Przeczytaj
Podstawmy do lewej strony równania dwukwadratowegorównania dwukwadratowego w miejsce niewiadomej liczbę , a następnie odpowiemy na pytanie, czy otrzymaliśmy równość prawdziwą czy fałszywą. Po podstawieniu liczby w miejsce niewiadomej do lewej strony równania otrzymujemy wyrażenie:
.
Prawa strona równania jest równa .
Lewa i prawa strona równania przyjmują dla równego różną wartość. Wynika stąd, że . Zatem po podstawieniu liczby do obu stron równania otrzymaliśmy równość fałszywą. Liczba nie spełnia tego równania.
Podstawmy do lewej strony równania w miejsce niewiadomej liczbę , a następnie odpowiemy na pytanie, czy otrzymaliśmy równość prawdziwą czy fałszywą. Po podstawieniu liczby w miejsce niewiadomej do lewej strony równania otrzymujemy wyrażenie:
.
Prawa strona równania jest równa .
Lewa i prawa strona równania przyjmują dla równego tą samą wartość. Wynika stąd, że . Zatem po podstawieniu liczby do obu stron równania otrzymaliśmy równość prawdziwą. Liczba spełnia to równanie.
Pamiętasz?
Liczba spełnia dane równanie, jeżeli po podstawieniu jej w miejsce niewiadomej i wykonaniu działań po obu stronach równania, otrzymamy równość prawdziwą.
Liczbę, która spełnia dane równanie nazywamy rozwiązaniem równania lub pierwiastkiem równaniapierwiastkiem równania.
Zbiór wszystkich liczb spełniających dane równanie nazywamy zbiorem rozwiązań równaniazbiorem rozwiązań równania.
Sprawdzimy, czy liczby są pierwiastkami równaniapierwiastkami równania .
Podstawiając do równania w miejsce niewiadomej liczbę otrzymujemy:
.
Zatem , czyli liczba spełnia równanie.
Podstawiając do równania w miejsce niewiadomej liczbę otrzymujemy:
.
Zatem , czyli liczba spełnia równanie.
Podstawiając do równania w miejsce niewiadomej liczbę otrzymujemy:
.
Zatem , czyli liczba spełnia równanie.
Podstawiając do równania w miejsce niewiadomej liczbę otrzymujemy:
Zatem , czyli liczba spełnia równanie.
Czyli liczby są pierwiastkami równania .
Pokazaliśmy, że równanie może mieć nawet cztery rozwiązania. Od czego zatem zależy liczba rozwiązań danego równania? Czy samo obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego wystarczy do podania liczby rozwiązań równania?
Rozwiążemy równanie .
Równanie możemy przedstawić w postaci .
Zastosujemy podstawienie , gdzie .
Wówczas otrzymujemy równanie .
Obliczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego.
Ponieważ zatem równanie ma dwa rozwiązania.
Teraz wrócimy do podstawienia .
lub
lub
Ponieważ oba rozwiązania równania kwadratowego są liczbami dodatnimi, więc w wyniku powrotu do podstawienia otrzymaliśmy cztery rozwiązania.
Rozwiązaniem równania są liczby .
Rozwiążemy równanie .
Równanie możemy przedstawić w postaci .
Zastosujemy podstawienie , gdzie .
Wówczas otrzymujemy równanie .
Obliczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego.
Ponieważ zatem równanie ma dwa rozwiązania.
Teraz wrócimy do podstawienia .
Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, bo .
lub
Ponieważ jedno rozwiązanie równania kwadratowego jest liczbą dodatnią, a drugie liczbą ujemną, więc w wyniku powrotu do podstawienia otrzymaliśmy dwa rozwiązania.
Rozwiązaniem równania są liczby .
Rozwiążemy równanie .
Równanie możemy przedstawić w postaci .
Zastosujemy podstawienie , gdzie .
Wówczas otrzymujemy równanie .
Obliczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego.
Ponieważ zatem równanie ma dwa rozwiązania.
Teraz wrócimy do podstawienia .
Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, bo .
Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, bo .
Oba rozwiązania równania kwadratowego są ujemne, więc w wyniku powrotu do podstawienia otrzymaliśmy równanie sprzeczne. Równanie nie posiada rozwiązania.
Słownik
równanie postaci , gdzie
liczby spełniające równanie
zbiór wszystkich liczb spełniających dane równanie