Warto przeczytać

Przyspieszenie średnie i chwilowe

W każdym ruchu zmiennym przyspieszenie średnie $\overrightarrow{a_{śr}}$ przemieszczającegoprzemieszczenieprzemieszczającego się ciała to iloraz zmiany prędkościprędkośćprędkości i czasu, w którym ta zmiana nastąpiła:

gdzie wektor zmiany prędkości $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ równy jest różnicy wektorów prędkości końcowej ${\overrightarrow{v}}_k$ i początkowej ${\overrightarrow{v}}_0$ ciała w czasie ruchu, w wybranym układzie współrzędnych.

Wartość wektora przyspieszenia średniego zapisujemy jako $|\overrightarrow{a_{śr}}|$ lub po prostu $a_{\mathrm{śr}}$.

Przyspieszenie chwilowe, obliczamy podobnie jak przyspieszenie średnie, ale dodajemy warunek, aby czas $\Delta t$ był bliski zeru:

RuchruchRuch jednostajnie zmienny to taki, w którym wartości przyspieszenia średniego i chwilowego są jednakowe. Ruch opóźniony to ruch, w którym wartość prędkości maleje.

Ale dla naszych potrzeb dokonamy jeszcze ważnego uproszczenia.

Ruch jednostajnie opóźniony prostoliniowy

Ruch prostoliniowy to taki, którego torem jest linia prosta. Oznacza to, że można wybrać układ współrzędnych (Rys. 1.) taki, że wektory przemieszczenia, prędkości oraz przyspieszenia w takim ruchu mają tylko po jednej niezerowej składowej (przypomnij sobie e‑materiał „Jak rozłożyć wektor na składowe?”)

R3k1cBKcP3S4c

Rys. 1a. Rysunek przedstawia prostokątny układ współrzędnych XY. W układzie tym w pierwszej ćwiartce wrysowano ciało w postaci zielonego punktu. Ciało porusza się z prędkością, której niebieski wektor skierowany jest poziomo w lewo i oznaczony małą niebieską literą v ze znaczkiem wektora nad nią. Ciało porusza się z przyspieszeniem, którego czerwony wektor skierowany jest poziomo w prawo i oznaczony małą czerwoną literą a ze znaczkiem wektora nad nią.
Rys. 1b. Rysunek przedstawia prostokątny układ współrzędnych XY. W układzie tym w pierwszej ćwiartce wrysowano ciało w postaci zielonego punktu. Ciało porusza się z prędkością, której niebieski wektor skierowany jest pionowo do góry i oznaczony małą niebieską literą v ze znaczkiem wektora nad nią. Ciało porusza się z przyspieszeniem, którego czerwony wektor skierowany jest pionowo w dół i oznaczony małą czerwoną literą a ze znaczkiem wektora nad nią.

Dla ruchu jednostajnie opóźnionego prostoliniowego zwroty wektora przyspieszenia i wektora prędkości muszą być przeciwne. Nie ma przy tym znaczenia, który z tych wektorów ma dodatnią współrzędną, a który ujemną. Przyjęło się natomiast w takiej sytuacji określanie przyspieszenia mianem opóźnienie.

Korzystając z tej nazwy musisz pamiętać, że opóźnienie nie jest pełnoprawną wielkością fizyczną, lecz pomocniczym terminem i zawsze wymaga dostosowania do kontekstu.

Zależność prędkości od czasu

Wzór na zależność prędkości od czasu przyjmuje więc postać

gdzie
v – prędkość końcowa w chwili t,
vIndeks dolny 0₀ – prędkość początkowa, czyli w chwili t = 0,
a – opóźnienie,
t – czas trwania ruchu.

Powyższe równanie opisuje zależność liniową pomiędzy zmiennymi v oraz t. Interpretujemy je podobnie jak w matematyce, gdzie zależności zmiennych y oraz x w równaniu prostej ma postać:

Ogólna postać równania ruchu jednostajnie opóźnionego prostoliniowego jest taka sama; jedynie zmienne są tu inne, a współczynnik kierunkowy jest ujemny:

Wykres $v(t)$

Na osi odciętych wykresu (Rys. 2.) mamy czas t, a nie zmienną x. Na jego osi rzędnych odkładamy prędkość v, a nie zmienną y. Współczynnik kierunkowy prostej jest miarą opóźnienia i jest równy -a (zwróć uwagę na niezbyt szczęśliwą zbieżność oznaczeń). Wyraz wolny to współrzędna prędkości początkowej vIndeks dolny 0₀.

RAdDXOBoEPKCH

Rys. 2. Rysunek przedstawia wykres zależności prędkości oznaczonej małą niebieską literą v od czasu oznaczonego małą czarną literą t. Wykres ten stanowi liniowa funkcja malejąca przedstawiona w postaci odcinka rozpoczynającego się dla czasu równego zero i prędkości oznaczonej małą niebieską literą v z indeksem dolnym zero, a kończącego się w punkcie dla czasu oznaczonego małą czarną literą t z indeksem dolnym k oraz dla prędkości oznaczonej małą niebieską literą v z indeksem dolnym k. Pole pod wykresem pomalowano na niebiesko.

Ruch rozpoczyna się z prędkością v, by w chwili tIndeks dolny k_k zakończyć się z prędkością v**Indeks dolny k_k**.

Pole pod wykresem zależności v(t)

Jak w każdym ruchu, tak i w ruchu jednostajnie opóźnionym prostoliniowym, pole powierzchni figury pod wykresem zależności prędkości od czasu równe jest zmianie położenia ciała $\mathrm{\Delta }x$. W tym przypadku figurą tą jest trapez (Rys. 2.). Jego boki równoległe mają długości wyrażone w jednostkach prędkości. Są to, odpowiednio, vIndeks dolny 0₀ i vIndeks dolny k_k. Wysokość trapezu jest wyrażona w jednostkach czasu i ma wartość tIndeks dolny k_k. Pole trapezu to iloczyn średniej długości boków równoległych i wysokości:

Zastosujmy wybieg, który pozwoli wyrazić przemieszczenie za pomocą opóźnienia:

W naszym ruchu zmiana prędkości jest powiązana z opóźnieniem związkiem

Prowadzi to do zależności

A położenie w dowolnej chwili t, czyli x(t) ma postać kwadratowej funkcji czasu:

Zwróć uwagę, że to wyrażenie, podobnie jak wyrażenie na prędkość, powstaje z analogicznego wyrażenia dla ruchu jednostajnie przyspieszonego po zmianie znaku przyspieszenia na ujemny.

Przykład 1

Rowerzysta dojeżdża do wzgórza z prędkością 36 $\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ . Będzie jechał ze stałym opóźnieniem a = 2 ${\text{m/s}}^2$. Jaką drogędrogadrogę przejedzie po dwóch sekundach ruchu? Jaką drogę przejedzie w piątej sekundzie ruchu?

Uwaga: Ponieważ ruch jest prostoliniowy i odbywa się bez zmiany kierunku, wartość zmiany położenia $\Delta x$ jest równa drodze s.

Dla tego ruchu: $v=v_0-a\cdot t$ oraz $s\left(t\right)=v_0\cdot t-\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2.$

Dane w tabeli przedstawiają prędkość i przebytą drogę w ciągu pierwszych pięciu sekund ruchu.

czas, $t$ [s]	0	1	2	3	4	5
prędkość, $v(t)$ [m/s]	10	8	6	4	2	0
droga, $s(t)$ [m]	0	9	16	21	24	25

Ruch rowerzysty przedstawiony jest też na wykresie zależności prędkości od czasu.

RPONkuPC3BFa9

Rys. 3. Rysunek przedstawia wykres zależności prędkości oznaczonej małą czarną literą v od czasu oznaczonego małą czarną literą t. Wykres ten stanowi liniowa funkcja malejąca przedstawiona w postaci odcinka rozpoczynającego się dla czasu równego zero sekund i prędkości dziesięciu metrów na sekundę, a kończącego się w punkcie dla czasu pięciu sekund oraz dla prędkości zera metrów na sekundę. Na wykresie zaznaczono kolejne wartości funkcji dla kolejnych sekund ruchu za pomocą czerwonych punktów. Obszary pod wykresem od zerowej do drugiej sekundy oraz od czwartej do piątej sekundy ruchu zamalowano na szaro.

Na wykresie mamy prostą o ujemnym współczynniku kierunkowym $a=-2\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$. Drogę pokonaną przez dwie pierwsze sekundy ruchu możemy obliczyć ze wzoru i odczytać z wykresu – pole trapezu o podstawach 10 $\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^{}}$ oraz 6 $\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^{}}$ i wysokości 2 s. Drogę w 5. sekundzie możemy obliczyć dwoma sposobami i odczytać z wykresu. Prędkość na początku 5. sekundy, czyli dla t = 4 s wynosi vIndeks dolny 4₄ = 2 $\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^{}}$. Korzystając ze wzoru:

${\mathrm{\text{s}}}_{4\to 5}=v_4\cdot \Delta t-\frac{1}{2}\cdot a\cdot \Delta t^2$

$[s_{4\to 5}=2\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot (5\text{s}-4\text{s})-\frac{1}{2}\cdot 2\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {(5\text{s}-4\text{s})}^2=1\text{m}.$

Możemy też obliczyć drogę w 5. sekundzie jako różnicę dróg przejechanych w ciągu pierwszych 5 s i w ciągu 4 s:

$s_{4\to 5}=s_{0\to 5}-s_{0\to 4}$

$s_{4\to 5}=10\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 5\text{s}-\frac{1}{2}\cdot 2\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(5\text{s}\right)}^2-\frac{10\text{m}}{\text{s}}\cdot 4\text{s}+\frac{1}{2}\cdot 2\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(4\text{s}\right)}^2=66\text{m}-65\text{m}=1\text{m}.$

Drogę tę można też obliczyć z wykresu v(t) jako pole odpowiedniego trójkąta. Po pięciu sekundach ruchu jednostajnie opóźnionego rowerzysta zatrzyma się.

R1LWTklysu7Zd

Rys. 4. Rysunek przedstawia wykres zależności drogi oznaczonej małą czarną literą s od czasu oznaczonego małą czarną literą t. Wykres ten stanowi kwadratowa funkcja rosnąca rozpoczynająca się dla czasu równego zero sekund i drogi zera metrów, a kończąca się w punkcie dla czasu pięciu sekund oraz dla drogi dwudziestu pięciu metrów. Droga przyrasta coraz wolniej wraz ze wzrostem czasu. Na wykresie zaznaczono kolejne wartości funkcji dla kolejnych sekund ruchu za pomocą czerwonych punktów.

Zależność drogi od czasu w tym ruchu jest funkcja kwadratową, wykresem jest fragment paraboli.

Słowniczek