Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Pamiętasz?

Równanie kwadratowe z jedną niewiadomą – jest to równanie, które można sprowadzić do postaci

ax2+bx+c=0

gdzie:
a, bc – są dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz a0.

Postać ax2+bx+c=0 , gdy a0 nazywamy postacią ogólną równania kwadratowego.

Równania, w których współczynniki b lub c są równe 0, nazywamy równaniami kwadratowymi niezupełnymi.

Jeżeli b=0c=0 to równanie kwadratowe ax2=0 ma tylko jedno rozwiązanie x=0.

Z definicji wartości bezwzględnej mamy x=xdla x0-xdla x<0.

Przykład 1

Rozwiążemy równanie x2+1=0.

Wyrażenie x2+1>0 dla dowolnego x, czyli równanie x2+1=0 nie posiada rozwiązania.

Przykład 2

Rozwiążemy równanie x2-4x=x2-4x.

Wiemy, że a=a dla a0.

Czyli x2-4x0

xx-40

x=0  x=4

R6YBXRDkG1gNt

Rozwiązanie równania: x-, 04, .

Przykład 3

Rozwiążemy równanie x2-1=3-x2.

Aby rozwiązać równanie skorzystamy z własności a=ba=b lub a=-b.

Czyli x2-1=3-x2 lub x2-1=-3-x2.

Rozwiążemy równanie x2-1=3-x2.

2x2-4=0

x2-2=0

x-2x+2=0

x=2 lub x=-2

Rozwiążemy równanie x2-1=-3-x2.

x2-1=-3+x2

1-3 – sprzeczność

Rozwiązaniem równania są liczby  x=-2, x=2.

Przykład 4

Znajdziemy wszystkie rzeczywiste wartości parametru k, dla których rozwiązaniem równania kwadratowego niezupełnego k2x2-1=2 z niewiadomą x jest liczba -1.

Do równania podstawiamy w miejsce x liczbę -1.

k2-12-1=2

k2-1=2

Skorzystamy z własności wartości bezwzględnejwartość bezwzględna liczby xwartości bezwzględnej.

Jeżeli a>0 to x=ax=a lub x=-a.

Otrzymujemy alternatywę równań:

k2-1=2  k2-1=-2

k2-3=0  k2+1=0 – sprzeczność, bo k2+1>0 dla k

k=3  k=-3

Dla k=-3, k=3 rozwiązaniem równania jest liczba -1.

Przykład 5

Obliczymy, kiedy równanie x2+2x=1-m jest sprzeczne.

Aby równanie nie posiadało rozwiązania wyrażenie 1-m<0.

-m<-1

m>1

Równanie jest sprzeczne dla m1, .

Słownik

wartość bezwzględna liczby x
wartość bezwzględna liczby x
x=xdla x0-xdla x<0