Ilustracja pierwsza. Rozwiążemy równanie $\left|x^2-9\right|+\left|x^2-4\right|=5$. W rozwiązaniu równania skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej. Najpierw rozwiążemy układ równań dla pierwszej wartości bezwzględniej. $\left|x^2-9\right|=$ klamra otwierająca układ dwóch równań. Równanie pierwsze: $x^2-9$ dla $x\in (-\infty ,-3⟩\cup ⟨3,+\infty )$. Równanie drugie: $-\left(x^2-9\right)$ dla $x\in \left(-3, 3\right)$. Następnie rozwiążemy układ równań dla drugiej wartości bezwzględnej. $\left|x^2-4\right|=$ klamra otwierająca układ dwóch równań. Równanie pierwsze: $x^2-4$ dla $x\in (-\infty ,-2⟩\cup ⟨2,+\infty )$. Równanie drugie: $-\left(x^2-4\right)$ dla $x\in \left(-2, 2\right)$.

Ilustracja druga. Naszkicujemy wykresy funkcji kwadratowych: $f\left(x\right)=x^2-9\wedge g\left(x\right)=x^2-4$. Na podstawie wykresów funkcji wyznaczymy przedziały liczbowe, w których rozpatrzymy równanie z wartościami bezwzględnymi. Przedstawmy graficzną interpretację koniunkcji. Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ od minus czterech do czterech, przy czym wyróżniono cztery liczby: minus 3, minus 2, 2 i 3. Przez pary punktów poprowadzono dwa wykresy wielomianów w kształcie paraboli z ramionami skierowanymi do góry. Wykres pierwszy przedstawia funkcję f: od minus nieskończoności do minus trzech wykres znajduje się nad osią, w punkcie minus 3 przechodzi pod oś i wraca nad oś w punkcie 3. Wykres drugi przedstawia funkcję g: od minus nieskończoności do minus dwóch wykres znajduje się nad osią, w punkcie minus 2 przechodzi pod oś i wraca nad oś w punkcie 2. Fragmenty nad osią oznaczono plusami znajdującymi się między osią a wykresem, a fragmenty pod osią oznaczono minusami znajdującymi się między osią a wykresem. Z rysunku wynika, że: $x^2-9\ge 0\wedge x^2-4\ge 0$ dla $x\in (-\infty ,-3⟩\cup ⟨3,+\infty )$, $x^2-9<0\wedge x^2-4<0$ dla $x\in \left(-2, 2\right)$ oraz $x^2-9<0\wedge x^2-4\ge 0$ dla $x\in (-3, 2⟩\cup ⟨2, 3)$.

Ilustracja trzecia. Rozważymy alternatywę trzech przypadków. Najpierw rozwiążemy przypadek pierwszy, czyli równanie w pierwszym wyznaczonym przedziale. $x\in (-\infty ,-3⟩\cup ⟨3,+\infty )$ Zapisujemy równanie dla tego przedziału. $x^2-9+x^2-4=5$ Redukujemy wyrazy podobne, otrzymując postać $2x^2-18=0$. Dzielimy obie strony przez 2, otrzymując $x^2-9=0$. Zatem mamy, że $x=-3$ lub $x=3$. Oba rozwiązania należą do przedziału.

Ilustracja czwarta. Rozważymy alternatywę trzech przypadków. Teraz rozwiążemy drugi przypadek, czyli równanie w drugim wyznaczonym przedziale. $x\in \left(-2, 2\right)$ Zapisujemy równanie dla tego przedziału. $-x^2+9-x^2+4=5$ Redukujemy wyrazy podobne, otrzymując postać $-2x^2+8=0$. Dzielimy obie strony przez minus 2, otrzymując $x^2-4=0$. Zatem mamy, że $x=-2$ lub $x=2$. Żadne z rozwiązań nie należy do przedziału.

Ilustracja piąta. Rozważymy alternatywę trzech przypadków. Teraz rozwiążemy trzeci przypadek, czyli równanie w trzecim wyznaczonym przedziale. $x\in (-3, 2⟩\cup ⟨2, 3)$ Zapisujemy równanie dla tego przedziału. $-x^2+9+x^2-4=5$ Redukujemy wyrazy podobne, otrzymując równanie tożsamościowe $5=5$. Otrzymaliśmy równanie zawsze prawdziwe. Zatem rozwiązaniem równania są wszystkie liczby należące do przedziału $x\in (-3, 2⟩\cup ⟨2, 3)$ Rozwiązaniem równania będzie alternatywa rozwiązań przypadków 1, 2 i 3. Odpowiedź: Rozwiązanie równania to $x\in ⟨-3, 2⟩\cup ⟨2, 3⟩$.