Przeczytaj
Warto przeczytać
Przyspieszenie średnie i chwilowe
W każdym ruchu zmiennym przyspieszenie średnie przemieszczającegoprzemieszczającego się ciała to iloraz zmiany prędkościprędkości i czasu, w którym ta zmiana nastąpiła:
gdzie wektor zmiany prędkości równy jest różnicy wektorów prędkości końcowej i początkowej ciała w czasie ruchu, w wybranym układzie współrzędnych.
Wartość wektora przyspieszenia średniego zapisujemy jako lub po prostu .
Przyspieszenie chwilowe, obliczamy podobnie jak przyspieszenie średnie, ale dodajemy warunek, aby czas był bliski zeru:
RuchRuch jednostajnie zmienny to taki, w którym wartości przyspieszenia średniego i chwilowego są jednakowe. Ruch opóźniony to ruch, w którym wartość prędkości maleje.
Ale dla naszych potrzeb dokonamy jeszcze ważnego uproszczenia.
Ruch jednostajnie opóźniony prostoliniowy
Ruch prostoliniowy to taki, którego torem jest linia prosta. Oznacza to, że można wybrać układ współrzędnych (Rys. 1.) taki, że wektory przemieszczenia, prędkości oraz przyspieszenia w takim ruchu mają tylko po jednej niezerowej składowej (przypomnij sobie e‑materiał „Jak rozłożyć wektor na składowe?”)
Dla ruchu jednostajnie opóźnionego prostoliniowego zwroty wektora przyspieszenia i wektora prędkości muszą być przeciwne. Nie ma przy tym znaczenia, który z tych wektorów ma dodatnią współrzędną, a który ujemną. Przyjęło się natomiast w takiej sytuacji określanie przyspieszenia mianem opóźnienie.
Korzystając z tej nazwy musisz pamiętać, że opóźnienie nie jest pełnoprawną wielkością fizyczną, lecz pomocniczym terminem i zawsze wymaga dostosowania do kontekstu.
Przykład
Wzory na prędkość i położenie w ruchu jednostajnie przyspieszonymruchu jednostajnie przyspieszonym przechodzą we wzory dla ruchu jednostajnie opóźnionegoruchu jednostajnie opóźnionego, gdy zmienimy znak przy a na ujemny. Musimy przy tym pamiętać, że symbolem a oznaczamy w nich wartość przyspieszenia. Zamieniając znak w równaniu, zaczynamy myśleć o a jako o opóźnieniu. Taka zamiana jest właśnie przykładem dostosowania do kontekstu.
Zależność prędkości od czasu
Wzór na zależność prędkości od czasu przyjmuje więc postać
gdzie
v – prędkość końcowa w chwili t,
vIndeks dolny 00 – prędkość początkowa, czyli w chwili t = 0,
a – opóźnienie,
t – czas trwania ruchu.
Powyższe równanie opisuje zależność liniową pomiędzy zmiennymi v oraz t. Interpretujemy je podobnie jak w matematyce, gdzie zależności zmiennych y oraz x w równaniu prostej ma postać:
Ogólna postać równania ruchu jednostajnie opóźnionego prostoliniowego jest taka sama; jedynie zmienne są tu inne, a współczynnik kierunkowy jest ujemny:
Wykres
Na osi odciętych wykresu (Rys. 2.) mamy czas t, a nie zmienną x. Na jego osi rzędnych odkładamy prędkość v, a nie zmienną y. Współczynnik kierunkowy prostej jest miarą opóźnienia i jest równy -a (zwróć uwagę na niezbyt szczęśliwą zbieżność oznaczeń). Wyraz wolny to współrzędna prędkości początkowej vIndeks dolny 00.
Ruch rozpoczyna się z prędkością v, by w chwili tIndeks dolny kk zakończyć się z prędkością v**Indeks dolny kk**.
Pole pod wykresem zależności v(t)
Jak w każdym ruchu, tak i w ruchu jednostajnie opóźnionym prostoliniowym, pole powierzchni figury pod wykresem zależności prędkości od czasu równe jest zmianie położenia ciała . W tym przypadku figurą tą jest trapez (Rys. 2.). Jego boki równoległe mają długości wyrażone w jednostkach prędkości. Są to, odpowiednio, vIndeks dolny 00 i vIndeks dolny kk. Wysokość trapezu jest wyrażona w jednostkach czasu i ma wartość tIndeks dolny kk. Pole trapezu to iloczyn średniej długości boków równoległych i wysokości:
Zastosujmy wybieg, który pozwoli wyrazić przemieszczenie za pomocą opóźnienia:
W naszym ruchu zmiana prędkości jest powiązana z opóźnieniem związkiem
Prowadzi to do zależności
A położenie w dowolnej chwili t, czyli x(t) ma postać kwadratowej funkcji czasu:
Zwróć uwagę, że to wyrażenie, podobnie jak wyrażenie na prędkość, powstaje z analogicznego wyrażenia dla ruchu jednostajnie przyspieszonego po zmianie znaku przyspieszenia na ujemny.
Rowerzysta dojeżdża do wzgórza z prędkością 36 . Będzie jechał ze stałym opóźnieniem a = 2 . Jaką drogędrogę przejedzie po dwóch sekundach ruchu? Jaką drogę przejedzie w piątej sekundzie ruchu?
Uwaga: Ponieważ ruch jest prostoliniowy i odbywa się bez zmiany kierunku, wartość zmiany położenia jest równa drodze s.
Dla tego ruchu: oraz
Dane w tabeli przedstawiają prędkość i przebytą drogę w ciągu pierwszych pięciu sekund ruchu.
czas, [s] | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
prędkość, [m/s] | 10 | 8 | 6 | 4 | 2 | 0 |
droga, [m] | 0 | 9 | 16 | 21 | 24 | 25 |
Ruch rowerzysty przedstawiony jest też na wykresie zależności prędkości od czasu.
Na wykresie mamy prostą o ujemnym współczynniku kierunkowym . Drogę pokonaną przez dwie pierwsze sekundy ruchu możemy obliczyć ze wzoru i odczytać z wykresu – pole trapezu o podstawach 10 oraz 6 i wysokości 2 s. Drogę w 5. sekundzie możemy obliczyć dwoma sposobami i odczytać z wykresu. Prędkość na początku 5. sekundy, czyli dla t = 4 s wynosi vIndeks dolny 44 = 2 . Korzystając ze wzoru:
Możemy też obliczyć drogę w 5. sekundzie jako różnicę dróg przejechanych w ciągu pierwszych 5 s i w ciągu 4 s:
Drogę tę można też obliczyć z wykresu v(t) jako pole odpowiedniego trójkąta. Po pięciu sekundach ruchu jednostajnie opóźnionego rowerzysta zatrzyma się.
Zależność drogi od czasu w tym ruchu jest funkcja kwadratową, wykresem jest fragment paraboli.
Ruch opisany jest za pomocą zależności:
Jakie informacje o ruchu zawarte są w tych równaniach?
W przypadku 1. równanie opisuje ruch jednostajnie opóźniony, w którym opóźnieni ma wartość , a prędkość początkowa .
W przypadku 2. równanie także opisuje ruch jednostajnie opóźniony. Nie można wykluczyć, że jest to rzut pionowy w górę w ziemskim polu grawitacyjnym. Wskazywałaby na to wartość opóźnienia . Prędkość początkowa wynosi .
Słowniczek
(ang.: frame of reference) ciało, względem którego opisujemy ruch lub spoczynek innego ciała.
(ang.: position) określa umiejscowienie ciała w układzie odniesienia.
(ang.: motion) zmiana położenia w czasie względem określonego układu odniesienia.
(ang.: displacement) zmiana położenia ciała.
(ang.: velocity) wielkość wektorowa określająca, jak szybko zmienia się położenie w czasie.
(ang.: trajectory) krzywa, jaką zakreśla ciało będące w ruchu.
(ang.: distance) długość toru, po jakim poruszało się ciało.
(ang.: uniform motion) ruch, w którym wartość prędkości jest stała.
(ang.: acceleration) wielkość wektorowa określająca, jak szybko zmienia się prędkość w czasie.
(ang.: uniformly accelerated motion) ruch, w którym przyspieszenie jest stałe.
(ang.: uniformly decelerated motion) ruch, w którym opóźnienie jest stałe.
(ang.: uniformly decelerated linear motion) ruch po torze prostoliniowym, w którym opóźnienie jest stałe.