Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał
Przykład 1

Podstawmy do lewej strony równania dwukwadratowegorównanie dwukwadratowerównania dwukwadratowego x4-5x2+4=0 w miejsce niewiadomej x liczbę 3, a następnie odpowiemy na pytanie, czy otrzymaliśmy równość prawdziwą czy fałszywą. Po podstawieniu liczby 3 w miejsce niewiadomej x do lewej strony równania otrzymujemy wyrażenie:

L=34-5·32+4=81-5·9+4=81-45+4=40.

Prawa strona równania jest równa 0.

Lewa i prawa strona równania przyjmują dla x równego 3 różną wartość. Wynika stąd, że LP. Zatem po podstawieniu liczby 3 do obu stron równania otrzymaliśmy równość fałszywą. Liczba 3 nie spełnia tego równania.

Przykład 2

Podstawmy do lewej strony równania x4-5x2+4=0 w miejsce niewiadomej x liczbę 2, a następnie odpowiemy na pytanie, czy otrzymaliśmy równość prawdziwą czy fałszywą. Po podstawieniu liczby 2 w miejsce niewiadomej x do lewej strony równania otrzymujemy wyrażenie:

L=24-5·22+4=16-5·4+4=0.

Prawa strona równania jest równa 0.

Lewa i prawa strona równania przyjmują dla x równego 2 tą samą wartość. Wynika stąd, że L=P. Zatem po podstawieniu liczby 2 do obu stron równania otrzymaliśmy równość prawdziwą. Liczba 2 spełnia to równanie.

Pamiętasz?

Liczba spełnia dane równanie, jeżeli po podstawieniu jej w miejsce niewiadomej i wykonaniu działań po obu stronach równania, otrzymamy równość prawdziwą.

Rozwiązanie równania
Definicja: Rozwiązanie równania

Liczbę, która spełnia dane równanie nazywamy rozwiązaniem równania lub pierwiastkiem równaniapierwiastki równaniapierwiastkiem równania.

Zbiór wszystkich liczb spełniających dane równanie nazywamy zbiorem rozwiązań równaniazbiór rozwiązań równaniazbiorem rozwiązań równania.

Przykład 3

Sprawdzimy, czy liczby -3, -1, 1, 3pierwiastkami równaniapierwiastki równaniapierwiastkami równania x4-10x2+9=0.

Podstawiając do równania w miejsce niewiadomej x liczbę -3 otrzymujemy:

(-3)4-10·(-3)2+9=81-90+9=0.

Zatem L=P, czyli liczba -3 spełnia równanie.

Podstawiając do równania w miejsce niewiadomej x liczbę -1 otrzymujemy:

(-1)4-10·(-1)2+9=1-10+9=0.

Zatem L=P, czyli liczba -1 spełnia równanie.

Podstawiając do równania w miejsce niewiadomej x liczbę 1 otrzymujemy:

14-10·12+9=1-10+9=0.

Zatem L=P, czyli liczba 1 spełnia równanie.

Podstawiając do równania w miejsce niewiadomej x liczbę 3 otrzymujemy:

34-10·32+9=81-90+9=0

Zatem L=P, czyli liczba 3 spełnia równanie.

Czyli liczby -3, -1, 1, 3 są pierwiastkami równania x4-10x2+9=0.

Pokazaliśmy, że równanie może mieć nawet cztery rozwiązania. Od czego zatem zależy liczba rozwiązań danego równania? Czy samo obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego wystarczy do podania liczby rozwiązań równania?

Przykład 4

Rozwiążemy równanie x4-5x2+4=0.

Równanie możemy przedstawić w postaci x22-5x2+4=0.

Zastosujemy podstawienie x2=z, gdzie z0.

Wówczas otrzymujemy równanie z2-5z+4=0.

Obliczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

Δ=(-5)2-4·1·4=25-16=9Δ=9=3

Ponieważ Δ>0 zatem równanie ma dwa rozwiązania.

z1=-b-Δ2a

z1=-(-5)-32·1

z1=1

z2=-b+Δ2a

z2=-(-5)+32·1

z2=4

Teraz wrócimy do podstawienia x2=z.

z=1

x2=1

x=-1 lub x=1

z=4

x2=4

x=-2 lub x=2

Ponieważ oba rozwiązania równania kwadratowego z2-5z+4=0 są liczbami dodatnimi, więc w wyniku powrotu do podstawienia x2=z otrzymaliśmy cztery rozwiązania.

Rozwiązaniem równania są liczby x=-2, x=-1, x=1, x=2 .

Przykład 5

Rozwiążemy równanie x4+3x2-4=0.

Równanie możemy przedstawić w postaci x22+3x2-4=0.

Zastosujemy podstawienie x2=z, gdzie z0.

Wówczas otrzymujemy równanie z2+3z-4=0.

Obliczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

Δ=32-4·1·(-4)=9+16=25Δ=25=5

Ponieważ Δ>0 zatem równanie ma dwa rozwiązania.

z1=-b-Δ2a

z1=-3-52·1

z1=-4

z2=-b+Δ2a

z2=-3+52·1

z2=1

Teraz wrócimy do podstawienia x2=z.

z1=-4

x2=-4

Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, bo z<0.

z2=1

x2=1

x=-1 lub x=1

Ponieważ jedno rozwiązanie równania kwadratowego z2+3z-4=0 jest liczbą dodatnią, a drugie liczbą ujemną, więc w wyniku powrotu do podstawienia x2=z otrzymaliśmy dwa rozwiązania.

Rozwiązaniem równania są liczby x=-1, x=1 .

Przykład 6

Rozwiążemy równanie x4+5x2+4=0.

Równanie możemy przedstawić w postaci x22+5x2+4=0.

Zastosujemy podstawienie x2=z, gdzie z0.

Wówczas otrzymujemy równanie z2+5z+4=0.

Obliczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

Δ=52-4·1·4=25-16=9Δ=9=3

Ponieważ Δ>0 zatem równanie ma dwa rozwiązania.

z1=-b-Δ2a

z1=-5-32·1

z1=-4

z2=-b+Δ2a

z2=-5+32·1

z2=-1

Teraz wrócimy do podstawienia x2=z.

z1=-4

x2=-4

Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, bo z<0.

z2=-1

x2=-1

Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, bo z<0.

Oba rozwiązania równania kwadratowego z2+3z-4=0 są ujemne, więc w wyniku powrotu do podstawienia x2=z otrzymaliśmy równanie sprzeczne. Równanie nie posiada rozwiązania.

Słownik

równanie dwukwadratowe
równanie dwukwadratowe

równanie postaci ax4+bx2+c=0, gdzie a0

pierwiastki równania
pierwiastki równania

liczby spełniające równanie

zbiór rozwiązań równania
zbiór rozwiązań równania

zbiór wszystkich liczb spełniających dane równanie