm{km}$?

Rozwiązanie:

Oznaczmy:
$x \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ – prędkość, z jaką poruszał się pan Jurek,
$y \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ – prędkość, z jaką poruszał się pan Bogdan.

Panowie minęli się po $72$ minutach, czyli po upływie $\frac{72}{60}$ godziny.

Układamy pierwsze równanie:

Drugie równanie układamy wiedząc, że pan Jurek przybył do Zielonej Polany godzinę wcześniej niż pan Bogdan przyszedł do Czarnej Polany.

Zapisujemy i upraszczamy otrzymany układ równań:

Rozwiązujemy układ równań metodą podstawiania.

Drugie równanie jest równaniem kwadratowym – rozwiązujemy je.

Pierwszy z uzyskanych pierwiastków równania nie spełniał warunków zadania, gdyż prędkość musi wyrażać się liczbą dodatnią.

Wyznaczamy drugi pierwiastek:

Pan Jurek poruszał się z prędkością $6 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$. Obliczamy teraz , z jaką prędkością poruszał się pan Bogdan.

Odpowiedź:

Pan Bogdan poruszał się z prędkością $4 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.

jest wprost proporcjonalna do czasu trwania ruchu (prędkość jest stała) i obliczamy ją ze wzoru:

gdzie:
$s\left(\mathrm{km}\right)$ – droga przebyta przez ciało
$v\left(\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\right)$ – wartość prędkości ciała
$t\left(\mathrm{h}\right)$ – czas trwania ruchu